1、 专题一 压轴选择题第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题【名师综述】1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定 ， ，ab的等量关系，然后把 用 ， 代换，求 的值；在双曲线中由于 ，故双曲线的渐近线与cbaca离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于 ， ， 的不等式，再根据 ， ， 的关abcabc系消掉 得到关于 ， 的不等式，由这 个不等式确定 ， 的关系b2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式( 或不等式组)，然后解不等式(或
2、不等式组) ，求得特定字母的取值范围 （2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围 （3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些) 参数的函数(解析式)，然后 利用函数方法、不等式方法等进 行求解常见的几何方法有：（1）直线外一定点 到直线上各
3、点距离的最小值为该点 到直线的垂线段的长度；PP（2）圆 外一定点 到圆上各点距离的最大值为 ，最小值为 ( 为圆 半径) ；（3）CP|CR|CR过圆 内一定点 的圆的最长的弦即为经过 点的直径，最短的弦为过 点且与经过 点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如椭圆上两点间最大距离为 (长轴长)；双曲线上两点间最小2a距离为 (实轴长)； 椭圆上的点到焦点的距离的取值范 围为 ， 与 分别表示椭圆2a ,cca焦点到椭圆上点的最小与最大距离；抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3
4、）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值. 【典例剖析】类型一 求圆锥曲线的离心率问题典例 1 【2019 湖北 1 月联考】如图，点 为双曲线 的右顶点，点 为双曲线上一点，作 轴，垂足为 ，若 为线段 的 中点，且以 为圆心， 为半径的圆与双曲线 恰有三个公共点，则 的离心率为（ ）A B C2 D【答案】A典例 2 【2019 安徽宿州模拟】分别过椭圆 的左、右焦点 、 作的两条互相垂直的直线 、 若 与 的交点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A(0,1) B C D【答案】D【解析】由题意可知椭圆上存在点 P 使得直线 PF1 与直线 PF2
5、 垂直，可得|OP|cb，所以 c2b2a 2c 2，e 故选：D 故选：B类型二 与圆锥曲线有关的最值问题典例 2 【2019 湖北 1 月联考】椭圆 ： 与双曲线 ： 焦点相同， 为左焦点，曲线 与 在第一象限、第三象限的交点分别为 、 ，且 ，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是（ ）A BC D【答案】C 【名师指点】本题主要考查圆锥曲线的定义与简单几何性质，需要学生灵活掌握圆锥曲线的定义与性质【举一反三】【2019 安徽宿州模拟】已知椭圆 ，圆 在第一象限有公共点 ，设圆 在点 处的切线斜率为 ，椭圆 在点 处的切线斜率为 ，则 的取值范围为（ ）A B C
6、D【答案】D【解析】因为椭圆 和圆 在第一象限有公共点 ，所以 ，解得.设椭圆 和圆 在第一象限的公共点 ，则椭圆 在点 处的切线方程为 ，圆 在点 处的切线方程为 ，所以 ， ，所以，故选 D.类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例 3设双曲线 的左焦点为 ，点 、 在双曲线 上， 是坐标 0Fc， MNCO原点，若四边形 为平行四边形，且四边形 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（ ）OFMNOMN2bA B22C. D 3【答案】D【名师指点】求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中 的等量关系或者不等关系，可以借助,abc平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本
7、题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得关于 的方程，进而确定离心率的值,abc【举一反三】 【2019 山东济南模拟】已知椭圆 的左右焦点分别为 为坐标原点，A 为椭圆上一点， ，连接 轴于 M 点，若 ，则该椭圆的离心率为( )A B C D【答案】D【解析】设 AF1m，AF 2n如图所示，由题意可得：RtAF 1F2Rt OMF2， 则 m+n2a，m 2+n24c 2，n3m 化为：m 2 ，n 29m 26b 2 6b24c 2 c2，化为： 故选： D【精选名校模拟】1 【2019 湖南长沙检测】已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， .若直线与 交于另一点 ，则 的值是（ ）A B C D【答案】C【解析】结合抛物线的性质可得 ，所以抛物线方程为 ，所以点 A 坐标为 ，所以直线 AB 的方程为 ，代入抛物线方程，计算 B 的坐标为 ，所以，故选 C。2 【2019 湖南长沙模拟 】已知 ， 是双曲线 的上、下焦点，点 是其一条渐近线上一点，且以 为直径的圆经过点 ，则 的面积为（ ）A B C D【答案】A【解析】等轴双曲线 的渐近线方程为 ，不妨设点 在渐近线 上，则以 为直径的圆为又 在圆 上，解得 ，故选： .
