1、 2019 年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 07 函数 函数的基本性质 -函数的周期性【考点讲解】1、具本目标：了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性二、知识概述：1.函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个_非零常数_T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_f(xT)f(x)_，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的_最小_正周期 2.函数周期性的常用结论对 f(x)定义域内任一自变量 x 的值：( 1)若 f(xa)f (
2、x)，则 T2a(a0)；(2)若 f(xa) ，则 T2a(a0)；1fx(3)若 f(xa) ，则 T2a(a0)1fx3.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴 xa，x b( a0 在1,3上的解集为( )A(1,3) B( 1,1) C(1,0) (1,3) D(1,0)(0,1)【解析】 f(x)的图象如图当 x 1,0)时，由 xf(x)0 得 x( 1,0)； 当 x0,1)时，xf( x)0 无解；当 x1,3时，由 xf(x)0 得 x(1,3) 故 x( 1,0)(1,3) 【答案】 C 【变式】 （1） 【2014安徽高考】若函
3、数 f(x)(xR) 是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)Error!则 _ _.因为当 1x2 时，f(x )sin x，所以又因为 f(x)是奇函数， 所以有【答案】516【变式】 （2） 【2017 山东】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 时,30,则 f(919)= ()xf【解析】由 f(x+4)=f(x-2)可知, 是周期函数 ,且 ,所以6T. (1)6f所以 ，所以 ，即 (1)0f， ，所以 .【答案】-28.【2014 四川，文 13】设 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 1,)x时，则 3()2
4、f .【答案】1【模拟考场】1.（已知函数 的定义域为 .当 时， ；当 时， ；当()fxR0x1x时， ，则 （ ）.12x(6)fA . B. C. D.102【答案】D2.奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2) 为偶函数，且 f(1)1，则 f(8)f(9) ( )A2 B1 C 0 D1【解析】 因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(x) f (x)，f (0)0.因为 f(x2)为偶函数，所以 f(x2)f(x2)，所以 f(x4)f(x)f(x )，所以 f(x8)f(x )，即函数 f(x)的周期为 8，故 f(8)f (9) f(0)f(1)1.【答案】 D3设
5、函数 f(x)(xR)满足 f(x)f (x)sin x 当 0x 时，f (x)0，则 ( )623fA. B. C0 D12 32 12【解析】 因为 f(x) f(x)sin x，所以 f(x2)f(x)sin x.所以 f(x2)f(x)sin xsin xf(x)所以 f(x)是以 2 为周期的周期函数又 ， ，所以 因为当 0x 时，f(x )0，所以 ，所以 .故选 A.【答案】 A4.已知 ，方程 0)(xf在0，1内有且只有一个根 21x，则0)(xf在区间 213,内根的个数为（ ）A2011 B1006 C2013 D1007【答案】C5.已知定义域为 的奇函数 满足 ，
6、且当 时，Rfx，则 （ ）2017A. -2 B. C. 3 D. log2log5【解析】因为奇函数 满足 ，所以 ，即周期为fx3，所以 ，故选 D 【答案】D6.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x0,1时，f (x)x1，则 _.23f【解析】 当 时， ，0,11,x 为偶函数， .f .【答案】 237.设定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 Rfx 12f【答案】 1068.已知 是定义在 R 上的偶函数，且 f(x2) ，当 2x3 时，f (x)x，则 _.()fx1f（x） 105.f【解析】 .故函数的周期为 4. . ，由题意，得 . .2.53【答案】2.5
