1、杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文第 1 页（共 18 页）向量法在高中数学中的应用the application of vector method in high school mathematics杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文第 2 页（共 18 页）摘 要向量是高中数学的一个重要的知识点，运用于方方面面，主要运用在圆锥曲线与立体几何两方面。由于联系到许多其他知识点，向量掌握的好与坏，直接影响学生的高中数学学习质量。近几年的高考趋势表明，向量在高中扮演的角色越来越重要。Vector Method is a significant and widely-used knowled
2、ge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic section and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of Colleg
3、e Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics. 关键词：向量；平面几何；立体几何；代数Keyword：Vector；planimetry ；stereometry；algebra 杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文第 3 页（共 18 页）目 录引 言 41、平面几何 61.1、 利用向量解决基础平面图形问题 61.2、 利用向量求解圆锥曲线问题 72、 立体几何 92.1、
4、利用向量解决平行问题 92.2、 利用向量解决垂直问题 102.3、 利用向量来求空间角问题 112.4、 空间距离 132.4.1、 两点距离 132.4.2、 点到直线距离 132.4.3、 点到平面距离 142.4.4、 异面直线距离 143、代数 153.1、 不等式问题 153.2、 求最值问题 163.3、三角函数中的应用 16结 论 17参考文献 18致 谢 18杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文第 4 页（共 18 页）引 言向量是高中数学的重要内容，也是数学的重要概念之一，由于它既有几何的表示方法又有代数表示方法，与中学数学的许多主干知识交汇。因此，它或作为知识的载体，或
5、作为解决问题的工具，几乎渗透到数学的所有分支之中。当然，在本文阐述向量在高中数学中的应用的开始，先来认识一下什么是向量。数学中，向量是既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量。平面上的几何向量常用带箭头的线段有向线段表示，简称为向量。向量的表示分为三种，即代数表示，几何表示，坐标表示。1. 代数表示：一般用黑体小写字母 a 表示，或者带箭头的小写字母 表示，或者用带箭头的两个大写字母 表示。aAB2. 几何表示：向量可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小。如图，若规定线段 AB 的端点 A 为起点，B 为终点，则线段就具有了从起点 A 到终点 B 的方向和长度。这种具有方向和长度
6、的线段叫做有向线段。3. 坐标表示：我们仅以平面坐标来说明，多维坐标以此类推。在平面直角坐标系中， 为a任意向量，则以 x0 表示 在 x 轴上的射影长度，y0 表示 在 y 轴上的射影长度。分别取aa与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 ， 作为一组基底。则 =x0* +y0* ，并用坐标ij ij（x0，y0）唯一的表示 。向量的分类：1. 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。2. 负向量：如果向量 与向量 的模相等且方向相反，那么我们把向量 叫做向量ABCDAB的负向量。CD3. 单位向量：长度为
7、一个单位（即模为 1）的向量，叫做单位向量。与向量 同向或反向，a且长度为单位 1 的向量，叫做 方向上的单位向量。a4. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量 与 相等，记作 = 。bb5. 法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 ，则向量 叫做平面 的法向量。a向量的运算：1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。如图，在计算 +AB时，将三角形 ABD 补成平行四边形 ABCD，显然图中所有的 相等，所有的 相等，AD abBAa杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文第 5 页（共 18 页）故 + = + = 。就是说，如果ABDCA要求两向量的和，
8、只要将它们补成平行四边形，从公共点出发的对角线所成的有向线段就是它们的和。2. 向量的减法：如果 、 是互为相反的向量，ab那么 =- ， =- ， + = 。 的反向量为ab0。还是上图， - = + = ，0ACDAC即共同起点，指数相减。3. 向量的数乘：实数 和向量 的乘积是一个向量，记作 ，且aa = 。aa若 0，则 与 同向，若 0 是一常数，过点 Q（2p，0）的直线与抛物线 y2=2px 交于相异两点 A，B ，以线段 AB 为直径作圆 H（H 为圆心） 试证明抛物线顶点在圆 H 的圆周上，并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程解：由于直线斜率不能为 0，故设直线为 ky
9、=x-2p，设 A（x a， ya） ，B （x b，y b） ，将 ky=x-2p 与y2=2px 连列，消去 y，得 xa， xb 满足 x2 （4+2k 2）px+4p2=0，由韦达定理得，x a xb=4p2，x a+xb=（4+2k 2）p，同理可得 ya yb = 4p2，y a+ yb =2pk * = xa OABxb + ya yb =0，所以 ，所以 O 在圆周上AB=（ ， ）=（2p+k 2p，pk） ，而由于三角形斜边上的中线等于斜边的一OH2xbay半，所以 OH=OA=OB=R，OH= = ，当 k=0 时，22)(k4524kpxPOylRQ杭州师范大学本科生毕
10、业设计（论文）正文第 9 页（共 18 页）FEMzyAD CBA11B1111C11D11xNS= 最小，S= p2，直线方程为 x=2p2OH4分析：这是一道圆锥曲线中的最值问题，其实解题思路还是和一般圆锥曲线问题一样，首先将未知条件用未知数表示，如上题直线中的未知数 k，然后将已知条件转换成未知数之间的关系，这是个难点，如上题中的 xa xb，y a yb 是问题的关键，将其用 k 表示出来，问题迎刃而解，如果找不到这个点，那么会走很多歪路。如何找这个点，就要求我们清楚明白题目问的是什么，如上题中题目要我们证 O 在圆上，这句话和向量的挂钩就是 AB，理清楚这层关系，那么什么问题都简单明
11、了了。OB例 6.椭圆 的焦点为 F1，F 2，点 P 是其上的动点，当F 1PF2 为钝角时，求点 P492yx的横坐标的取值范围.解：设 P（x，y） ，F 1（ ，0） ，F 2（ ，0）由于 F1PF2 为钝角，则55，即（ -x，-y ） （ -x，-y ）=0，故 x2-5+y2=0，联例021F得， .49yx53x分析：这是一道比较特殊的圆锥曲线问题， 由F 1PF2 为钝角得 与它在 方1PF2向上的射影所成角为钝角，即射影为负，即 ，即 。同0cos1P0理锐角射影为正。2、 立体几何用空间向量解决立体几何问题有两个重要手段，即直线的方向向量和平面的法向量，他们实现空间问题
12、的向量解法的桥梁。用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题，角的问题，距离问题主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些定理。2.1、 利用向量解决平行问题谈到平行，无非两直线平行，线面平行，与面面平行三种，证明平行的方法有很多，向量法是其中一个，在某些情况下，向量法往往可以将问题简化。我们来看如下例题。例 7. 如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M 、N 分别是棱 A1B1、A 1D1 的中点，E、F 分别是棱 B1C1、C 1D1的中点（1）求证：DB/EF（2）求证：平面 AMN平面 BDFE证：（1）以 D 为原点，DA 为单位长，如图建立空
13、杭州师范大学本科生毕业设计（论文）正文第 10 页（共 18 页）间直角坐标系 D-xyz，则 A（1，0，0） ，M（1， ，1） ，N （ ，0，1） ，E（ ，1，1） ，F （0， ，1） ，222=（- ，- ，0） ， =（1，1，0） ， =-2 ，故 DB/EFEF2DBB（2）设平面 AMN 的法向量 =（x，y，1） ，平面 BDFE 的法向量 =（a，b，1） ，n2n=（- ，- ，0） ， =（0， ，1） ， =（ ， ，0） ， =（0， ，1） ，1F2NM21A由 与 ， 垂直，得 ，所以 。则 =（2，-2 ，1） ，同理1nNMA012yxyx1n得 =（
14、2，-2，1） 所以 / 。故平面 AMN平面 BDFE1n分析：（1）空间两直线平行问题可通过坐标求得直线上的向量，用向量成比例来证两直线平行。 （2）两平面的平行可以转化为两平面的法向量平行。所以求得法向量的坐标，即可得证这类题型。当然上题也可以通过一平面的两条相交直线分别平行另一平面来证得，但显然没有向量法方便。例 8. 如图所示，已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直, M ,N 分别是对角线 AC 和 BF 上的动点,且 AM=FN，求证：MN平面 BEC证：如第二个图，以 A 为原点， AB 为单位长，建立空间直角坐标系 A-xyz，F（1，0，0） ，B （0
15、，1，0） ，D （0， 0，1） ，C（0， 1，1） ，E（1，1，0） ，设 AM=FN= a，则2M（0， a，a） ，N（1-a ，a，0） ， =（1-a，0，-a ） ，平面MNBEC 的法向量 =（0，1，0） ，则 * =0, 所以 ，nnNn所以 MN平面 BEC分析：直线与平面的平行可以转化为直线与该平面的法向量垂直。2.2、 利用向量解决垂直问题说到垂直，中学设计到的只有异面直线垂直，线面垂直以及面面垂直。而向量法可以贯穿其中，用向量法往往比用定义证明更简单，有事半功倍的效果，但是如何运用，还是很关键的。下面具体问题具体分析。例 9. 在正棱锥 P-ABC 中，三条侧棱两两垂直， G 是AF EBD CMNzAF EBD CMNyxA BCP FyEGxz
