1、加课练(3) 正弦定理与余弦定理A 组 基础题组1.在ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos 2A=sin A,bc=2,则ABC 的面积为( ) A. B. C.1 D.2答案 A 由 cos 2A=sin A,得 1-2sin2A=sin A,解得 sin A= (负值舍去),由 bc=2,可得ABC的面积 S=bcsin A=2=.故选 A.2.在ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin2B=2sin Asin C,cos B=,ac,则=( )A. B.2 C.3 D.4答案 B 由正弦定理,得 b2=2ac,又 cos B= =,
2、即 =,整理得 2 -2+2-22 2+2-22 ()2+2=0,又 ac,所以=2,故选 B.53.(2018 广东七校联考( 一)在锐角ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin A= ,a=3,SABC =2 ,则 b 的值为( )223 2A.6 B.3 C.2 D.2 或 3答案 D 因为 SABC =2 =bcsin A,sin A= 且 A ,所以 bc=6,cos A=,又 a=3,由余2223 (0,2)弦定理得 9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,所以 b2+c2=13,可得 b=2 或 b=3.4.在ABC 中 ,已知 AB= ,AC
3、= ,tanBAC=-3,则 BC 边上的高等于( )2 5A.1 B. C. D.22 3答案 A tan BAC=-3, sinBAC= ,cos BAC=- ,BC 2=AC2+AB2-31010 10102ACABcosBAC=5+2-2 =9,BC=3,S ABC =ABACsinBAC= 5 2(- 1010) 2 =,BC 边上的高为 = =1.故选 A.531010 2 23235.在梯形 ABCD 中,AB CD,AB=1,AC=2,BD=2 ,ACD=60,则 AD=( )3A.2 B. C. D.13-67 19 3答案 B 在梯形 ABCD 中,AB CD,ACD=60
4、,BAC=60.在ABC 中,AB=1,AC=2,由余弦定理,得BC= = ,AB 2+BC2=AC2,ABC= BCD=90. 在BCD 中,由4+1-221cos60 3勾股定理,得 CD= =3,在ACD 中,由余弦定理,得 AD=(23)2-( 3)2= .故选 B.9+4-232cos60 76.在ABC 中 ,若 sin Asin Bsin C=346,则 cos B= . 答案 2936解析 由正弦定理,得 a bc=sin Asin B sin C=346.不妨设a=3m,b=4m,c=6m(m0),则 cos B= = .2+2-22 29367.在ABC 中 ,A=60,A
5、C=4,BC=2 ,则ABC 的面积等于 . 3答案 2 3解析 由 = ,得 sin B= sin A= =1,sinsin 423 32B=90,故 C=30,S ABC =ACBCsin C=42 =2 .3 38.已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,BAC= ,点 D 在边 BC 上,AD=1,且2BD=2DC,BAD=2DAC,则 = . sinsin答案 32解析 由BAC= 及BAD=2DAC,可得BAD= ,DAC= .令 DC=x(x0),则 BD=2x.2 3 6因为 AD=1,在ADC 中,由正弦定理得 = ,所以 sin C= ,在ABD 中,
6、sin B= = ,所1sin sin6 12 sin32 34以 = = .sinsin3412 329.在ABC 中 ,已知内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 2ccos B=2a+b.(1)求 C;(2)若 a+b=6,ABC 的面积为 2 ,求 c.3解析 (1)由正弦定理得 2sin Ccos B=2sin A+sin B,又 sin A=sin(B+C),2sin Ccos B=2sin(B+C)+sin B,2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C+sin B,2sin Bcos C+sin B=0(sin B0),cos C=-.又 C
7、 (0,),C= .(2)由ABC 的面积 S=absin C=2 ,3得 ab=2 ,34 3ab=8,c 2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=36-8=28,c=2 .7B 组 提升题组1.(2018 广西两校联考( 二)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bc=1,b+2ccos A=0,则当角 B 取得最大值时,ABC 的周长为( )A.2+ B.2+ C.3 D.3+3 2 2答案 A 由题意可得,sin B+2sin Ccos A=0, 即 sin(A+C)+2sin Ccos A=0,得 sin Acos C=-3si
8、n Ccos A,即 tan A=-3tan C.又 cos A=- 0.2从而 tan B=-tan(A+C)=- = = ,由基本不等式,得 +3tan tan+tan1-tantan 2tan1+32 21tan+3tan 1tanC2 =2 ,当且仅当 tan C= 时等号成立 ,此时角 B 取得最大值,且 tan B=tan 1tan3tan 3 33C= ,tan A=- ,即 b=c,A=120,又 bc=1,所以 b=c=1,a= ,故ABC 的周长为 2+ .故选 A.33 3 3 32.(2018 课标全国文,16,5 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,
9、c,已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC 的面积为 . 答案 233解析 由已知条件及正弦定理可得 2sin Bsin C=4sin Asin Bsin C,易知 sin Bsin C0, sin A=,又 b2+c2-a2=8,cos A= = ,cos A0,cos A= ,即2+2-22 4 32= ,bc= ,432 833ABC 的面积 S=bcsin A= = .833 2333.(2018 辽宁五校协作体联考)已知函数 f(x)=cos2x+ sin(-x)cos(+x)-.3(1)求函数 f(x)在0, 上的单调递减区间;(
10、2)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求ABC 的面积.解析 (1)f(x)=cos 2x- sin xcos x-3= - sin 2x-1+cos22 32=-sin ,(2-6)2k- 2x- 2k+ ,kZ,2 6 2k- xk+ ,kZ ,又 x0,6 3函数 f(x)在0,上的单调递减区间为 和 .0,3 56,(2)由(1)知 f(x)=-sin ,(2-6)f(A)=-sin =-1,(2-6)ABC 为锐角三角形 ,0A ,2- 2A- ,6 6562A- = ,即 A= .62 3又 bs
11、in C=asin A,bc =a2=4,S ABC =bcsin A= .34.如图,在ABC 中,AB=2,cos B=,点 D 在线段 BC 上.(1)若ADC=,求 AD 的长;(2)若 BD=2DC,ACD 的面积为 ,求 的值.423 sinsin解析 (1)在 ABC 中,cos B=,sin B= .223在ABD 中, = ,sinsin又 AB=2,ADB= ,sin B= ,AD= .4 223(2)BD=2DC,S ABD =2SADC ,SABC =3SADC ,又 SADC = ,S ABC =4 ,423 2S ABC =ABBCsinABC,BC=6.S ABD =ABADsinBAD,S ADC =ACADsinCAD,SABD =2SADC , =2 ,sinsin在ABC 中,AC 2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,AC=4 , =2 =4 .2sinsin 2
