1、课时作业 47 椭圆基础达标一、选择题1若直线 x2y 2 0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A. y2 1x25B. 1x24 y25C. y21 或 1x25 x24 y25D以上答案都不对解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，( 2,0) ，由题意知当焦点在 x 轴上时， c2，b1，a 25，所求椭圆的标准方程为 y 21.x25当焦点在 y 轴上时，b2，c1 ，a 25，所求椭圆的标准方程为 1.y25 x24答案：C22019武汉高中调研 曲线 C1： 1 与曲线x225 y29C2： 1(09k0，所以曲线 C2是焦点在x 轴上的椭圆，记其长半轴长为
2、a2，短半轴长为 b2，半焦距为 c2，则 c a b 25 k(9k)16.曲线 C1也是焦点在 x 轴上的椭2 2 2圆，记其长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c1，则c a b 259 16，所以曲线 C1和曲线 C2的焦距相等，故选21 21 21D.答案：D32019湖北中学联考 已知椭圆 1 的左、右焦点分别x24 y23为 F1、 F2，过 F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于 A，B 两点，则ABF1 内切圆的半径为( )A. B143C. D.45 34解析：不妨设 A 点在 B 点上方，由题意知：F 2(1,0)，将 F2的横坐标代入椭圆方程 1 中，可得 A 点纵
3、坐标为 ，故| AB|3，x24 y23 32所以内切圆半径 r (其中 S 为ABF 1的面积，C 为ABF 12SC 68 34的周长) 故选 D.一题多解 由椭圆的通径公式得|AB| 3，则 S2b2aABF1 233，又易得ABF 1的周长 C4a8，则由 S12ABF1 Cr 可得 r .故选 D.12 34答案：D42019石家庄质量检测 倾斜角为 的直线经过椭圆4 1( ab0)的右焦点 F，与椭圆交于 A、B 两点，且x2a2 y2b22 ，则该椭圆的离心率为 ( )AF FB A. B.32 23C. D.22 33解析：由题可知，直线的方程为 yx c，与椭圆方程联立得Er
4、ror!，( b2a 2)y2 2b2cyb 40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则Error!，又 2 ，(cx 1，y 1)2(x 2c，y 2)，AF FB y 12y 2，可得Error!， ，e ，故选 B.12 4c2a2 b2 23答案：B52019陕西西安八校联考 某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A. B.12 24C. D.22 32解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为 a，则斜边长为 a，圆锥的底面半径
5、为 a、母线222长为 a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为 a、短轴长为 a，其离心2率 e ，选 C.1 ( a2a)2 22答案：C二、填空题6椭圆 1(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，以 FAx2a2 y2b2为直径的圆经过椭圆的上顶点 B，则椭圆的离心率为_解析：以 FA 为直径的圆经过椭圆的上顶点 B，则 ，FB AB 所以 0， (c，b) ， (a，b)，FB AB FB AB 所以 b 2ac0，即 a2c 2ac 0.FB AB 两边同除以 a2，得 e2e10，所以 e .5 12答案：5 127已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是
6、 2 ，则椭圆 C 的方程是_3解析：设椭圆 C 的方程为 1(ab0)x2a2 y2b2由题意知Error!解得 a216，b 212.所以椭圆 C 的方程为 1.x216 y212答案： 1x216 y21282019山西月考 设 F1、F 2 为椭圆 C： 1(ab0)的左、x2a2 y2b2右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若 F 2AB 是面积为4 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为_3解析：F 2AB 是面积为 4 的等边三角形，3ABx 轴，A，B 两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得| F1A|F 1B| .b2a又|F 1F2|2c ，F 1F2A30
7、， 2c .b2a 33又 SF 2AB 2c 4 ，a 2b 2c 2 ，12 2b2a 3由解得 a29，b 26，c 23，椭圆 C 的方程为 1.x29 y26答案： 1x29 y26三、解答题92019贵州适应性考试 设 F1，F 2 分别是椭圆E： 1( ab0)的右、右焦点，E 的离心率为 ，点(0,1)是 Ex2a2 y2b2 22上一点(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，且 2 ，求直BF1 F1A 线 BF2 的方程解析：(1) 由题意知，b1，且 e2 ，c2a2 a2 b2a2 12解得 a22，所以椭圆 E 的方程为 y 2
8、 1.x22(2)由题意知，直线 AB 的斜率存在且不为 0，故可设直线 AB 的方程为 xmy1，设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)由Error!得(m 22) y2 2my10，则 y1y 2 ，2mm2 2y1y2 ，1m2 2因为 F1(1,0)，所以 (1x 2， y2)， ( x11，y 1)，BF1 F1A 由 2 可得， y22y 1，BF1 F1A 由可得 B ，( 12， 144)则 kBF2 或 ，146 146所以直线 BF2的方程为y x 或 y x .146 146 146 146102019 广东深圳模拟 已知椭圆 C： 1(ab0)的离x2a2 y2b
9、2心率为 ，其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 P(0,2)的直线 l 与椭33 5圆相交于 A、B 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 是 AB 中点，且点 Q 的坐标为 ，当 QMAB 时，(25，0)求直线 l 的方程解析：(1) 由题意可知 a2b 25，又 e ，a 2b 2c 2，ca 33所以 a ，b ，所以椭圆 C 的方程为 1.3 2x23 y22(2)若直线 l 的斜率不存在，此时 M 为原点，满足 QMAB，所以，方程为 x0.若直线 l 的斜率存在，设其方程为 ykx2，A(x 1，y 1)，B(x2， y2)，将直线方程与椭圆方程联立可得Error!即(2 3
10、k2)x212kx60，x1x 2 ， 12k2 3k2由题意可知 72k 2480，即 k 或 kb0)的左、右x2a2 y2b2顶点分别是 A，B ，左、右焦点分别是 F1，F 2，若|AF1|，| F1F2|，|F 1B|成等比数列，则椭圆 C 的离心率为( )A. B.55 22C. D.12 33解析：|AF 1|，|F 1F2|，| F1B|成等比数列，|F 1F2|2|AF 1|F1B|，即 4c2(ac)( ac)，即 4c2a 2c 2，即 5c2a 2，即 a c，5椭圆 C 的离心率 e ，故选 A.ca 55答案：A122019 湖南长沙模拟 椭圆 x2 1(0 ，所以 b0)的左、右焦点 F1，F 2，与椭圆在第一象限的交x2a2 y2b2点为 A，且 F1，E，A 三点共线，则该椭圆的方程为_解析：对于 x2 2 ，当 y0 时，x ，(y 12) 94 2F 1( ， 0)，F 2( ，0)，E 的坐标为 ，直线 EF1的2 2 (0，12)方程为 ，即 y x ，由Error!y 012 0 x 20 2 24 12得点 A 的坐标为( ， 1)，2则 2a|AF 1|AF 2|4，a2，b 22，该椭圆的方程为 1.x24 y22答案： 1x24 y22
