1、精选大题2019广州一模已知函数 elnxfa（1）若 ，求 的单调区间；eafx（2）当 时，记 的最小值为 ，求证 0fm1【答案】 （1）函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）见解析fx0, 1,【解析】 （1）当 时， ， 的定义域是 ，eaelnxffx0,，1x xfx当 时， ；当 时， 00f10f所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 fx, 1,（2）证明：由（1）得 的定义域是 ， ，fx0,exfxa令 ，则 ， 在 上单调递增，exga1exgg,因为 ，所以 ， ，000a故存在 ，使得 0,xa00exg当 时， ， ， 单调递减；,x10xfa
2、fx当 时， ， ， 单调递增；0,x0gexff故 时， 取得最小值，即 ，fx000lnxmfax由 ，得 ，0exa00enllxxa令 ， ，则 ，lh1lnlhx当 时， ， 单调递增，0,1xln0xlx当 时， ， 单调递减，,lhlnhx故 ，即 时， 取最大值 1， 1xalxxm函数与导数：存在、恒成立与最值问题大题精做十模拟精做12019青海联考已知函数 e1xfa（1）讨论函数 的单调性；fx（2）当 有最小值，且最小值不小于 时，求 的取值范围f 21aa【答案】 （1）见解析；（2） 0,1【解析】 （1） ，exfa当 时， ，所以函数 在 上单调递增；0a0xf
3、fxR当 时，令 ，解得 ，flna当 时， ，故函数 在 上单调递减；,lnxa0fxfx,lna当 时， ，故函数 在 上单调递增l,ffl,（2）由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，没有最小值，故 0afxR0a，2minlln1fxf a整理得 ，即 20aal0令 ，易知 在 上单调递增，且 ；l()gg,10g所以 的解集为 ，所以 ln20a,10,1a22019咸阳模拟设函数 ， exfxmR（1）当 时，求 的单调区间；mf（2）求证：当 时， 0,x1len2x【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）当 时， ， ，令 ，则 m1exfx1exf1e0xf
4、 当 时， ；当 时， ，0x0fx0f函数 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 f ,0,（2）由（1）知，当 时， ，1mmax0ff当 时， ，即 ，0,xe0x1当 时，要证 ，只需证 ，, 1ln22exx令 ，2eexxxF，2ln1e1exxxxxx 由 ，可得 ，e1x2e1x则 时， 恒成立，即 在 上单调递增， 0,0F Fx0,0Fx即 ， 2e1xxln2x32019茂名一模已知函数 在 处的切线斜率为 1exafR2xe2（1）求实数 的值，并讨论函数 的单调性；a（2）若 ，证明： elnxgf1gx【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1） ，122ee
5、xxxaf a由切线斜率 ，解得 21kf，其定义域为 ， ，12exf,0,12exf令 ，解得 ，故 在区间 上单调递增；0fx1,令 ，解得 ，且 ，故 在区间 和区间 上单调递减fx1x0f,0,1（2）由（1）知 ，定义域为 12elnxg,从而 等价于 ，xx设 ，则 ， ln0hln1h 1ln0eh当 时， ；当 时， e1,xx,xx故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，h0, e,从而 在 的最小值为 x1,e1h设 ，则 ，e20xm1exm当 时， ；当 时， ，,1,0mx故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，x0, 1,从而 在 的最大值为 ，m,e综上所述，在区间 上恒有 成立，即 0,hxm1gx
