1、一次函数易错题解析冶新涛内容摘要 一次函数是初中数学中的重要内容之一，学生们在初学一次函数时，由于对其概念、性质理解不透，常常会出现一些错误.为帮助学生们学好这部分内容，笔者以例题的形式给出易错题分类及剖析.关键词一次函数 易错题一般地，形如 y=kx+b（k,b 是常数，k0）的函数，叫做一次函数。特别的，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数.即：y=kx （k 为常数，但 K0）正比例函数图像经过原点。定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合.一、对概念理解不清而出错例 1、 已知下列函数：y=2013x；y-8x=13；y=-1； y=3x+7；y=x-5
2、，其中 y 是关于 x 的一次函数的是（ ）A. B. C. D.错解 选“B”或“D”.剖析 ：一次函数的概念中规定 k、b 为常数，k0，但 b 可以为 0，当 b=0 时，函数 y=kx（k0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数、根本就不符合一次函数的定义，选“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。正解 ：观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知答案选 C.二、忽视限制条件出错例 2 、已知函数 y=（m-3）x (m-2)-7 是一次函数，则 m=_.错解: 由 m-2=1，解得 m=3,所以 m=3 或 m=-
3、3.剖析:上述错误忽视了一次函数 y=kx+b 中要求 k0 这一限制条件，因为当 m=3 时，m-3=0，此时函数解析式为 y=-7，它是平行于 x 轴的一条直线，其直线上任一点的纵坐标都为-7，是一个常值函数，而非一次函数.正解：由 m-2=1，解得 m=3.当 m=3 时，m-3=0，故舍去，所以 m=-3.三、忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。例 3、已知一次函数的图象经过点 A（0，2）且与坐标轴围成的直角三角形面积为 4，则这个一次函数的解析式为。错解：设一次函数的解析式为 ，因为函数的图象经过ykxb点 A（0，2） ，所以 b=2，所以函数的解析式为 ，求这个函数
4、2图象与 x 轴的交点，即解方程组 解得 ， 02ykxxk0y即图象与 x 轴交点坐标为 由三角形的面积公式得 (,)解得： 所以这个一次函数的解析式12()4k12k为 yx剖析：在表示三角形的面积时，用的是三角形的边长，是线段的长度，不要忽略 要取绝对值才能表示线段的长度，否则就会漏2k掉一个解，本题正是因为忽略了这点而出了错。正解：设一次函数的解析式为 ，因为函数的图象经过ykxb点 A（0，2） ，所以 b=2，所以函数的解析式为 ，求这个函数2图象与 x 轴的交点，即解方程组 解得 ， 02ykx2xk0y即图象与 x 轴交点坐标为 由三角形的面积公式得 (,)解得： 所以这个一次
5、函数的解析式为124k12k， 或 。yxyx四、函数图像与直线关系混淆出错例 4、已知直线 不经过第二象限，则 m 的取值范围24ymx是。错解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限所以可得 解得024m02m剖析：因为直线 当 时 图象也不经过第二y4y象限，所以 也符合条件，以上的错解忽略了直线 图象0 (0)yb不过第二象限这一情况导致了错解。正解：有题意可得，直线经过一、三、四象限或一、三象限所以可得 解得 特别地当 时024m02m0m也符合题意，所以 4y2五、思考问题不全面出错例 5、一次函数 ，当 时，对应的函数值为 ，ykxb31x19y求 k+b 的值。错解：因
6、为当 时，对应的函数值为31x9y所以当 时 当 时y1x所以可得方程组 解得 319kb27kb所以 9kb剖析：由于问题中没有给出 y 随 x 的变化怎样变化，所以应该考虑到有可能 y 随 x 的增大而增大，也有可能 y 随 x 的增大而减小，本题的出错原因正是没有全面考虑到这一点而漏解出错。正解：若 y 随 x 的增大而增大时，则当 时 当 时3x1y1x9所以可得方程组 解得 所以319kb27kb9kb若 y 随 x 的增大而减小时，则当 时 当 时3x9y1xy所以可得方程组 解得 所以31kb2kbkb所以 k+b 的值是 9 或 1.六、一次函数的应用如图，已知一次函数 y=k
7、x+b 的图像经过 A（-2，-1），B（1，3）两 点，并且交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D。 （1）求该一次函数的解析式；（2）求 tanOCD 的值；（3）求证：AOB=135。剖析：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照 题意，设法求解。 （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 （3）数形结合正解：（1）由题意得 ，解得 ，所以 y= ；（2）与 x 轴的交点坐标为 C（- ，0），与 y 轴的交点坐标为 D（0， ），在 RtOCD 中，OD= ，OC= ，tanOCD= ；（3）如图所示，取点 A 关于原点的对称点 E（2，1），则问题转化为求证BOE=45，由勾股定理可得，OE= ，BE= ，OB= ，OB 2=OE2+BE2，EOB 是等腰直角三角形，BOE=45，AOB=135。总之，一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的 510，分值约占总分的 510，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力
