1、小题必刷卷(四) 导数及其应用考查范围:第 13 讲 第 15 讲题组一 刷真题 角度 1 导数的运算及几何意义1.2018全国卷 设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数, 则曲线 y=f(x)在点(0, 0)处的切线方程为 ( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.2016山东卷 若函数 y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直, 则称 y=f(x)具有 T 性质 .下列函数中具有 T 性质的是 ( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x33.2016四川卷 设直线 l1,l2分别是函数 f(x)=
2、图像上点 P1,P2处的切线, l1与 l2垂,01 直相交于点 P,且 l1,l2分别与 y 轴相交于点 A,B,则 PAB 的面积的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+ )D.(1,+ )4.2018天津卷 已知函数 f(x)=exln x,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为 . 5.2018全国卷 曲线 y=2ln x 在点(1,0) 处的切线方程为 . 6.2017天津卷 已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图像在点(1, f(1)处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的截距为 . 7.2016全国卷 已知 f(x)为偶函数 ,当 x0 时
3、, f(x)=e-x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1, 2)处的切线方程是 . 8.2015全国卷 已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1, f(1)处的切线过点( 2,7),则 a= . 9.2015全国卷 已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1) 处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= .角度 2 导数的应用10.2017全国卷 函数 y=1+x+ 的部分图像大致为 ( )2A BC D图 X4-111.2017山东卷 若函数 exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增, 则称函数 f(x)具有 M 性质 .
4、下列函数中具有 M 性质的是 ( )A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x12.2016四川卷 已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a= ( )A.-4B.-2C.4 D.213.2018江苏卷 若函数 f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0, + )内有且只有一个零点,则 f(x)在 -1,1上的最大值与最小值的和为 . 14.2017江苏卷 已知函数 f(x)=x3-2x+ex- ,其中 e 是自然对数的底数 .若 f(a-1)+f(2a2)0,则实数1a 的取值范围是 . 题组二 刷模拟 15.2018贵州遵义航天中学
5、月考 曲线 y=xln x 在点 M(e,e)处的切线方程为 ( )A.y=x-e B.y=x+eC.y=2x-e D.y=2x+e16.2018湖南五市十校联考 已知函数 f(x)=2x-aln x,且曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线x+y+1=0 垂直,则 a= ( )A.1 B.2C.-1D.-217.2018大连一模 若曲线 y=ex在点 P(x0, )处的切线在 y 轴上的截距小于 0,则 x0的取值范围是0( )A.(0,+ ) B.(1,+ )C.(2,+ ) D.(1,+)18.2018四川雅安 4 月联考 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3)=
6、16,且 f(x)的导函数 f(x)-3C.x|x3 D.x|x319.2018石家庄模拟 曲线 y=ex-1+x 的一条切线经过坐标原点,则该切线方程为 ( )A.y=2ex B.y=exC.y=3x D.y=2x20.2018安徽安庆二模 已知函数 f(x)=2ef(e)ln x- (e 是自然对数的底数 ), 则 f(x)的极大值为 ( )A.2e-1 B.-1C.1 D.2ln 221.2018重庆巴蜀中学月考 已知函数 f(x)为偶函数,且当 x0 时, f(x)=x+ sin x,则关于 x 的不等12式 f(x)f(2x-1)的解集为 ( )A.x|11 D. x 0 在 R 上
7、恒成立,则以下不等式一定成立的是 ( )A.f(1) B.f(1)e3f(1) D.f(-2)0 且 a1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,则 loga = . 32小题必刷卷(四)1.D 解析 因为 f(x) 为奇函数,所以 a-1=0,即 a=1,所以 f(x)=x3+x,所以 f(x)=3x2+1.因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=x.故选 D.2.A 解析 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知 ,函数在两点处的导数之积为 -1.对于A,y=(sin x)=cos x,存在 x1,x2使 cos x1cos x2=-1.3.A 解析
8、不妨设 P1,P2两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),其中 01. 11 12且 00 时, -x0时, f(x)=ex-1+x,f(x)=ex-1+1,即 f(1)=2, 曲线在点( 1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),整理得 2x-y=0.8.1 解析 因为 f(x)=3ax2+1,所以函数在点( 1,f(1),即点(1,2 +a)处的切线的斜率 k=f(1)=3a+1.又切线过点(2,7),则经过点( 1,2+a),(2,7)的直线的斜率 k= ,所以 3a+1= ,解得 a=1.2+712 2+7129.8 解析 对函数 y=x+ln x 求导得 y=1+ ,函
9、数图像在点(1, 1)处的切线的斜率 k=y|x=1=2,所以在点1(1,1)处的切线方程为 y=2x-1,又该切线也为函数 y=ax2+(a+2)x+1 的切线, 所以由得 ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以 =a 2-8a=0,得 a=8 或 a=0(舍) .=21,=2+(+2)+110.D 解析 函数 y=1+x+ 的图像可以看成是由 y=x+ 的图像向上平移一个单位长度得到的,并2 2且 y= =1+ ,当 x 时, y1,所以可确定答案为 A 或 D,又当 x=1 时,(1+2) 23y=1+1+sin 12,由图像可以排除 A,故选 D.11.A 解析 令 g(x)=e
10、xf(x).对于 A,f(x)的定义域为 R,g(x)=ex2-x= 在 R 上单调递增,所以 f(x)具有 M(2)性质;对于 B,f(x)的定义域为 R,g(x)=exx2,g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)0 在 R 上不恒成立,所以 g(x)在 R上不单调递增,所以 f(x)不具有 M 性质;对于 C,f(x)的定义域为 R,g(x)=ex3-x= 在 R 上单调递减,所以(3)f(x)不具有 M 性质;对于 D,f(x)的定义域为 R,g(x)=excos x,g(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x)0在 R 上不恒成立,所以 g(x)在
11、 R 上不单调递增,所以 f(x)不具有 M 性质 .故选 A.12.D 解析 由已知得, f(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2).于是当 x2 时, f(x)0;当 -20,则函数 f(x)在(0,+ )上是增函数 ,则 f(x)f(0)=1,则 f(x)在(0, + )上没有零点, 不满足题意 ,舍去 .当 a0 时, 令 f(x)=0及 x0,得 x= ,则当 x 0, 时, f(x)0,因此函数 f(x)的单调递减区间是 0,3 3 3,单调递增区间是 ,+ ,在 x= 处 f(x)取得极小值 f =- +1.而函数 f(x)在(0, + )内有且只有一3 3
12、3 (3) 327个零点,所以 f =- +1=0,解得 a=3,因此 f(x)=2x3-3x2+1,则 f(x)=2x(3x-3).令 f(x)=0,结合 x -1,1,(3) 327得 x=0 或 x=1.而当 x( -1,0)时, f(x)0,当 x(0,1)时, f(x)1.故选 B.0 018.C 解析 令 g(x)=f(x)-2x2+x-1,则 g(x)=f(x)-4x+13,所以不等式 f(x)3.故选C.19.D 解析 设切点坐标为( a,ea-1+a),由 y=(ex-1+x)= +1=ex-1+1,知切线的斜率 k=ea-1+1,故切线方()程为 y-ea-1-a=(ea-
13、1+1)(x-a),又切线过原点,所以 -ea-1-a=(ea-1+1)(-a),解得 a=1,故切线方程为 y=2x.故选D.20.D 解析 因为 f(x)= - ,所以 f(e)= - ,得 f(e)= ,所以 f(x)= - ,令 f(x)=0,得 x=2e,所2() 1 2() 1 1 21以 f(x)的极大值为 f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,故选 D.21.D 解析 由题得当 x0 时 ,f(x)=1+ cos x0,所以函数 f(x)在0, + )上单调递增,由于函数 f(x)12是偶函数,所以函数 f(x)在( - ,0)上单调递减 .由不等式 f(x)f(2x-1)
14、,得 |x|2x-1|,两边平方,解得0 在 R 上恒成立, 所以 g(x)g(2),即 f(1) .故选 A.(2)223.A 解析 依题意可知,在0,1上, f(x)max-f(x)min a-2,且 a2,f(x)=(ax-1)ln a+2x,所以当 x0 时,f(x)0,函数 f(x)在 0,1上单调递增,则 f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,所以 f(x)max-f(x)min=a-ln a,所以 a-ln a a-2,解得 ae 2.故选 A.24. 解析 由 y=ax2,得 y=2ax,则切线的斜率 k=2a,又切线与直线 2x-y-6=0
15、 平行,所以 2a=2,得 a=1.54所以点 P(1,1)到直线 y=- =- 的距离 d=1+ = .4 14 145425.-4 解析 由函数 f(x)的解析式可得 f(x)=3x2-6x,令 f(x)=0,可得 x1=0,x2=2,由题意可知函数 f(x)的极大值或极小值为 0,即 f(0)=-a=0,得 a=0 或 f(2)=8-12-a=0,得 a=-4,因为 a0, 所以 a=-4.26. 解析 由题得 f(x)=-2x-3,所以 f(x)的图像在点( a,a-2)处的切线方程为 y-a-2=-2a-3(x-a).令 x=0,12得 y=3a-2,令 y=0,得 x= ,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3a-2 =3,得 a= ,所以32 12 32 34loga =lo = .32 34(34)1212
