1、*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系,1.一元二次方程根与系数关系的推导 方程ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0时,方程的两根是: x1=_,x2=_. x1+x2=_+_=_. x1x2=_=_.,2.一元二次方程根与系数的关系 方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2,则 x1+x2=_;x1x2=_.,【思维诊断】(打“”或“”) 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系使用的条 件是b2-4ac0.( ) 2.方程ax2+bx+c=0,若b2-4ac0,就能使用根与系数的关系.( ) 3.一元二次方程x2-2x-3=0的两根的和为-2
2、,两根的积为-3.( ) 4.一元二次方程2x2-2x-3=0的两根的和为2,两根的积为-3.( ),知识点一 利用一元二次方程根与系数的关系求字母系数 【示范题1】(2013玉林中考)已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m.求m,n的值. 【思路点拨】通过两根之和确定m,通过两根之积确定n.,【自主解答】关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m, 解得, 即m,n的值分别是1,-2.,【想一想】 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根符号相同,那么系数b,c的符号是什么? 提示:两根同正,则c0,b0,b0.,【微点拨】 1.应用一元二次方程根与系数的关系的前提
3、是:方程是一元二次方程,且有实数根.所以必须满足二次项系数a0,判别式b2-4ac0的条件. 2.关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则有x1+x2=-p, x1x2=q.,【方法一点通】 用根与系数的关系,求另一根及未知系数的方法 1.当已知一个根和一次项系数时,先利用两根的和求出另一根,再利用两根的积求出常数项. 2.当已知一个根和常数项时,先利用两根的积求出另一根,再利用两根的和求出一次项系数.,知识点二 一元二次方程根与系数的关系的综合应用 【示范题2】(2013眉山中考)已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为,则(+3)(+3)= . 【教你解题】,
4、【想一想】 以x1和x2为根的一元二次方程是什么? 提示:以x1和x2为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.,【备选例题】(1)已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根为a,b,则= . (2)若x1,x2是方程x2-2x-5=0的两根,则x12+x22= . (3)已知a,b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根,则代数式 (a-b)(a+b-2)+ab的值等于 . (4)已知一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根为x1,x2,且 x1x2(x1+x2)=3,则m的值是 .,【解析】(1)a,b是一元二次方程的两根,a+b=6,ab=-5, (2)x1,x2
5、是方程x2-2x-5=0的两根,x1+x2=2,x1x2=-5, x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4+10=14. (3)a,b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根, ab=-1,a+b=2,(a-b)(a+b-2)+ab=(a-b)(2-2)+ab=0+ab=-1.,(4)一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根为x1,x2,b2-4ac=m2-4(m-2)=m2-4m+4+4=(m-2)2+440,m取任意实数,方程都有解,x1+x2=m,x1x2=m-2,代入x1x2(x1+x2)=3得:m(m-2)=3, 整理得:m2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0,解得:m1=3,m2=-1. 答案:(1)- (2)14 (3)-1 (4)3或-1,【方法一点通】 不解方程,利用根与系数的关系求代数式的值的步骤 1.算:计算出两根的和与积. 2.变:将所求的代数式表示成两根的和与积的形式. 3.代:代入求值.,
