1、张家口市 2018-2019 学年第一学期阶段测试卷高二数学（理）试题第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， ，若与 共线，则（ ）a=(2,4,6) b=(3,x,y) bA. B. C. D. x=6,y=15 x=3,y=10 x=3,y=15 x=6,y=9【答案】D【解析】【分析】利用 共线列方程 ，即： ，解方程即可。a,b a=b 2=34=x6=y【详解】因为 共线，所以 ，即： ，解得： ，故选 D。a,b a=b 2=34=x6=y =23x=6y=9【点睛】本题主要考查了向量平行知识，非零向量 ， ，则 a=(x1,y1,z1)
2、b=(x2,y2,z2) a/b ，再利用向量的坐标运算列方程组 求解。a=bx1=x2y1=y2z1=z22.已知 ，则曲线 和 有（ ）00,b0) F F k直线与双曲线 的左、右两支都相交的充要条件是（ ）CA. B. C. D. k2e21 e2k21 k2e20,b0)渐近线方程 ，若直线与双曲线 的左、右两支都相相交，则 ，整理即可。y=bax C |k|0,b0)得其渐近线方程为 ，若直线与双曲线 的左、右两支都相相交，则 ，整理得：y=bax C |k|4 q:x(2,+) x22x）A. B. C. D. pq (p)q p(q) (p)q【答案】C【解析】【分析】对 赋值
3、为 4 时，可判断命题 为真命题，x0 p当 赋值为 4 时，可判断命题 为假命题。由此可以判断 C 答案正确。x q【详解】当 时， ，故命题 为真命题，x0=4 x0+1x0=4+144 p当 时， ，故命题 为假命题。x=4 x2=2x q由复合命题的真假判断可知，故选 C。【点睛】本题主要考查了逻辑联结词联结的两个命题的真假判断。（1） 中， 有一个是假命题，则 是假命题，pq p,q pq（2） 中， 有一个是真命题，则 是真命题，pq p,q pq（3）若 为真命题，则 为假命题，反之若 为假命题，则 为真命题。p p p p9.已知 是双曲线 上不同的三点，且 关于原点对称，若直
4、线 的斜率乘P,A,Bx2a2y2b2=1 A,B PA,PB积 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）kPAkPB=34A. 或 B. 或y=32x y=32x y=12x y=12xC. 或 D. 或y=72x y=72x y= 3x y=3x【答案】A【解析】【分析】设出点 A,B，P 的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合 ,即kPAkPB=34可 ，即可求渐近线方程。b2a2=34【详解】令 ， ，由 关于原点对称得 ，将 ， 代入曲线方P(x,y) A(m,n) A,B B(-m,-n) P(x,y) A(m,n)程得： ，两式作差得： 由 得： ，整理得： ，所x2a2
5、y2b2=1m2a2n2b2=1 n+yn+xnynx=b2a2 kPAkPB=34 n+yn+xnynx=34 b2a2=34以双曲线的渐进线方程为： ，故选 A。y=bax=32x【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程及点差法。设 ， 是曲线上的两点，M(x,y) N(m,n)代入曲线方程得： ，两方程作差得： 。x2a2y2b2=1m2a2n2b2=1 n+yn+xnynx=b2a210.在 中， 为动点， 为定点， ， ， ，且满足 ，ABC A B,C B(a2,0) C(a2,0) a0 sinCsinB=12sinA则动点 的轨迹是（ ）AA. B. 16x2a216y23a2=1
6、(y0) 16y2a216x23a2=1(x0)C. 的右支 D. 的左支16x2a216y23a2=1(y0) 16y2a216x23a2=1(x0)【答案】C【解析】【分析】由正弦定理把 整理成： ，即 ，所以动点 A 的轨迹是sinC-sinB=12sinA cb=12a |AC|AB|=12a双曲线的右支，设其方程为 ，由双曲线的焦距 ，实轴长 ，表示出 ，x2a12y2b12=1 2c1=a 2a1=12a b1即可求得动点 A 的轨迹方程 .【详解】由正弦定理 得： ， ， ，代入asinA= bsinB= csinC=2R sinA=a2RsinB=b2RsinC=c2R整理得：
7、 ，即 ，所以动点 A 的轨迹是双曲线的右支，sinC-sinB=12sinA c-b=12a |AC|-|AB|=12a设其方程为 ，由题得：双曲线的焦距 ，实轴长 ，故 = ，x2a12-y2b12=1 2c1=a 2a1=12a b12=c12-a123a216所以双曲线的方程为： （ ），故选 C。16x2a2-16y23a2=1x0【点睛】本题考查了双曲线的定义及正弦定理，利用正弦定理可将正弦关系转化成边长的关系，结合双曲线的定义，可判断其轨迹与双曲线有关。注意区分双曲线中 与三角形中a,b,c的边长 。a,b,c11.已知双曲线 的离心率为 ，且双曲线的两渐近线与抛物线C:x2a2
8、y2b2=1(a0,b0) 2的准线交于 两点，若 ，则抛物线的方程为（ ）y2=2px(p0) A,B |AB|=2A. B. C. D. y2=2x y2=4x y2=8x y2=16x【答案】B【解析】【分析】由双曲线的离心率为 求得渐近线方程为 ， ，抛物线 的准线方程2 y=x y=x y2=2px(p0)为 ，求出点 A,B 的坐标，即可求得 ，问题得解.x=p2 |AB|【详解】由双曲线的离心率为 得: ,整理得： ，所以双曲线的两渐近线方程为2ca= 2 b2a2=1即： ， ，由题得：抛物线 的准线方程为 ，所以y=bax y=x y=-x y2=2px(p0) x=-p2，
9、 ，所以 ，所以抛物线的方程为 ，故选 B。A(-p2,-p2) B(-p2,p2) |AB|=p=2 y2=4x【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线及抛物线的准线知识。12.如图，过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交y2=4x F 于 三点，令 ， ，则当 时， 的值为（ ）A,B,C|AF|BF|=1 |BC|BF|=2 =3 12A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】D【解析】【分析】由抛物线 的焦点坐标和准线方程，由 时，设直线的方程为： ，联立y2=4x =3 y= 3(x1)直线方程与抛物线解得： ， ，求得 ，所以 ，过点 B 作准线的垂线
10、段 BD,x1=3 x2=13 |AF|BF| 1=3垂足为点 D，在 中， ,所以 ,所以求得 ，问题得解.RtCBD CBD=3 |BC|BF| 2=3【详解】由抛物线 可知， ，抛物线的准线方程为 ，由当 时，直线的y2=4x F(1,0) x=-1 =3方程为： ，所以由 解得： ， ， ，所以y= 3(x-1) y= 3(x-1)y2=4x x1=3 x2=13 |AF|BF|=x1+px2+p=3+113+1=3，过点 B 作准线的垂线段 BD,垂足为点 D，在 中， ,所以1=3 RtCBD CBD=3,所以 ，所以 ，故选 D。|BC|BF|=|BC|BD|=2 2=3 12=
11、6【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径公式 及三角形知识，要求交点坐标则|AF|=xA+p2需联立直线方程与抛物线方程求解。第卷二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在平行四边形 中，边 上一点 满足 ，若 ，则ABCD CD E DE=2EC AE=xAB+yAD_x+y=【答案】53【解析】【分析】由 得 ,所以 ,又 = ,所以 ，DE=2EC |DE|=23|DC| DE=23DC=23AB AE=AD+DEAD+23AB x=23，问题得解。y=1【详解】由 得 ,所以 ,又 = ,所以DE=2EC |DE|=23|DC| DE=23DC=23AB AE=AD+DEAD+23AB，
12、，所以 ，故填： 。x=23y=1 x+y=23+1=53 53【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识 ，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题。14.过抛物线 的焦点作直线，交抛物线于 两点，若线段 中点的横坐标为 4，则y2=4x A,B AB等于_|AB|【答案】10【解析】【分析】设 ， ，由线段 中点的横坐标为 4 得： ，所以 ，由抛物线A(x1,y1) B(x2,y2) ABx1+x22 =4 x1+x2=8焦点弦长公式 即可求解。|AB|=x1+x2+p【详解】设 ， ，由线段 中点的横坐标为 4 得： ，所以 ，A(x1,
13、y1) B(x2,y2) ABx1+x22 =4 x1+x2=8由抛物线焦点弦长公式得： =10，故填： 10.|AB|=x1+x2+p=8+2【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点弦长公式 及中点坐标公式 。|AB|=x1+x2+px1+x22 =x中15.一个路口的红灯亮的时间为 30 秒，黄灯亮的时间为 5 秒，绿灯亮的时间为 40 秒，当你到达路口时，看见不是红灯亮的概率为_【答案】35【解析】【分析】上一次红灯亮到下一次红灯亮共需 30+5+40=75 秒，红灯不亮的时长为 5+40=45 秒，利用几何概型概率计算公式 （其中 是满足要求的长度，是总长度） 。P(A)=l1l l1【详解
14、】上一次红灯亮到下一次红灯亮共需 30+5+40=75 秒，红灯不亮的时长为 5+40=45秒，则到达路口时，看不见红灯的概率为 = ，故填：p=457535 35【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算公式： （其中也可以P(点 M落 在 G1内 )=G1的 面 积G的 面 积是长度，体积，角度等的比值。 ）16.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经抛物线的焦点，已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，y2=4x F x M(3,1) A再经抛物线上的另一点
15、 射出，则 的长度为_B |MB|【答案】 26【解析】【分析】根据题意求出点 A 的坐标，利用直线 AB 过抛物线的焦点 ，求出直线 AB 的方程，联F(1,0)立直线 AB 的方程与抛物线的方程，求得点 B 的坐标，即可求得 .|MB|【详解】根据题意可得： ，又直线 AB 过抛物线的焦点 ，则直线 AB 的方程为：A（14，1） F(1,0)，整理得： ，联立 ，解得： 或 ，所点 B 的坐y-0x-1=1-014-1 y=-43x+43 y=-43x+43y2=4x x1=14y1=1 x2=4y2=-4 标为 ，所以 = = 。(4,-4) |MB| (4-3)2+(-4-1)2 2
16、6故填： 26【点睛】本题主要考查了直线方程及直线与抛物线的交点问题、两点距离公式。三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设命题 实数 满足：方程 表示圆；命题 实数 满足：p: m x2+y24x2ym2+6m+12=0 q: m方程 表示双曲线，若 是 的充分不必要条件，求正实数的取值范围.x2my2ma=1 p q【答案】 (0,7【解析】试题分析：（1）根据圆的性质先求出命题 成立时 的取值范围，根据双曲线的性质求出p m命题 成立时，根据 是 的充分不必要条件列出不等式，解不等式即可.q p q试题解析：对于命题 ： 表示圆，所以p (x-2)2+(y-1)
17、2=m2-6m-7 m2-6m-70解得： 或m7 m0 ma m0由弦长公式列方程求得 的值，即可求得直线的方程m【详解】 （1）由已知得抛物线的焦点为 ，因为线段 的中点在直线 上，F(1,0) AB y=1所以直线的斜率存在，设直线的斜率为 ，k， 的中点 ，A(x1,y1),B(x2,y2) AB M(x0,y0)则 ，由 得 ，所以x0=x1+x22y0=y1+y22 y21=4x1y22=4x2 (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) 2y0k=4又 ，所以 ，故直线的方程是 .y0=1 k=2 y=2x-2（2）设直线的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，x=my+1 x=m
18、y+1y2=4x 消元得 ，所以 ， ，y2-4my-4=0 y1+y2=4m y1y2=-4 =16(m2+1)0|AB|= m2+1|y1-y2|= m2+1(y1+y2)2-4y1y2，所以 ，= m2+1(4m)2-4(-4)=4(m2+1)=16 m= 3所以直线的方程是 或 .x- 3y-1=0 x+ 3y-1=0【点睛】 （1）本小题主要考查了中点坐标公式 ， 及点差法 x中 =x1+x22 y中 =y1+y22 y12=2px1y22=2px2 解决弦中点问题。y12-y22=2px1-2px2y1-y2x1-x2= 2py1+y2（2）本小题主要考查了弦长公式： 或|AB|=
19、 1+k2(x1+x2)2-4x1x2，联立直线方程与抛物线方程 得：|AB|= 1+(1k)2(y1+y2)2-4y1y2 x=my+ny2=2px ，所以 ， ，代入弦长公式即可解决问题。y2-2pmy-2pn=0 y1+y2=2pmy1y2=-2pn19.如图， 平面 ， ， ， ， ， 是 的PA ABCD AD/BC ABC=900 AB=BC=PA=1 AD=4 E PB中点.（1）求证： 平面 ；AE PBC（2）求二面角 的余弦值.BPCD【答案】 （1）见证明；（2） 71326【解析】【分析】（1）如下图，建立好空间直角坐标系，求出图中各点的坐标，再求出向量 ，AE=(12
20、,0,12)， ，的坐标，利用向量坐标关系即可判断 ，从而BC=(0,1,0) BP=(-1,0,1) AEBC,AEBP命题得证;（2）设平面 的法向量为 ，求得平面 的一个法向量 ，根据 平面 ，PCD n=(x,y,z) PCD n AE PBC可得 是平面 的法向量，利用向量的数量积求得 与 的夹角的余弦值，根据图形可AE PBC AE n知，二面角 的余弦值的取值。B-PC-D【详解】 （1）根据题意，建立如图所示建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，A(0,0,0) B(1,0,0) C(1,1,0) D(0,4,0) P(0,0,1) E(12,0,12)， ， ，AE=
21、(12,0,12) BC=(0,1,0) BP=(-1,0,1)因为 ， ，AEBC=0 AEBP=0所以 ， ，AEBC AEBP所以 ， ，AEBC AEBP因为 平面 ，且 ，BC,BP PBC BCBP=B所以 平面 .AE PBC（2）设平面 的法向量为 ，PCD n=(x,y,z)因为 ， ，所以 ， ，CD=(-1,3,0) PD=(0,4,-1) nCD=0nPD=0 -x+3y=04y-z=0 令 ，则 ， .x=3 y=1 z=4所以 是平面 的一个法向量n=(3,1,4) PCD因为 平面 ，所以 是平面 的法向量，AE PBC AE PBC所以cos=AEn|AE|n|
22、=71326由此可知， 与 的夹角的余弦值为AE n71326根据图形可知，二面角 的余弦值为 .B-PC-D -71326【点睛】 （1）证明线面垂直需要找到直线与平面内的两条相交直线垂直，建立空间直角坐标系，利用向量数量积为 0 来证明两直线垂直，从而可以判断线面垂直。（2）求二面角的余弦转化成求两个面的法向量的夹角余弦的绝对值来处理，利用两个面的法向量的数量积来解决问题，即： 。而且要能从图中判断二面角的大小|cos|=|ab|a|b|时钝角还是锐角。这里的关键是要正确地求出两个平面的法向量，计算量较大。20.已知抛物线 的准线与 轴交于 点， 为抛物线 的焦点，过 点斜率为 的直线C:
23、y2=4x x M F C M k与抛物线 交于 两点.C A,B（1）若 ，求 的值；|AM|=233|AF| k（2）是否存在这样的 ，使得抛物线 上总存在点 满足 ，若存在，求 的取k C Q(x0,y0) QAQB k值范围；若不存在，说明理由.【答案】 （1） ；（2） 的取值范围为33 k 55,0)(0, 55【解析】【分析】（1）记 到准线的距离为 ，直线的倾斜角为 ，利用抛物线的定义得列方程，从而求得 。A d k（2）设 ， ，由 得 ，Q(x0,y0) A(x1,y1),B(x2,y2) y2=4xy=k(x+1) ky2-4y+4k=0由 ，得 且 ，表示出 ， ，由
24、，得 列k016-16k20 -10 -10 y0 y1+y2 y1.y2韦达定理把 ， 表示成关于 的一个式子，从而把问题转化成方程 有解问题解决。y1+y2 y1.y2 k21.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ，PABCD ABCD PA ABCD AB=2， 分别是 的中点.ABC=600 E,F BC,PC（1）证明： ；AEPD（2）设 为线段 上的动点，若线段 长的最小值为 ，求直线 与平面 所成角的H PD EH 5 CD AEF正弦值.【答案】 （1）见证明；（2）55【解析】【分析】（1）连接 ，由底面 为菱形及 ，可判断三角形 为正三角形，所以AC ABCD
25、ABC=600 ABC，再证得 平面 ，证得： ，由线面垂直判定定理得 平面AEBC PA ABCD AEPA EA，从而证得： ；PAD AEPD（2）过 作 于 ，连 ，由（1）得 ， 平面A AHPD H HE AEPD AE PDH所以 ，即 ， ， ， ，EHPD EH= 5 AE= 3 AH= 2 PA=2以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，从而求得平A AE,AD,AP x,y,z面 的法向量 ，又 ，由空间向量的数量积求得 ，即可求得AEF m CD=(- 3,1,0) cos直线 与平面 所成的角的正弦值。CD AEF【详解】 （1）连接 ，因为底面
26、为菱形， ，AC ABCD ABC=600所以三角形 为正三角形，所以ABC AEBC又 ，又 平面 ，所以 ，AD/BC PA ABCD AEPA由线面垂直判定定理得 平面 ，EA PAD所以 .AEPD（2）过 作 于 ，连 ，由（1）得 ， 平面A AHPD H HE AEPD AE PDH所以 ，即 ， ， ， ，EHPD EH= 5 AE= 3 AH= 2 PA=2以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，A AE,AD,AP x,y,z， ， ， ， ，A(0,0,0) E( 3,0,0) D(0,2,0) C( 3,1,0) B( 3,-1,0) P(0,0,2) ， ， ，F
27、(32,12,1) AE=( 3,0,0) AF=(32,12,1)平面 的法向量 ，又 ，AEF m=(0,-2,1) CD=(- 3,1,0) ，cos=mCD|m|CD|=- 55所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .CD AEF55【点睛】 （1）证明线线垂直的方法：法一，利用线面垂直可证得线线垂直。利用 。a/bbcac法二，若两直线相交时，还可以利用三边满足勾股定理证明线线垂直。（2）解决线面角问题可转化成直线与平面法向量的夹角问题，直线与平面的夹角的正弦值就是直线的方向向量与平面法向量的夹角余弦值的绝对值，利用向量的数量积来解决问题，即： 。这里的关键是要正确地求出平面的法向量
28、及直线的方向向量，计|cos|=|ab|a|b|算量较大。22.圆 ，动圆 过点 且与圆 相切，记圆心 的轨迹为 .M:(x+ 2)2+y2=16 N F( 2,0) M N E（1）求轨迹 的方程；E（2）若 分别是轨迹 与 轴的左、右交点，动点 满足 ，连接 交轨迹 于点C,D E x T TDCD CT E，问： 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 ， 的交点？P x C Q TP DP TQ若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由 .Q【答案】(1) ；(2)见解析 x24+y22=1【解析】【分析】（1）由圆 内切于圆 ，可得： ，即可判断点 的轨迹 为椭圆，
29、N M |NM|+|NF|=4|FM|=22 N E求出椭圆中的 即可求得点 的轨迹方程；a,b,c E（2）由（1）知，点 ， ，由题意可设直线 ， ， ，C(-2,0) D(2,0) CT:y=k(x+2) P(x1,y1) T(2,4k)由 ，整理得： ，由此可判断方程有两个解，x24+y22=1y=k(x+2) (1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0， ， ，-2x1=8k2-41+2k2 x1=2-4k21+2k2 y1= 4k1+2k2表示出点 P,Q 的坐标，要存在满足题设的点 ，则 ，利用 列方程整理可Q TQDP TQDP=0得： 恒成立，求得 ，故存在定点 满足题设要
30、求.8k2x01+2k2=0 x0=0 Q(0,0)【详解】 （1）因为 在 内，所以圆 内切于圆 ，F( 2,0) (x+ 2)2+y2=16 N M因为 ，所以点 的轨迹 为椭圆，且 ， ，|NM|+|NF|=4|FM|=22 N E 2a=4 c= 2 ，所以 的轨迹方程为 .b= 2 Ex24+y22=1（2）由（1）知，点 ， ，C(-2,0) D(2,0)由题意可设直线 ， ，CT:y=k(x+2) P(x1,y1) T(2,4k)由 ，整理得：x24+y22=1y=k(x+2) (1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0方程显然有两个解， ， ， ，-2x1=8k2-41+2k
31、2 x1=2-4k21+2k2 y1= 4k1+2k2所以点 ，设点 ，P(2-4k21+2k2, 4k1+2k2) Q(x0,0)若存在满足题设的点 ，则 ，Q TQDP由 ，及 ， ，TQDP=0 TQ=(x0,-2,-4k) DP=(2-4k21+2k2,-2, 4k1+2k2)整理可得： 恒成立，所以 ，故存在定点 满足题设要求.8k2x01+2k2=0 x0=0 Q(0,0)【点睛】 （1）利用圆内切得到 （ ），及动圆过点 则有 ，发现动圆圆心满d=4-r24r2 F |NF|=r2足椭圆的定义：即 ，把问题转化成椭圆的标准方程求解。d+|NF|=4（2）根据直径所对的圆周角是直角，把线段垂直转化成化成向量垂直。由 ，abab=0利用向量坐标运算把 转化成关于 ， 的一个方程 ，联立直线与椭圆方程，ab=0 x1+x2x1x2 M利用韦达定理表示出 ， ，代入方程 即可求解。x1+x2x1x2 M
