1、2018 年秋四川省棠湖中学高二年级期末考试数学（理）试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列格式的运算结果为纯虚数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；所以纯虚数的是 C。故选 C。2.从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人参加一项活动，则甲被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选 C。3.命题“ ”的否定是A. 不存在 B. C. D. 【答案】D【解析】命题 的否定是故选 D4.容量为 100 的样本，其数据
2、分布在 ，将样本数据分为 4 组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A. 样本数据分布在 的频率为 0.32 B. 样本数据分布在 的频数为 40C. 样本数据分布在 的频数为 40 D. 估计总体数据大约有 10%分布在【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果【详解】对于 A，由图可得样本数据分布在 的频率为 ，所以 A 正确对于 B，由图可得样本数据分布在 的频数为 ，所以 B 正确对于 C，由图可得样本数据分布在 的频数为 ，所以 C 正确.对于 D，由图可估计总体数据分布在 的比例为 ，故 D 不正确故选 D【点睛】本题
3、考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点5.已知点 M（4，t）在抛物线 上，则点 M 到焦点的距离为（ ）A. 5 B. 6C. 4 D. 8【答案】A【解析】由抛物线定义得点 M 到焦点的距离为 ,而 ,所以点 M 到焦点的距离为 ,选 A.6.若平面 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时 可以相交,所以充分性不成立;当 , 时 成立,这是因为由 可得内一直线 垂直 ,而 ,可得 内一直线 ,因此 ,即得
4、.选 B.7.已知椭圆 的两个焦点是 ，点 在椭圆上，若 ，则 的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，焦点在 轴上，则由椭圆定义： ，可得 ，由 ，故 为直角三角形的面积为故选8.已知直三棱柱 中， ， ， ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】找出 的中点 ，由于 ，过点 作 于点直三棱柱 中，平面 ，平面 ，则点 是点 在平面 的投影故 是 与平面 的夹角设 ，在 中，求得 ，在 中，求得则故选9.已知矩形 ， ， ，将矩形 沿对角线 折成大小为 的二面角 ，则折叠后形成的四面体 的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 与
5、 的大小有关【答案】C【解析】由题意得，在二面角 内 的中点 O 到点 A,B,C,D 的距离相等，且为 ，所以点O 即为外接球的球心，且球半径为 ，所以外接球的表面积为 。选 C。10.若点（5， b）在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间，则整数 b 的值为A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A【解析】【分析】先用待定系数法求出过点（5， b）且与两直线平行的直线的方程，再利用直线在 y 轴上的截距大于 且小于 ，求出整数 b 的值【详解】设过点（5， b）且与两直线平行的直线的方程为 3x4 y+c0，把点（5， b）代入直线的方程解得 c4 b15，过点（
6、5， b）且与两直线平行的直线的方程为 3x4 y+4b150，由题意知，直线在 y 轴上的截距满足： ， b5，又 b 是整数， b4故选： A【点睛】本题考查用待定系数法求平行直线的方程，以及直线在 y 轴上的截距满足的大小关系,属于中档题11.已知点 为椭圆 上一点， 分别为椭圆 的左右焦点，当时， ，则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，又 ，所以 ，化简得： ，所以 ，故选 A.点睛：椭圆中焦点三角形性质很多，本题中考查了焦点三角形放入面积性质，点 在椭圆上时， ，类似的，在双曲线中 ，记住此结论可以加快解题速度.12.已知函数 （ ，且 ）在 上
7、单调递减，且关于 x 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是A. B. ， C. ， D. ， ） 【答案】C【解析】试题分析：由 在 上单调递减可知 ，由方程 恰好有两个不相等的实数解，可知 ， ，又 时，抛物线 与直线 相切，也符合题意，实数 的取值范围是 ，故选 C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解第
8、卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若命题“存在实数 ，使 ”为假命题，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】由题意， ，解得 。14.经过点（1，2）的抛物线的标准方程是_【答案】【解析】设抛物线的标准方程为 或 ，将（1，2）代入得 ，从而所求标准方程是15.已知 为双曲线 的左焦点， 为 上的点.若 的长等于虚轴长的 2 倍，点在线段 上，则 的周长为_【答案】40【解析】由双曲线方程得 ，则虚轴长为 12，线段 过点 为双曲线的右焦点， , 的周长为16.在长方体 中，已知底面 为正方形， 为 的中点，点 是正方形 所在平面内的一个动点
9、，且 ，则线段 的长度的最大值为_.【答案】6【解析】如图（1）所示，取 的中点为 ，连接 ，则 平面 ，因 平面 ，所以，所以 ，也就是 ，如图（2）所示，把正方形 放置在平面直角坐标系中， ， ，设 ，则 ，整理得，也就是圆 ，故 的最大值为 .图（1） 图（2）点睛： 是空间中的两条线段之间的关系，通过 的中点 可以转化到同一平面上 与 的关系，再把正方形 放置在平面直角坐标系中，通过研究 的轨迹（是圆）得到 的最大值.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知 三个班共有学生 100 人，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样
10、获取了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）.班 6 7班 6 7 8班 5 6 7 8（）试估计 班学生人数；（）从 班和 班抽出来的学生中各选一名，记 班选出的学生为甲， 班选出的学生为乙，若学生锻炼相互独立，求甲的锻炼时间大于乙的锻炼时间的概率.【答案】 （I） ；（II） .【解析】【分析】（）由已知先计算出抽样比，进而可估计 C 班的学生人数；（）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率【详解】 （I）由分层抽样可得 班人数为： （人） ；（II）记从 班选出学生锻炼时间为 ， 班选出学生锻炼时间为 ，则所有 为， ， ， ， ， ， ， ，
11、共 9 种情况，而满足的 ， 有 2 种情况，所以，所求概率 .【点睛】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档18.已知双曲线 与双曲线 的渐近线相同，且经过点 .（）求双曲线 的方程；（）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，直线 经过 ，倾斜角为 ， 与双曲线 交于两点，求 的面积.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由题易知，双曲线 方程为 ；（2）直线 的方程为 ，由弦长公式得 ， ，所以试题解析：（1）设所求双曲线 方程为代入点 得 ，即所以双曲线 方程为 ，即 .（2） .直线 的方程为 .设联立 得 满足由弦长公式得 点 到直线 的距离 .所以1
12、9.如图，在三棱柱 ABC 中， 平面 ABC， D， E， F， G 分别为 ， AC， ，的中点， AB=BC= ， AC= =2（1）求证： AC平面 BEF；（2）求二面角 BCDC1的余弦值；（3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【答案】(1)见解析（2） ；（3）见解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得 ，由线面垂直性质得 ,由三棱柱性质可得，因此 ，最后根据线面垂直判定定理得结论， （2）根据条件建立空间直角坐标系 E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面 BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果， （3）根据
13、平面 BCD 一个法向量与直线 FG 方向向量数量积不为零，可得结论.详解：解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形又 E， F 分别为 AC， A1C1的中点， AC EF AB=BC AC BE， AC平面 BEF（）由（I）知 AC EF， AC BE， EF CC1又 CC1平面 ABC， EF平面 ABC BE 平面 ABC， EF BE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2，0） ， C（-1，0，0） ， D（1，0，1） ， F（0，0，2） ， G（0，2，1） ，设平面 BCD 的法向量为 ， ， ，令 a=
14、2，则 b=-1， c=-4，平面 BCD 的法向量 ，又平面 CDC1的法向量为 ， 由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为 （）平面 BCD 的法向量为 ， G（0，2，1） ， F（0，0，2） ， ， ， 与 不垂直， GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内， GF 与平面 BCD 相交点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目，成为简阳的名片当初向各地作了
15、广告推广，同时广告对销售收益也有影响在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示） 由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的（）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（）根据频率分布直方图，估计投入 4 万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） ；（）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5销售收益 y（单位：百万元） 2 3 2 7表中的数据显示， x 与 y 之间存在线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，并计算 y关于
16、x 的回归方程回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，【答案】 （I） ；（II） ；（III）空白处填 ，回归直线方程为 .【解析】【分析】（）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可计算图中各小长方形的宽度；（）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（）求出回归系数，即可得出结论【详解】 （）设各小长方形的宽度为 ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知，故 ；（）由（）知各小组依次是 ，其中点分别为 ，对应的频率分别为 ，故可估计平均值为 ；（）由（）知空白栏中填 5由题意可知， ， ，根据公式，可求得 ， ，即回归直线的方程
17、为 【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题21.已知以坐标原点 为圆心的圆与抛物线 ： 相交于不同的两点 ，与抛物线的准线相交于不同的两点 ，且 .（1）求抛物线 的方程；（2）若不经过坐标原点 的直线 与抛物线 相交于不同的两点 ，且满足 .证明直线 过 轴上一定点 ，并求出点 的坐标.【答案】 （1） ；（2）直线Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/qbm-images.oss-cn- .【解析】试题分析：（1）由 ，得 两点所
18、在的直线方程为 ，进而根据长度求得 ；（2）设直线 的方程为 ， 与抛物线联立得 ，由 得 ，进而利用韦达定理求解即可.试题解析：（1）由已知， ，则 两点所在的直线方程为则 ，故抛物线 的方程为 .（2）由题意，直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ，.联立 消去 ，得 . ， ， ， ，又 ，解得 或而 ， （此时 ）直线 的方程为 ，故直线 过 轴上一定点 .点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设
19、参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22.椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，且 。（1）球椭圆 的方程；（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点。是否存在常数 ，使得为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】（）由已知，点 C，D 的坐标分别为（0，b） ， （0，b）又点 P 的坐标为（0，1） ，且 1于是 ，解得 a2，b所以椭圆 E 方程为 .（）当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1A，B 的坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）联立 ，得（2k 21）x 24kx20其判别式（4k） 28（2k 21）0所以从而 x 1x2y 1y2x 1x2（y 11） （y 21）（1） （1k 2）x 1x2k（x 1x 2）1所以，当 1 时， 3此时， 3 为定值当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD此时 213故存在常数 1，使得 为定值3.考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.【此处有视频，请去附件查看】
