1、专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点 1：函数 y=Asin( 的图象与函数 y=sinx 图象的关系以及根据图)0,)(Ax象写出函数的解析式考点 2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点 3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点 4：和、差、倍、半、 、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点 5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；考点 6、复数的基本概念及运算.【自我检测】1 同角三角函数基本关系式：，.2 诱导公式是指 的三角函数与，180 ,90 ,270 ,360， k360+( kZ)三角函数之间关系：奇变
2、偶不变，符号看象限.3 两角和与差的三角函数：sin( )=_;cos( )=_;tan ( )=_.4 二倍角公式：sin2=_;cos2=_=_=_tan2=_.5 半角公式：sin =_，cos =_,tan =_=_=_.2226 万能公式 sin=_,cos=_,tan=_.7 三角函数的图象与性质：y=sinx y=cosx y=tanx定义域值 域图象单调性奇偶性周期性【重点 难点 热点】问题 1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数 y=Asin( 的图象与函数 y=sinx 图象的关系，注意先平移后伸缩与)0,)(Ax先
3、伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式.例 1 （05 天津理）要得到 的图象，只需将函数 的图象2cosyx )42sin(x上所有的点的A、横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ,再向左平行移动 个单位长度128B、横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度4C、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度D、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度思路点拨：将 化为 ，再进行变换.)4sin(xy )42cos(xy解答：变换 1：先将 的图象向左平移 个单位，得到co8的图象，再将
4、的图象的横坐标缩xxy2s)8(2cos xy2cos短到原来的 2 倍得到 .yc变换 2：先将 的图象的横坐标缩短到原来的 2 倍，得到)4s(x的图象，再将 的图象向左平移 个单位，得到)4cos(xy )4cos(2xy4.由上可得，应选 C.演变 1：函数的部分图象)20,)(sinRxy如图，则（ ）A B4,26,3C D45点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10 坐标代入即可.问题 2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例 2：已知 .51cosin,0xx（I）求 s
5、inxcos x 的值； （）求 的值.xxcottan2s2sii32思路分析：将 sinx-cosx= 平方，求出 sinxcosx 的值，进而求出（ sinx-cosx）2，然后由角51的范围确定 sinx-cosx 的符号 .解法一：（）由 ,51cossin2i,51cosin 2平 方 得即 .491)cos(in.24cosi2 xx又 故 ,0,0s,i,0x .7csi（） xsincoi2cottansi322 12508)(51)sin2(si xx解法二：（）联立方程 .1cosi,2x由得 将其代入，整理得,cos51sinx ,012cos52x.54cs,3in,
6、02.43co xxx或故 .57sin（） xxcotta2s2i32xsincoi1212508)342(5)3(sinco2(sin xx点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.演变 1：已知 .)3tan(si,257cos,107)4sin( 及求点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题 3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解.例 3：设函数 图像的一条对称轴是直线)(),0( )2sin() xfyxf .（）求 ；（）求函数 的单调增区间；（）画
7、出函数8xxfy在区间 上的图像.)(fy,0思路点拨：正弦 y=sinx 的图象的对称轴为直线 ，其对称轴与 x 轴交)(2Zkx点的横坐标即是使函数取得最值的 x 值.解：（） 的图像的对称轴，)(8f是 函 数,1)8sin(.,24Zk.43,0（）由（）知 ).2sin(43xy因 此由题意得 ,Zkk所以函数 .,85)2sin( Zkxy 的 单 调 增 区 间 为（）由 知43x 0 837y 21 0 1 0 2故函数 上 图 像 是在 区 间 ,0)(xf点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.演变 3：已知向量.baxfxbxa )(,42t
8、an(),si(2),42tan(,cos( 令求函数 f(x)的最大值，最小正周期，并写出 f(x)在0 ， 上的单调区间.问题 4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例 4：（1）求 的值；8sin157cosin（2）已知： ，求： 的值.41)2ta(,)ta()tan(思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7、15、8，发现它们之间的关系是 1578，故可将 7 拆成 158；同理在第（2）题中 可以拆成两角差，即 .4 )()(解：（1） 8sin157cosin 8sin15)
9、815cos(coi 15cosintan15= =30in2(2) =4)4()(tan( )=tan 4)4()()4tan()t(1an1523点评：进行三角变换的技巧常常是变角注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变 4：求 的值.20cosin1点拨与提示：103020.问题五：复数方程和共轭复数复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组；关于共轭复数有两个充要条件：ZR ，非零复数 y 为纯虚数 ，这两个充要条件是用整体观点Z0y处理复数的生要工具.例 5：求实数 k 的值，使方程 至少有一个实根.2)(2ki
10、xikx思路分析：已知方程是一元二次方程，系数含有参数，并且方程有一个实根，设出实根，利用复数相等可得出实数方程组，从而得解.解：设 是方程的实根，则 ，0)(2kiik即 根据复数相等的充要条件得： ，消去0)2()(2ikk 02k得 k2=8，k =点评：如果利用一元二次方程的判别式（k+2i ） 24(2+ki)k 212，要使方程至少有一个实根，只需0，即 k ,k ，这样的解法是错误的.错误的原因32在于：一元二次方程的判别式 b2-4ac0 是实系数一元二次方程有实根的充要条件，不适合于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根为 ，将 x 代入方程
11、，根据复数相等的条件来解.演变 5：解复数集中的方程： 0)2()5(2 ixx点拨与提示：整理成关于 x 的一元二次方程，用求根公式求解.例 6：设 z 是虚数， 是实数， ，求证： u 为纯虚数.zW1u1思路分析：本题证法很多，可以从共轭复数运算的角度给出证明.证明： R， ，zW1zz110)1(z ， z 是纯虚数， ，| z|1，0)|)(2z 0 . . z 是虚数， ，uzzu11)( 1z， u 为纯虚数.0点评：用整体观点处理复数问题时，应注意利用前面提到的充要条件.演变 6：设 z1,z2 为两个非零复数，且z 1+z2=| z1z 2|，求证： 为负数.21)(z点拨与
12、提示：利用复数加、减法的几何意义求解.专题小结1三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法， “1”的代换法等对于三角公式要记忆准确（在理解基础上） ，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性2三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断3解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能【临阵磨枪】一、选择题1已知 f(cosx)
13、=cos3x，则 f(sin30)的值为（ ）A 0 B 1 C 1 D 232 （2006 年辽宁卷） 的三内角 所对边的长分别为 设向量AB,C,abc, ,若 ,则角 的大小为()pacb(,)qac/pq(A) (B) (C) (D) 63233 （2006 年安徽卷）将函数 的图象按向量 平移，平移后sin(0)yx,06a的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A Bsin()6yxsin()6yxC D23234把函数 的图象适当变动，就可得到 y=sin3x 的图象，)sin(coxy这种变动可以是（ ）A 沿 x 轴向右平移 B 沿 x 轴向左平移44C 沿
14、x 轴向右平移 D 沿 x 轴向左平移12125已知复数 z1，z 2 在复平面上对应的点分别是 A，B ，O 为坐标原点，当z1=2（cos60 +isin60） z2,|z2|=2，则AOB 的面积为（ ）A B C D 234336复数 z1cosisin（3 4）的辐角主值是（ ）A B C D 22237函数 y=3sin(x+20)+5sin(x+80)的最大值为（ ）A B C 7 D 818在OAB 中，O 为坐标原点， ，则当OAB 的2,0(),1(sin),co,(BA面积达最大值时， （ ）A B C D6439在ABC 中，若 ，其中 a,b 分别是A，B 的对边，则
15、a2tnABC 是（ ）A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形10函数 y= 的最小正周期为（ ）23cossin21xxA 2 B C D 4二、填空题11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 sin= ， ( ，)，tan()= ，则 tan(2)=_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 532112 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 ( )，(0 ， )，cos( )= ，sin( +)= ，则 sin(+)43,44534135=_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 13已知复数：
16、，复数 满足 ，则复数 02ziz00zz14设函数 f (x)的图象与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为 f(x)在 a，b上的面积，已知函数 ysin（nx）在0 ， 上的面积为 （nN * ） ， （i）ysin3xn2在0, 上的面积为 ；（ii）ysin（3x ）1 在 ， 上的面积为 . 2 34三、解答题15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不查表求值： .10cos)7tan3(in10si216 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2006 年安徽卷）已知 310,tt4（）求 的值；tan（）求 的值.2 25si8i
17、cos18n17在复数范围内解方程： (i 为虚数单位).iz23)(218 （2006 年四川卷）已知 是三角形 三内角，向量,ABCAB，且 .1,3cosinm1m（）求角 ；（）若 ，求 .22si3tan19 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 cos +sin = ，sin +cos 的取值范围是 D，xD，求函数 y=的最小值，并求取得最小值时 x 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 043l21参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1C 提示： 180cos)6(s)3(sinff2 头htp
18、:/w.xjkygcom126t:/.j B 提示： ，利用余弦定理可22/ ()qabacab得 ，即 ，故选择答案 B.2cos1C1cos23C3C 提示：将函数 的图象按向量 平移，平移后的图象in(0)yx,06a所对应的解析式为 ，由图象知， ，所以 .si673()1224D 提示： )(3sin)43n(xxy5B 提示AOB60，z 2|=2|z1|=4， 360sin|21zSAOB6B 提示：， ，)3sin()3cos(2in i,.21arg,0Z7C 提示：y =3sin(x+20)+5sin(x+80)3sin(x +20)+5sin(x+20)60 7)20si
19、n(7)0cos(35)20sin(1 8D 提示： cosin21sin1(co21in OABS， 当 即 时，面积最大. 1sin249D 提示：由正弦定理得： 2cossin2isn2ta BABaAbBA ， 或 或cottn0t 1t02BAAB 或 AB9010D 提示： ，则)2sin(23cos23sin1 xxxy T11 提示 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco sin= ,( ,),cos =47554则 tan= ,又 tan( )= 可得 tan= ,321221()tan4ta .132()ta74tan()nt 241312
20、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 提示 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco ( ), (0, ),又 cos( )= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 543,565)sin(.65134)2(53 )43sin()si()43cos(c)(cos 2)43(in)i( .12)43s(,)4sin().,().,0,4s 即131- i 提示：设 z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+ bi)+3+2i,得 3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2, a=1,b= .214 提示：由题意得：3,4 ，xy
21、342320sin上 的 面 积 为在 为一个半周期结合图象分析其面积为 .上 的 图 象在 341)sin(，xy 15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 216解：()由 得 ，即10acot2tan10t3，又 ，所以 为所求.tan3t3或 4（） =2 25si8incso81-cos1+s4i22c= = =5cos8in1cos1628sincos8tan6225217解：原方程化简为 , iz)(2设 z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1i ， x 2+y
22、2=1 且 2x=1,解得 x=且 y= , 原方程的解是 z=- i.2131318 解：（） 即mn,cos,n1A3sinco1A, 2sis12Ai62 50,63（）由题知 ，整理得221sinco3B22sinicos0BB cotat0 或ta1而 使 ，舍去 22csita tntCABtnABtnAB23185119 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 u=sin +cos 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则 u2+( )23=(sin +cos )2+(cos
23、+sin )2=2+2sin( + )4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j u 21,1u1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即 D=1,1,设 t= , 1x 1,1t 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 352max0.5min.0.50.5.44082,.log,2logl8,821,3,MttttMytx当 且 仅 当 即 时 在 时 是 减 函 数 时此 时【挑战自我】设 a,b,c 为ABC 的三边，a bc ，R 是ABC 的外接圆半径，令 f=a+b2R-8R，试用 C 的大
24、小来判定 f 的符号.2sinsiBA解：f=2R（sinA+sinB 14 ）2sinsiCBA2R 2sin)co(ccosi CA4R 4)si2(inc RBA4R si2s 2C2R )ncoc)(i(coAC由 abc，得 ABC，所以 0BABA，因此 ，2coscsCAB，所以2sin2sC in2cs故当 f0 时， ，则 0C co当 f0 时， ，则 Csi当 f0 时， ，则 C2nc【答案及点拨】演变 1：由图得 ,由 T= ,得 ,在 y=sin( )中令 x=1,y=1,得,84T4, ,得 ,选(C)24k24k演变 2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公
25、式得， 即 )cos(in2)4sin(107 57cosin由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(c)si)(si(sicos2522 故 51inc由式和式得 .因此， ，由两角和的正切公式54cos,3sin43tan.12583431ta1)4tan( 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 2sin2cos57解得 53sin,259sin即由 7cosi,107)4i(可 得由于 ，故 在第二象限，于是 .05in,cos5sin且 53sin从而 ，以下同解法一.547i演变 3： )42tan()t()42si(c2)( xxbaxf211os(incos)tat2inc
26、xxx = .xos)4in(所以 ，最小正周期为 上单调增加， 上单调)(的 最 大 值 为f ,24,0(在xf ,42减少.演变 4：103020，原式 0cos0sin)i3n23(cos20cosin)3(2cos30= .演变 5：原方程可化为 02)5()(2ixii . ii 18414)(2 而 18i 的平方根为 ，所以方程的根为 ，)1(3i)2(1352,1ix.ix5,21演变 6：提示：z 1+z2=|z 1z 2|（y 1y2 ） ， .即 在复平面内0|1|221z2z对应的点到（1,0） 、 （1,0）的距离相等， 对应的点在虚轴上，即 为纯虚数.21z21演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案
