1、江南十校 2019 届高三第二次大联考数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 是虚数单位，则化简 的结果为（ ）i 2018()i+-A. B. C. -1 D. 1-【答案】C【解析】【分析】先用复数的除法运算，化简 ，然后再利用 的周期性求得最终化简的结果.1i+-in【详解】依题意 ， .故选 C.()ii2i=- 2018624502iii1+=-【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数的除以运算、乘法运算以及乘方运算.要记忆的是 是一个周期出现的量， 以此类推in 12345i,i,
2、1i,-.复数的除法运算，主要的思想方法是将分母转化为实数.4142434,i,kkkk+=-=-2.已知集合 ， ，则有（ ）|1Ax()fxafxa得 ，即 .故选 C.lnz123llnz6a-()6bf，则 的大小关系是（ ）2()4cf=,abcA. B. C. D. F0,，故当 时， ，当 时， .所0,2f,2x()x,2()0Fx，即 ，故选 D.0646F-acb【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.如图所示，在矩形 中， ，沿对角线 将其折成
3、直二面角，连结ABCD2A=AC，则该三棱锥 的体积为_BD-【答案】 251【解析】【分析】利用等面积法求得直角三角形 的边 上的高，也即三棱锥 的高，由此计算ACDDABC-出三棱锥的体积.【详解】依题意， ，设直角三角形 的边 上的高为 ，根25=+=h据等面积有 ，解得 ，故三棱锥的体积为12ACh2h.3DABCVB-=15321=【点睛】本小题主要考查折叠问题，考查三棱锥体积的求法，考查等面积法求平面图形的高，属于基础图.14.设 满足约束条件 ，则 的最小值为_,xy210xy+- 32zxy=-【答案】 13-【解析】【分析】画出约束条件对应的可行域，通过向上平移基准直线 到可
4、行域边界位置，由此求320xy-=得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时， 取得最小值，z此时直线方程为 ，由点到直线的距离公式得 ，320xyz-=213z-=+（取负值） ，即 的最小值为 .1z=- 13-【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中， 表示的是圆心为 ，半径为 的圆的圆上和圆内的点构()22xaybr-+-(),abr成的区域.对于目标函数 ，由于 ，当直线截距最大时， 取得最小值，3zxy=23xz=-z这个在解题过程中要特别注意.15.已知扇形 的圆心角为 ，半径
5、为 2， 是其弧上一点，若OAB09AOBC，则 的最大值为_Clm=+l【答案】 12【解析】【分析】以 为基底，表示 ，这是一个正交的基底，故,OABOC，再由基本不等式求得 的最大值.()222244lml+=+=lm【详解】以 为坐标原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所,BA,xy示.由于 相互垂直，以 为基底，这是一个正交的基底，表示 ，根据图像,OA,O OC可知 ，即 ，故 ，()222244Cl l+=+=21l+=21ll+=当且仅当 时，等号成立.故 的最大值为 .2lm=lm12【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式
6、求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得 这个基本的形式，还要注意它的变形2ab+.22ab+16.已知定义在 的两个函数 和 （ 是自然对数的底） ，若在(1,)2()efxm=+()lngx=e的解集内有且只有两个整数，则实数 的范围是_()fxg【答案】 2,ln3l4e-【解析】【分析】化简不等式 ，变为 ，即左边函数 在右边函数()1fxg2elnl1xm- lnymx=图像上方只有两个横坐标为整数的点.利用导数画出 的图像，2eln1xy=- 2eln1xy=-结合图像列出不等式组，解不等式
7、组求得 的取值范围.m【详解】化简不等式 ，得 ，构造函数 和()1fxg2elnl1x-()lhxm， 需要满足 图像在 图像上方的点的横坐标2eln1yx=-mnhx=()l=有且只有两个整数. ，故函数 在 上递减， 22ell1x-2eln1xnx-()1,在 上递增，且当 时，函数值小于零.当 时， 在 上()e,+0mlh=,+递增，画出图像如下图所示，由图可知 图像在 图像上方的()lnhx=()2en1xx-点不止两个整数.故不符合题意.当 时，显然不符合题意.当 时，画出图像如下图所示，由图可知 ，0m=0m即 ，解得 .即 的取值范围是2elnl132eln4l1m- 121eel3ln42m-=()1fxxa=-xa1,)a【答案】 （1） ；（2）5y-=1,)+【解析】【分析】（1）当 时，求得切点和斜率，由此求出切线方程.（2）求出函数的导数后，对 分成3a= a三类，讨论函数的单调区间以及最值，由此求得 的取值范围.10,由于 ，2a=-那么， 时， ，则 ，10,ax$()0fx=那么在 上， ， 单调递减，(0,f单调递增，( f- ， ， ，符合题意.)10=1x(0f综合上述得： .,2a+【点睛】本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于难题.
