1、陕西省西安市长安区第一中学 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1.复数 在复平面内对应的点位于( )12i1+2iA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出坐标得答案【详解】解： ，1-2i1+2i=(1-2i)(1-2i)(1-2i)(1+2i)=1-4i-45 =-35-45i复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ） ，位于第三象限1-2i1+2i -35， -45故选：C
2、【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.已知集合 A=x|14 1 x(0,+),2x1命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题；sinx=siny x=y若命题 为真，命题 为真，则命题 且 为真；p q p q命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”.x=3 x22x3=0 x3 x22x30A. 个 B. 个 C. 个 D. 个0 1 2 3【答案】B【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断， 根据逆否命题的等价性进行判断，根据复合命题真假关系进行判断， 根据否命题的定义进行判断【详解】 命题 “任意 x（0，+），2x1”的否定是“存
3、在 x（0，+），2x1” ；故错误；命题 “若 ，则 ”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；sinx=siny x=y若命题 p 为真，命题 q 为真，则 q 为假命题，则命题 p 且 q 为假命题故错误；命题 “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”正确，故正确；x=3 x2-2x-3=0 x3 x2-2x-30故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，但难度不大6.曲线 在点 处的切线方程是（ ）y=x2x1 (1,1)A. B. C. D. xy2=0 x+y2=0 x+4y5=0 x4y5=0【答案】B【解析】
4、试题分析： ，当 时， ，所以切线方程是，整理为 ，故选 B.考点：导数的几何意义【此处有视频，请去附件查看】7.由曲线 ,直线 及 轴所围成的平面图形的面积为( ).y= x y=x2 yA. B. 4 C. D. 6103 163【答案】C【解析】解析：作出曲线 ，直线 yx2 的草图(如图所示) ，所求面积为阴影部分的面积由y= x得交点 A(4，2)y= xy=x2因此 与 y x2 及 y 轴所围成的图形的面积为：y= x.40 x(x2)dx=40( xx+2)dx=(23x3212x2+2x)|40=163本题选择 C 选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出
5、图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积8.已知 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）m,n A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则m mn n/ m/ mn nC. 若 ，则 D. 若 ， ，则m/,n/ m/n m n mn【答案】D【解析】【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明 ABC 都不对【详解】在正方体 ABCDABCD中：令底面 ABCD A、令 mAA，nAB，满足 m ，mn，但 n 不成立， A 错误； B、令 mAB， nAD，满足 m ，mn，但 n 不成
6、立， B 错误； C、令 mAB ，nBC，满足 m ，n ，但 mn 不成立，C 错误； 故选：D【点睛】本题主要考查立体几何的线面平行、线面垂直的关系，画图处理这方面的选择题，可以说是事半功倍，本题属于基础题9.“ ”是“ ”的（ ）log12(x+2)1A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论【详解】解：由 ，解得 x 1，此时 “ ”不成立，即充分性不成立，log12(x+2)1若“ ”，则“ ”成立，即必要性成立，x1 x-1故“ ”是“ ”的必要不充分
7、条件，log12(x+2)1故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键10.在同一直角坐标系中，函数 的图像可能是（ ）f(x)=xa(x0),g(x)=logaxA. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：解:A 图显示 的定义域为 是错误的；g(x)=logax (,0)C 图中指数函数图象下降，显示 ，对数函数的图象上升，显示 ，两者矛盾，是01错误的；D 图中指数函数的图象上升，显示 ，对数函数的图象下降，显示 ，两者矛盾，a1 00,b0) F1,F2|F1F2|=4 P上的一点， 与 轴交于点 的内切圆在边 上的切点为 ，若
8、，则双曲线的F2P y A,APF1 PF1 Q |PQ|=1离心率是 ( ) A. 2 B. C. D. 32 3【答案】A【解析】【分析】由|PQ |1， APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q，根据切线长定理，可得|PF1|PF 2|2 ，结合|F 1F2| 4，即可得出结论【详解】由题意，|PQ|1 ，APF 1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q，根据切线长定理可得 AMAN，F 1MF 1Q，PN PQ ，|AF 1| |AF2|，AM+F 1MAN+PN+NF 2，F 1MPN+NF 2PQ+PF 2|PF 1| |PF2| F1Q+PQPF 2F 1M+PQPF 2P
9、Q+PF 2+PQPF 22PQ2，|F 1F2|4，双曲线的离心率是 e2故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于中档题.14.已知 是定义在区间 内的单调函数，且对任意 ，都有 ，f(x) (0,+) x(0,+) ff(x)lnx=e+1设 为 的导函数， ，则函数 的零点个数为（ ）f(x) f(x) g(x)=f(x)f(x)A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】设 tf（x）lnx ，则 f（x）lnx+t ，又由 f（t ）e+1，求出 f（x）lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数
10、单调性求出函数的零点个数即可【详解】对任意的 x（0，+ ） ，都有 ff（x）lnx e+1，又由 f（x）是定义在（ 0，+）上的单调函数，则 f（x）lnx 为定值，设 tf（x）lnx ，则 f（x）lnx+t ，又由 f（t）e+1，即 lnt+t e+1，解得：t e，则 f（x）lnx+ e，f（x ） 0，1x故 g（x）lnx+ e ，则 g（x） + 0，1x 1x 1x2故 g（x）在（0，+）递增，而 g（1）e10，g（ ） 10，1e存在 x0（ ，1） ，使得 g（x 0）0，1e故函数 g（x）有且只有 1 个零点，故选：B【点睛】本题考查导数的运算和零点存在性
11、定理的应用，关键是通过换元求出 f（x）解析式，属于中档题二.填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）15.一组数据的平均数是 28，方差是 4，若将这组数据中的每一个数据都加上 20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是_，方差是_【答案】 (1). 48 (2). 4【解析】【分析】设该组数据为 x1，x2，xn；则新数据为 x1+20，x2+20，xn+20；从而分别求平均数与方差，比较即可【详解】设该组数据为 x1，x2，xn；则新数据为 x1+20，x2+20，xn+20； 28，x=x1+x2+xnn = 20+2848，x
12、=x1+20+x2+20+xn+20n =S2 （x1 ）2+（x2 ）2+（xn ）2，=1n -x -x -x（x1+20（ 20）2+（x2+20（ 20）2+（xn+20（ 20）2，S2=1n x+ x+ x+S 24，故答案为：48,4【点睛】本题考查了平均数与方差的性质，考查了计算能力，属于基础题.16.在 的展开式中， 的系数为_.(x12x)5 1x【答案】516【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于-1，求出 r 的值，即可求得结果【详解】 的展开式的通项为 C5rx5r （1） r ，(x-12x)5 (12x)r=(-12)rCr5x5-3r2令
13、 5 -1 求得 r4，3r2 的系数为 1x (-12)4C45 516故答案为： 516【点睛】本题考查二项展开式通项公式的应用，考查展开式中某项系数的求法，属于简单题17.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从 6 人中任选 3 人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有 种选法，C34=4从 6 名学生中任意选 3 人有 种选法，C36=20故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种，故
14、答案是 16.20-4=16点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选 3 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.18.已知正方体的棱长为 1,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_.【答案】16【解析】【分析】由题意可得，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为 ，求出一个正四棱锥的高，再22由棱锥体积公式求解【详解】解：如图，以正方体所有面的中心为
15、顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为 22则其中一个正四棱锥的高为 h = (22)2-(12)2=12该多面体的体积 V =213222212=16故答案为： 16【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题19.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.8，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_【答案】 0.75【解析】【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.8p0.6，由此解得 p 的值【详解】解：设随后
16、一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得 0.8p0.6，解得 p ，0.75故选： 0.75【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题20.设直线与抛物线 相交于 两点，与圆 相切于点 ，且 为线段y2=4x A,B (x5)2+y2=r2(r0) M M的中点. 若这样的直线恰有 4 条，则的取值范围是_.AB【答案】 （2，4） 【解析】设直线的方程为 ， ，x=ty+m A(x1， y1) B(x2， y2)把直线的方程代入抛物线方程 ，整理可得：y2=4x y2-4ty-4m=0则 ， ，=16t2+16m0 y1+y2=4t y1y2=-4m则 x1+x
17、2=(ty1+m)+(ty2+m)=4t2+2m线段 的中点 AB M(2t2+m， 2t)由题意可得直线 与直线 垂直，且AB MC C(5， 0)当 时，有t0 KMCKAB=-1即 ，整理得2t-02t2+m-51t=-1 m=3-2t2把 代入到m=3-2t2 =16t2+16m0可得 ，即3-t20 0b0 32 A(a,0) B(0,b) O(0,0) OAB1.（1）求椭圆 的方程；C（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：P C PA y M PB x N为定值 .|AN|BM|【答案】 （1） ；（2）详见解析.x24+y2=1【解析】试题
18、分析：（）根据离心率为 ，即 ， OAB 的面积为 1，即 ，椭圆中32 ca=32 列方程组进行求解；（）根据已知条件分别求出 的值，求其乘积为定值.试题解析：（）由题意得 解得 .所以椭圆 的方程为 .（）由（）知， ，设 ，则 .当 时，直线 的方程为 .令 ，得 ，从而 .直线 的方程为 .令 ，得 ，从而 .所以.当 时， ，所以 .综上， 为定值.【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、
19、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.【此处有视频，请去附件查看】24.设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R.（I）讨论 f(x)的单调性；（II）确定 a 的所有可能取值，使得 在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为f(x)1xe1x自然对数的底数)。【答案】(1) 当 时， 0，x （ 0,12a) f(x) f(x) x （ 12a， +) f(x)单调递增;(2) .f(x) a12,+)【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力
20、和计算能力.第（）问，对 求导，再对 a 进行讨论，从f(x)而判断函数 的单调性；第（）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.f(x)试题解析：（） f(x)=2ax1x=2ax21x (x0).0时 ， f(x) x=12a此时，当 时， 0， 单调递增.x（12a， +) f(x) f(x)（）令 = ， = .g(x)1x1ex1 s(x) ex1x则 = .s(x) ex11而当 时， 0，x1 s(x)所以 在区间 内单调递增.s(x) （ 1， +)又由 =0，有 0，s(1) s(x)从而当 时， 0.x1 f(x)当 ， 时， = .a0 x1 f(x) a(x21)l
21、nx 在区间 内恒成立时，必有 .f(x) g(x) （ 1， +) a0当 时， 1.00所以此时 在区间 内不恒成立.f(x) g(x) （ 1， +)当 时，令 ，a12 h(x)=f(x)g(x)(x1)当 时， ，x1 h(x)=2ax1x+1x2e1xx1x+1x21x=x32x+1x2 x22x+1x2 0因此， 在区间 单调递增.h(x) (1,+)又因为 ，所以当 时， ，即 恒成立.h(1)=0 x1 h(x)=f(x)g(x)0 f(x)g(x)综上， .a12,+)【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求 ，解方f(x)程 ，再通过 的正负确定 的单调性；要证明不等式 ，一般证明f(x)=0 f(x) f(x) f(x)g(x)的最小值大于 0，为此要研究函数 的单调性本题中注意由于函数f(x)g(x) h(x)=f(x)g(x)的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生h(x)不易想到，有一定的难度【此处有视频，请去附件查看】
