1、第七节 正弦定理和余弦定理A 组 基础题组1.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= ,c=2,cos A=,则 b=( ) 5A. B. C.2 D.32 3答案 D 解法一:由余弦定理得 5=22+b2-22bcos A,cos A=,3b 2-8b-3=0,b=3 .故选 D.(=-13舍去 )解法二:由 cos A=得 sin A= ,根据 = 得 sin C=,所以 A 与 C 互余,故ABC 为直角53 sin sin三角形,且 B=90,因此 b= =3.2+22.(2018 课标全国,11,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
2、若ABC 的面积为,则 C=( )2+2-24A. B. C. D.2 3 4 6答案 C 因为 a2+b2-c2=2abcos C,且 SABC = ,2+2-24所以 SABC = =absin C,2cos4所以 tan C=1,又 C(0,),所以 C= .故选 C.43.(2018 湖北武汉调研) 在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2bcos C=2a+c,则 B=( )A. B. C. D.6 4 3 23答案 D 因为 2bcos C=2a+c,所以由正弦定理可得 2sin Bcos C=2sin A+sin C=2sin(B+C)+sin C=2sin
3、 Bcos C+2cos Bsin C+sin C,即 2cos Bsin C=-sin C,又 sin C0,所以 cos B=-,又 0c,则= . 答案 2解析 由 acos B-c-=0 及正弦定理可得 sin Acos B-sin C- =0.因为 sin C=sin(A+B)=sin sin2Acos B+cos Asin B,所以- -cos Asin B=0,所以 cos A=-,即 A= .由余弦定理得sin2 23a2=bc=b2+c2+bc,即 2b2-5bc+2c2=0,又 bc,所以=2.8.在ABC 中 ,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 sin A= . 4答
4、案 31010解析 解法一:过 A 作 ADBC 于 D,设 BC=a,由已知得 AD=,B= ,AD=BD,BAD= ,4 4BD=,DC=a,tanDAC= =2.tanBAC=tan = = =-3.(4+)tan4+tan1-tan4tan1+21-2cos2BAC= = ,sinBAC= = .11+2110 1-231010解法二:过 A 作 ADBC 于 D,设 BC=a,由已知得AD=,B= ,AD=BD,BD=AD=,DC=a,AC= = a,在ABC 中,由正弦定理4 (3)2+(23)2 53得 = ,sinBAC= .sin53sin45 310109.在平面四边形 A
5、BCD 中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cosADB;(2)若 DC=2 ,求 BC.2解析 (1)在 ABD 中,由正弦定理得 = .sin sin结合题设知, = ,所以 sinADB= .5sin45 2sin 25由题设知,ADB90,所以 cosADB= = .1- 225235(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB= .25在BCD 中, 由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252 =25.225所以 BC=5.10.(2018 安徽合肥质量检测)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,bc
6、os C=acos2B+bcos Acos B.(1)求证:ABC 是等腰三角形;(2)若 cos A=,且ABC 的周长为 5,求ABC 的面积 .解析 (1)证明 :根据正弦定理及 bcos C=acos2B+bcos Acos B,可得 sin Bcos C=sin Acos2B+sin Bcos Acos B=cos B(sin Acos B+sin Bcos A)=cos Bsin(A+B),即 sin Bcos C=cos Bsin C,所以 sin(B-C)=0,由 B,C(0,),得 B-C(-,),故 B=C,所以ABC 是等腰三角形.(2)由(1)知 b=c,则 cos A
7、= = =,得 b=2a.2+2-22 22-222ABC 的周长为 a+b+c=5a=5,得 a=1,b=c=2.故ABC 的面积 S=bcsin A=22 = .1-(78)2 154B 组 提升题组1.(2019 吉林四平质检) 在ABC 中,已知 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边且A=60,若 SABC =且 2sin B=3sin C,则ABC 的周长等于( ) 332A.5+ B.127C.10+ D.5+27 7答案 A 在ABC 中,A=60. 2sin B=3sin C,故由正弦定理可得 2b=3c,再由 SABC =bcsin A,可得 bc=6,b=3,c=2.
8、由余弦定理可得 a2=32+22-232=7,所以 a= ,故332 7ABC 的周长为 a+b+c=5+ ,故选 A.72.在ABC 中 ,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若ABC 的面积为 S,且 4S=(a+b)2-c2,则sin 等于( )(4+)A.1 B.- C. D.22 22 32答案 C S=absin C,cos C= ,2S=absin C,a 2+b2-c2=2abcos C.又 4S=(a+b)2-2+2-22c2=a2+b2-c2+2ab,2absin C=2abcos C+2ab.ab0,sin C=cos C+1.sin 2C+cos2C=1,(
9、cos C+1)2+cos2C=1,解得 cos C=-1(不合题意,舍去)或 cos C=0,sin C=1,则 sin = (sin C+cos C)= .(4+) 22 223.(2018 天津,16,13 分) 在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsin A=acos.(-6)(1)求角 B 的大小;(2)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的值.解析 (1)在 ABC 中,由 = ,可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=acos ,得 asin sin sin (-6)B=acos ,即 sin B=cos ,可得 tan
10、 B= .又因为 B(0,),可得 B= .(-6) (-6) 3 3(2)在ABC 中,由余弦定理及 a=2,c=3,B= ,有 b2=a2+c2-2accos B=7,故 b= .3 7由 bsin A=acos ,可得 sin A= .(-6) 37因为 ac,故 cos A= .27因此 sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1=.437所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= - = .437 32 33144.(2019 河南郑州质量预测)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2ccos B=2
11、a+b.(1)求角 C;(2)若ABC 的面积 S= c,求 ab 的最小值.32解析 (1)解法一 :由 2ccos B=2a+b 及余弦定理,得 2c =2a+b,2+2-22得 a2+c2-b2=2a2+ab,即 a2+b2-c2=-ab,cos C= = =- .2+2-22 -212又 0C,C= .23解法二: = = ,sin sin sin由已知可得 2sin Ccos B=2sin A+sin B,则有 2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,2sin Bcos C+sin B=0.B 为三角形的内角,sin B0,cos C=-.C 为三角形的内角,C= .23(2)S=absin C= c,c=ab.32又 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab, =a2+b2+ab3ab,即 ab12,当且仅当 a=b 时 ,取等号.224故 ab 的最小值为 12.
