正余弦定理习题精选精讲 (1).doc

1、习题精选精讲正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边 )，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例 1(2005 年全国高考江苏卷) 中， ，BC3，则 的周长为（ ）ABCABCA B C D3sin346sin43sin36sinB分析：由正弦定理，求出 b 及 c，或整体求出 bc ，则周长为 3bc 而得到结果解：由正弦定理得： ，2sini

2、sini sin()3 3cB 得 bc sinBsin( B) 故三角形的周长为：3bc ，故选(D)226i() 36sinB评注：由于本题是选择题也可取ABC 为直角三角形时，即 B ，周长应为 3 3，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)6例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在 ABC 中，已知 ，AC 边上的中线 BD= ，求 sinA 的值cos,34A5分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 ，设 BEx 奎 屯王 新 敞新 疆621BDE在 BDE 中利用余弦定理可得： ，

3、EDBcos22，解得 ， （舍去） 奎 屯王 新 敞新 疆xx632852137x故 BC=2，从而 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆 又 ，28cos22 BCABAC21A630sinB故 ， 奎 屯王 新 敞新 疆13sin06470sin二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例 3(2005 年北京春季高考题)在 中，已知 ，那么 一定是（ ）ABCCBAsincosi2ABA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 sin(AB)sinAcosBcosA sinB，sincosi2即 sinAcosBcosAsin B0，得 sin

4、(AB)0，得 AB故选(B)解法 2：由题意，得 cosB ，再由余弦定理，得 cosB i2sca22acb习题精选精讲 ，即 a2b 2，得 ab，故选(B)22acb评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例 4(2005 年全国高考上海卷) 在 中，若 ， ， ，ABC1205AB7C则 的面积 S_ 奎 屯王 新 敞新 疆ABC分析：本题只需由余弦定理，求出边 AC，再运用面积公式 S ABACsinA 即可解决解： 由余弦定理，得 cos

5、A ，解得 AC3222549110BCC S ABACsinA ABACsinA ACh，得 hAB sinA ，故选(A)214352122四、求值问题例 5(2005 年全国高考天津卷) 在 中， 所对的边长分别为 ，B、 cba、设 满足条件 和 ，求 和 的值cba、 22abc31Btn分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理 ，因此， 2os2bcA60A在ABC 中， C=180AB=120 B.由已知条件，应用正弦定理 BCsin)12(si31解得 从而,cot2sinsi0co120si B,cot.21tanB五、正余弦定理解三角形的实

6、际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例 1 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物C，测得 CAB=30，CBA=75 ，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC 在 AB 边上的高，而在河的一边，已测出 AB长、CAB 、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得 ，AC=AB=120m，又sinsiACB，解得 CD=60m。1122ABCSD 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例 2 某舰艇

7、测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？图 1A BCD习题精选精讲解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15北的方向上；舰艇航行半小时后到达 B 点，测得 S 在东 30北的方向上。 在ABC 中，可知AB=300.5=15， ABS=150 ，ASB=15，由正弦定理得 BS=AB=15，过点 S 作SC 直线 AB，垂足为 C，则 SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里，而灯塔周围 10 海里内有暗礁，故

8、继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题例 3 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45 方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？ 解析：设用 t h，甲船能追上乙船，且在 C 处相遇。在ABC 中，

9、AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC= ， BAC=。=1804515=120。根据余弦定理 ，22cosABCAB， ， （4t3） （32t+9）22181090()ttt8607t=0，解得 t= ，t= （舍）34AC=28 =21 n mile，BC=20 =15 n mile。34根据正弦定理，得 ，又=120， 为锐角，=arcsin ，又15si32si 4BCA5314 ，arcsin ，531472314甲船沿南偏东 arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。5点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC 、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离

10、，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于 t 的一元二次方程，解出 t 的值。五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离) 、解析几何、实际问题等知识交汇例 6 (2005 年全国高考卷三试题 )ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， .43cosB（）求 cotA+cotC 的值； （）设 ，求 ac 的值.32分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由 ,47)(1sin,43cos2B得西北南东A

11、B C3015图 2图 3ABC北4515习题精选精讲由 b2=ac 及正弦定理得 .sinsin2CAB则 1cosicosincottatiiACAC22si()si147.nn（）由 ，得 cacosB ，由B ，可得 ac2，即 b22 3B3由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB，得 a2+c2=b2+2accosB=5. 3,945)(22 caac易错题解析例题 1 在不等边ABC 中，a 为最大边，如果 ，求 A 的取值范围。b22错解： 。则bcc2220， ，由于 cosA 在（0，180）上为减函数cosA且 909， 又A 为ABC 的内角，0A90 。辨析：错因

12、是审题不细，已知条件弱用。题设是 为最大边，而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。a正解：由上面的解法，可得 A90 。又a 为最大边，A 60 。因此得 A 的取值范围是（60，90） 。例题 2 在ABC 中，若 ，试判断ABC 的形状。abB2tn错解：由正弦定理，得 sita2即 sinicosinsisin2 0ABBAB， ，。 ， 即i ii22A2B，即 AB 。故ABC 是等腰三角形。辨析：由 ，得 2A2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。sini2正解：同上得 ，2AskB或 。kZ() 或 。00AbA， ， ，

13、 则 B2故ABC 为等腰三角形或直角三角形。例题 3 在ABC 中，A 60 ，b1， ，求 的值。SABC 3abcCsinisn错解：A60，b1 ， ，又 ，ABC 12c习题精选精讲 ，解得 c4。312csin60由余弦定理，得 abA21680oscos13又由正弦定理，得 。sininCB39329， 。abcABsiis142396辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得 。由正弦定理，得ca41，。 。236029RAsini abcABCRsinisn239例题 4 在ABC 中， ，C30，求 ab 的最大值。c错解：C30，A

14、B150，B 150A 。由正弦定理，得 absini()sin1506230， 26()bAsi()又 sinA1501， 。a2626462()()()故 的最大值为 。b4辨析：错因是未弄清 A 与 150A 之间的关系。这里 A 与 150A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与 sin(150A)不能同时取最大值 1，因此所得的结果也是错误的。正解：C30，AB150，B 150A 。由正弦定理，得 absini()sin506230因此 b261()si()()i7co()4s754(83)s()83Aa b 的最大值为 。习题精选精讲例题 5 在ABC 中，已知 a2

15、，b ，C15，求 A。错解：由余弦定理，得 cab215cos6482843 。c6又由正弦定理，得 siniAaCc12而 。00001835， 或辨析：由题意 ， 。因此 A150 是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条bB件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。正解：同上 ，cba621， ， sin。00083A ， 且 ， 例题 6 在ABC 中， ，判断ABC 的形状。cos错解：在ABC 中， ，由正弦定理abB得 22RRsinin 2180AA， 且 AB 且 AB90故ABC 为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理

16、解逻辑连结词“或” 、 “且”的意义，导致结论错误。正解：在ABC 中， ，由正弦定理，abBcos得 。222RRABsininsini， 2A2B 或 2A2B180，AB 或 AB 90。故ABC 为等腰三角形或直角三角形。例题 7 若 a，b，c 是三角形的三边长，证明长为 的三条线段能构成锐角三角形。abc， ，错解：不妨设 ，只要考虑最大边的对角 为锐角即可。0。os()()cabab222由于 a， b，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有 ，即 。cos0长为 的三条线段能构成锐角三角形。， ，辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：三条边满足三角形边长关系；最长

17、线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。正解：由错解可得 cos0又 ababcabc()()习题精选精讲2() 20abcabcabc即长为 的三条线段能构成锐角三角形。， ，高考试题展示1、 （ 06 湖北卷）若 的内角 满足 ，则ABC2sin3AsincoAA. B C D53153553解：由 sin2A2sinAcosA0，可知 A 这锐角，所以 sinAcosA 0，又 ，故选 A2(sinco)sinA2、 （ 06 安徽卷）如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则1B2BA 和 都是锐角三角形1C2B 和 都是钝角三角形C 是钝角三角形

18、， 是锐角三角形12ABCD 是锐角三角形， 是钝角三角形A解： 的三个内角的余弦值均大于 0，则 是锐角三角形，若 是锐角三角形，由1B1 2ABC，得 ，那么， ，所以 是钝角三角形。故选 D。211211sincosin()2sincosin()2ABCC212ABC2223、 （ 06 辽宁 卷） 的三内角 所对边的长分别为 设向量A, ,abc, ,若 ,则角 的大小为()pacb(,)qac/pq(A) (B) (C) (D) 63223【解析】 ，利用余弦定理可得 ，即 ，/()()cbacb 2cos1C1cs23C故选择答案 B。【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条

19、件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。4、 （ 06 辽宁 卷） 已知等腰 的腰为底的 2 倍，则顶角 的正切值是（ ）AC A 323158157习题精选精讲解：依题意，结合图形可得 ，故 ，选 D15tan2A2215tant 71()A5、 （ 06 全国卷 I） 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 ，则 2caosBA B C D143443解： 中，a、b、c 成等比数列，且 ，则 b= a，C2c= ，选 B.22os4a6、06 山东卷） 在 ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c,A= ,a= ,b=1

20、，则 c=3(A) 1 （B）2 （C ） 1 （ D）3解：由正弦定理得 sinB ，又 ab，所以 AB，故 B30，所以 C90，故 c2，选 B7、 （ 06 四川卷）设 分别是 的三个内角 所对的边，则 是 的,c, ab2A（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件解析：设 分别是 的三个内角 所对的边，若 ，,abcAC, 2c则 ，则 ，2sini(sni)B1coscsins2aBC ， ，1(coin()i()A又 ， ， ， ，si)siACi()sB2若ABC 中， ，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到 ，2 abc所以 是

21、 的充要条件，选 A. 2abc8、 （ 06 北京卷）在 中，若 ，则 的大小是_.ABCsin:si5:78BCB解： abc578 设 a5k，b7k，c8k，sin:si由余弦定理可解得 的大小为 .39、 （ 06 湖北卷）在 ABC 中，已知 ，b4，A30，则 sinB .32解：由正弦定理易得结论 sinB 。3210、 （06 江苏卷）在ABC 中，已知 BC12，A60，B 45，则 AC 习题精选精讲【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得， 解得sin45i60ACB46AC【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运

22、用余弦定理11、 （06 全国 II）已知ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB1，BC4，则边 BC 上的中线 AD 的长为 解析: 由 的三个内角 A、B 、C 成等差数列可得 A+C=2B 而 A+B+C= 可得 3BAD 为边 BC 上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 。3D本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。12、 （06 上海春）在 中，已知 ，三角形面积为 12，5,8A则 .C2cos解：由三角形面积公式，得 ，即 1sin20i1BCC 3sin5于是 从而应填 27ssin513、 （06 湖南卷）如图 3,D 是直角AB

23、C 斜边 BC 上一点,AB=AD,记CAD= ,ABC= .（1）证明 ;sico20（2）若 AC= DC,求 的值.3解：(1)如图 3， ，(),sini(2)cos222即 sinco0（2） 在 中，由正弦定理得ABC3,.sin3sisini()siniDDC由(1)得 ，co2 2co2(1in),即 2 333sini30.sinsi解 得 或0,i,.214、 （06 江西卷）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，ABC ，abc已知 ，2sin3（1）求 的值；22tasin（2）若 ， ，求 的值ABCS bB D CA图 3习题精选精讲解：（1）因为锐角ABC 中，AB

24、C， ，所以 cosA ，则2sin3A132222itansisicos1coBC11co7As s3 （ ） （ ） （ ） （2） ，则 bc3。ABCBC2S2Sbcsin2A因 为 ， 又 将 a 2， cosA ，c 代入余弦定理： 中得1322acbosA 426b90 解得 b 15、 （06 江西卷）如图，已知ABC 是边长为 1 的正三角形，M、 N 分别是边 AB、AC 上的点，线段 MN 经过ABC 的中心 G，设 MGA （ ）23（1） 试将AGM、AGN 的面积（分别记为 S1 与 S2）表示为 的 函数（2）求 y 的最大值与最小值21S解：（1）因为 G 是边

25、长为 1 的正三角形 ABC 的中心，所以 AG ， MAG ，32 6由正弦定理 得MAsini6 （ ） 3GMsin6 （ ）则 S1 GMGAsin ，同理可求得 S22sn12i6（ ） si1（ ）（2） y 72（3cot 2） ，21 224sisinin6 （ ） （ ） 因为 ，所以当 或 时，y 取得最大值 ymax24033当 时，y 取得最小值 ymin216216、 （06 全国卷 I） 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值。ABCBC、 、 cos2BC.解: 由 A+B+C= , 得 = , 所以有 cos =sin .B+C2 2

26、 A2 B+C2 A2DAB CMN习题精选精讲cosA+2cos =cosA+2sin =1 2sin2 + 2sin =2(sin )2+ B+C2 A2 A2 A2 A2 12 32当 sin = , 即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为A2 12 3 B+C2 3217、 （06全国II） 在 ,求545,10,cosA中 ，（1） ?BC(2)若点 DA是 的 中 点 ， 求 中 线 CD的 长 度 。解：（1）由255cossin得 2310in(1804)(cosin)ACC由正弦定理知 103sin22BA（2） ， 105sin2AC1BDA由余弦定理知2cos1

27、8313DBC18、 （06 四川卷）已知 是三角形 三内角，,AA向量 ，且13cos,inm1m（）求角 ；（）若 ，求22sincoBtaB解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。（） 即1m,3cos,in1A3sinco1A, 2sin2i62 50,6AA3（）由题知 ，整理得221sico3nB22sinicos0BB cotat0 或ta1而 使 ，舍去 nB22csinBtan2B习题精选精讲 tantCABtanABtant1BA23185119、 （06 天津卷）如图，在 中， ， ， C2C4

28、cos（1）求 的值；（2）求 的值. Asin本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考 察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分 12 分.（）解： 由余弦定理，22.cosBCABC3412.4那么， .（）解：由 ，且 得3cos40,27sin1cos.4C由正弦定理， 解得 。,siniABCii8BA所以， 。由倍角公式 ，52co857sin2icos16A且 ，29s1sin6A故 . 37inicos2in8CC20、 （07 重庆理 5）在 中， 则 BC =（ ）AB,5,4,300AA. B. C.2 D.323【答案】：A【

29、分析】： 由正弦定理得：00,45,7,C3, ,sinisini5624acBA3.BC21、 （07 北京文 12 理 11）在 中，若 ， ， ，则 ABC 1tan350C1BA解析：在 中，若 ， ， A 为锐角， ， ，则根据正弦定理 = 1tan350sin01CABsinC习题精选精讲。 10222、 （07 湖南理 12）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，b= ，ABC ， ， abc， ， 17，则 3c【答案】 56【解析】由正弦定理得 ，所以137cos,22B5.6B23、 （07 湖南文 12） 在 中，角 A、B、C 所对的边分别为 ，abc、 、若 ，则 A=

30、 .1,3,a【解析】由正弦定理得 ，所以 A=213sinisini caCcAa 624、 （07 重庆文 13）在ABC 中，AB=1,B C=2,B=60，则 AC 。【答案】： 3【分析】：由余弦定理得： 221cos603AAC24、 （07 北京文理 13）2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 的值等于 cos2解析：图中小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25， 每一个直角三角形

31、的面积是 6，设直角三角形的两条直角边长分别为 a, b，则，2516ab 两条直角边的长分别为 3，4，设直角三角形中较小的锐角为 ，cos= ，cos2=2cos 21= 。57525、 （07 福建理 17）在 中， ， ABC 1tan43taB（）求角 的大小；（）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长 7本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分 12 分习题精选精讲解：（） ， ()CAB1345tant()CAB又 ， 034（） ， 边最大，即 34AB17又 ， 角 最小， 边为最小边tant0， ， ， ABC由 且 ，22

32、si1tco4inA， 2，得 由 得： 17sisiniBCAsin2ABC所以，最小边 226、 （07 广东理 16）已知 顶点的直角坐标分别为 ， ， (34)， (0)， ()c，（1）若 ，求 的值；5csinA（2）若 是钝角，求 的取值范围 c解析： （1） ， ，若 c=5， 则 ，(3,4)B(3,4)Cc (2,4)AC ，sinA ；61cos,52A52）若A 为钝角，则 解得 ，c 的取值范围是 ；390c532(,)328、 （07 湖北理 16）已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 BC 06BCABC（I）求 的取值范围；（II ）求函数 的最大值与最

33、小值2()sincos24f本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力解：（）设 中角 的对边分别为 ，AB ，ab则由 ， ，可得 ， 1sin32bc0cos6b 0cot1 42，（） 2()i24f1s23cos(1sin)3cosin3coin1习题精选精讲， ， 42 2362sin13 即当 时， ；当 时， 51max()f4min()f29、 （07 全国卷 1 理 17）设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ABC， ， abc， ， 2sinA（）求 的大小；B（）求 的取值范围cosinA解：（）由 ，根据正弦

34、定理得 ，所以 ，2absin2isnBA1siB由 为锐角三角形得 C 6B（） cosincosinAcosin613i2Ai3由 为锐角三角形知， ， ABC 2B26，所以 361sin3由此有 ，si22A所以， 的取值范围为 coinC3，30、 （07 全国卷 2 理 17）在 中，已知内角 ，边 设内角 ，周长为 AB A23BCBxy（1）求函数 的解析式和定义域；()yfx（2）求 的最大值解：（1） 的内角和 ，由 得 C C0， ， 2应用正弦定理，知 ，23sinsi4inBAxsi4inCx因为 ，yAB所以 ，224sini30xxx习题精选精讲（2）因为 14s

35、incosin23yxx，53i所以，当 ，即 时， 取得最大值 xxy6332、 （07 山东文 17）在 中，角 的对边分别为 ABC ， ， tan37bcC， ， ，（1）求 ；cos（2）若 ，且 ，求 52C9abc解：（1） sintn3737oC，又 解得 22sic11cs8， 是锐角 ta0C（2） ， ， 52BA5cos2ab0ab又 9b81241 22cs36cCc33、 （07 上海理 17）在 中， 分别是三个内角 的对边AB ab， ， ABC， ，若 ， ，求 的面积 4,a52os S解： 由题意，得 为锐角， ， 3c5B， 4in， 1027si)si

36、n(i BCA由正弦定理得 ， 710c148sin257SacA34、 （07 天津文 17）在 中，已知 ， ， 3CcosA（）求 的值；sinB（）求 的值26本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力满分 12 分（）解：在 中， ，ABC2243sin1cos15A习题精选精讲由正弦定理， 所以 siniBCA23sinsi5ACB（）解：因为 ，所以角 为钝角，从而角 为锐角，于是4co5，221cs1i1B，27os5214sinicoBi2sin2cos2in666B 213715275035、 （07 浙江理 18）已知 的

37、周长为 ，且 AC sinsiABC（I）求边 的长；B（II ）若 的面积为 ，求角 的度数 1sin6解：（I）由题意及正弦定理，得 ， ，21B2A两式相减，得 A（II ）由 的面积 ，得 ，BC 1sini26C3BCA由余弦定理，得 ，2cosA22()1B所以 6036、 （07 天津文理 15） 如图，在 中，BC 是边120,1,ACBACD上一点， 则BC2,DA _.【答案】 83【分析】法一：由余弦定理得 222cos BABCA可得 ，7BC13,AD又 夹角大小为 ， ，,AB22398cos 4171BDA所以 .83BA法二：根据向量的加减法法则有: CBB习题

38、精选精讲,此时112()33ADBACBA22() 3CCBA .183正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边 )，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例 1(2005 年全国高考江苏卷) 中， ，BC3，则 的周长为（ ）ABCABCA B C D3sin346sin43sin36sinB分析：由正弦定理，求出 b 及 c，或整体求出 bc ，

39、则周长为 3bc 而得到结果解：由正弦定理得： ，2sinisini sin()3 3cB 得 bc sinBsin( B) 故三角形的周长为：3bc ，故选(D)226i() 36sinB评注：由于本题是选择题也可取ABC 为直角三角形时，即 B ，周长应为 3 3，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)6例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在 ABC 中，已知 ，AC 边上的中线 BD= ，求 sinA 的值cos,34A5分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 ，设 BEx 奎 屯王

40、新 敞新 疆621BDE在 BDE 中利用余弦定理可得： ，EDBcos22，解得 ， （舍去） 奎 屯王 新 敞新 疆xx632852137x故 BC=2，从而 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆 又 ，故 ， 奎 屯王 新 敞新 疆28cos22BCABAC21A630sinB63021sinA470sinA二、判断三角形的形状 给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例 3(2005 年北京春季高考题)在 中，已知 ，那么 一定是（ ）Csicsin2AA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 sin(AB)sinAcosBcosA sinB，即 sinAcos

41、BcosA sinB0，得 sin(AB)0，得 AB 故选sincosi2习题精选精讲(B)解法 2：由题意，得 cosB ，再由余弦定理，得 cosB sin2CcAa22acb ，即 a2b 2，得 ab，故选(B)2acb评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例 4(2005 年全国高考上海卷) 在 中，若 ， ， ，则 的面积 S_ 奎 屯王 新 敞新 疆ABC1205AB7CAB分析：本题只需由余弦定理，求出边 AC，再运用面积公式 S

42、ABACsinA 即可解决解： 由余弦定理，得 cosA ，解得 AC322249110B S ABACsinA ABACsinA ACh，得 hAB sinA ，故选(A)214352122四、求值问题例 5(2005 年全国高考天津卷) 在 中， 所对的边长分别为 ，设 满足条件BCC、 cba、 c、和 ，求 和 的值22abc31tan分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理 ，因此， 在ABC 中，C=180 AB=120 B.21os2bcA60A由已知条件，应用正弦定理 BCsin)2(si3解得 从而,1cot2sinsi10co120si B,cot.21tanB五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离) 、解析几何、实际问题等知识交汇例 6(2005 年全国高考卷三试题)ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， .43cosB（）求 cotA+cotC 的值； （）设 ，求 ac 的值.32分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由 由 b2=ac 及正弦定理得