1、 2019 年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 14 函数 函数与方程 【考点讲解】1、具本目标： 了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与 x 轴交点的横坐标之间的关系；掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围.考纲 要求及重点：1.判断函数零点所在的区间 ；2.二分法求相应方程的近似解 ；3.备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题二、知识概述：1.函数的零点：(1)函数零点的概念 对于函数 yf(x )，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点.(2)函数零
2、点与方程根的关系方程 f (x)0 有实数根函数 yf (x)的图象与 x 轴有交点 函数 yf (x)有零点.2.零点存在性定理：如果函数 在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ， ()0fab那么，函数 在区间（ a， b）内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程()yf(,)c()0fcc的根.()0fx3.“二分法”的基本内涵是：把函数 f(x)的零点所在的区间 a，b（满足 f(a)f(b)0） “一分为二”：a，m、m，b，根据“f(a)f (m)0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为 a，b；将所得的区间a，b重复上述的步骤，直到含零点的区间a，b “足够小
3、” ，使这个区间内的数 作为方程的近似解满足给定的精确度 d(即 ) 4.利用函数处理方程解的问题，方法如下： (1)方程 f(x)a 在区间 I 上有解ay|y f(x)，x Iyf(x)与 ya 的图象在区间 I 上有交点(2)方程 f(x)a 在区间 I 上有几个解yf (x)与 ya 的图象在区间 I 上有几个交点一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求 参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象 的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答5.已知 函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确
4、定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【真题 分析】1.【2018 年理新课标 I 卷】已知函数 若 存在 2xg个零点，则 的取值范围是（ ）aA. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+），之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移xy动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 有xg两个零点，此时满足 ，即 ，故选 C.1a【答案】C2.【2018 年浙江卷】已知 R，函数 ，
5、当 时，不等式 的解20xf集是_若函数 恰有 2 个零点，则 的取值范围是_xf【解析】本题考点是不等式组的求解以及分段函数的零点问题.由题意可得： 或 解得 ，所以不等式 的解集042x 0xf为 .1，A当 时， ，此时 ，即在 上有两个零点；4 ，当 时， ，由 在 上只能有一个零点得 ，.综上 ， 的取值范围为 . 31【答案】 ， 4，3 【2018 年理数天津卷】已知 ，函数 ，若关于 的方程0a x恰有 2 个互异的实数解，则 的取值范围是_. 当 时，方程 ，也就是 ，整理可得 ，很明显可0xaxf知 不是方程的实数 解，有 ，设 ，其中2x2xa， ，原问题等价于函数 与函
6、数xg有两个不同的的交点，求 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图aya象，同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，结合 观察可得，实数 的取值范围是y0aa. 8,4【答案】 8,4当 时，方程 ，也就是 ，整理可得 ，很明显可0xaxf知 不是方程的实数解，有 ，设 ，则 ，由 22可得 ，函数递增， 可得 ，函数递减，所以当0xh40xh时， 取得极小值为 .要使 恰有 2 个互异的实数解，结合图象则 的取值范围8 a是.8,4【答案】 ,4 【2018 年江苏卷】若函数 在 内有且只有一个零点，则，0在 上的最大值与最小值的和为_xf1，【答案】35.【201
7、8 年全国卷理】函数 在 的零 点个数为_，0【解析】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，由题意可知 ，则有 ，可得 此时都有 ，0xf所以函数 在 的零点个数有 3 个. ，0【答案】B2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. B. 21yx C. D.ylnxysinxycos【解析】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.选项 A： l的定义域为（0,+） ，故 l不具备奇偶性，故 A 错误；选项 B： 12xy是偶函数，但 无解，即不存在零点，故 B 错误；选项 C： sin是奇函数，故 C 错；选项 D： xycos是偶函数，且 ， zk，故 D 项正确.【答案】D3.函
8、数 的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A.a0， b0，d0 B.a0，b0 C.a0 D.a0， b 0，c0，d0由图可知 0cb；故 A 正确.【答案】A4.已知 )(xf是定义在 R上的奇函数，当 x时， ，则函数 的零点的集合为（ ）A.1,3 B.3,1 C. D.【解析】因为 )(xf是定义在 R上的奇函数，当 0x时， ，所以当 0x时， ，所以 ，所以 ，由 解得 1x或 3；由 解得 72x， 所以函数 的零点的集合为 ，故选 D.【答案】D5.设函数 yx 3 与 y( )x2 的图象的交点为( x0， y0)，则 x0 所在的区间(端点值为连续整数的开区间) 是12_【答案】(1,2)6.函数 的零点个数是_.【解析】本题考点是分段函数，函数的零点，函数的图象和性质.令 20x得， 2x，只有2x符合题意；令 得， ，在同一坐标系内，画出的图象，观察知交点有 1，所以零点个数是 2.【答案】 27.若函数 有两个零点，则实数 b的取值范围是_.【答案】 02b8.函数 的零点个数为_.【解析】本题考查函数与方程，涉及常见函数图象绘画问题，函数 的零点个数等价于方程 的根的个数，即函数 与2h(x)的图象交点个数.于是，分别画出其函数图象如下图所示，由图可知，函数 ()gx与 h的图象有 2个交点.【答案】 2.
