1、上海市复旦附中 2018-2019 学年高一（上）期中数学模拟试卷一填空题（共 12 小题，满分 54 分）1.若实数 a 满足：a 21，4，a，则实数 a 的取值集合为_【答案】1，2，2，0【解析】【分析】由 1，4，a，得到 =1 或 =4，或 = ，由此求出实数 的取值，根据互异性验证后可得所求集合【详解】实数 满足： 1，4， ， =1 或 =4，或 =a，解得 =2 或 =2 或 =1 或 =1 或 =0，当 =1 时，集合为1，4，1，不合题意；当 =1，或 =2，或 =0 时，满足题意实数 的取值集合为1，2，2，0故答案为：1，2，2，0【点睛】本题考查集合的求法，是基础题
2、，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用2.函数 的定义域为_【答案】2，3）【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 和对数的真数大于 0 得到关于变量 的不等式组，解不等式组后可得定义域【详解】由题意得 ，解得 函数的定义域为：2，3） 故答案为：2，3） 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题3.命题“若 ab0，则 b0”的逆否命题是_【答案】 “若 b0，则 ab0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若 ab0，则 b0”的逆否命题是“若 b0，
3、则 ab0”.故答案为：“若 b0，则 ab0”.4.函数 y= +2 的单调区间是_【答案】 （，0）和（0，+）【解析】【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案【详解】由题意得函数 的定义域为 ，又函数 在 和 上单调递减，所以函数 的单调减区间是 和 故答案为：（ ，0）和（0，+） 【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起5.已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则当 时，_【答案】【解析】设 ，则由已知当 时， ，当 时，可得6.已知符号函数 sgn（x） ，则函数 f（x）=
4、sgn（x）2x 的所有零点构成的集合为_【答案】 【解析】【分析】根据 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合【详解】当 x0 时，函数 f（x）=sgn（x）2x =12x，令 12x=0，得 x= ，即当 x0 时，函数 f（x）的零点是 ；当 x=0 时，函数 f（x）=0，故函数 f（x）的零点是 0；当 x0 时，函数 f（x）=12x，令12x=0，得 x= ，即当 x0 时，函数 f（x）的零点是 综上可得函数 f（x）=sgn（x）x 的零点的集合为： 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思
5、想、分类讨论思想，是基础题7.函数 的值域为_.【答案】【解析】由指数函数的性质可知： ，据此可知： ，函数的值域为 .8.已知 a0，b0，则 的最小值为_【答案】4【解析】【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可【详解】由题意得 ， ， ， ，当且仅当 ，即 时等号成立 的最小值为 4故答案为：4【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等” ，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题9.设集合 A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（AB）C=_【答
6、案】1，2，4【解析】【分析】根据并集与交集的定义计算即可【详解】A=1，2，6，B=2，4，AB=1，2，4，6，又 C=x|1x5，xR，（AB）C=1，2，4故答案为：1，2，4【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题10.若 y=f（x）是定义在（，+）上的单调减函数，且 f（x）f（2x2） ，则 x 的取值范围_【答案】 （，2）【解析】【分析】根据 y=f（x）是定义在（，+）上的单调减函数可由 f（x）f（2x2）得到x2x2，解不等式可得 x 的取值范围【详解】f（x）f（2x2） ，且 y=f（x）是定义在（，+）上的单调减函数，x2x2
7、，解得 x2x 的取值范围为（，2） 故答案为：（，2） 【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题11.若函数 ，则 _【答案】1【解析】【分析】根据函数的解析式可推导出 f（5）=f（3）=f（1） ，由此可得所求结果【详解】由题意得 故答案为：1【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题12.定义：若平面点集 A 中的任一个点（x 0，y 0） ，总存在正实数 r，使得集合，则称 A 为一个开集给出下列集合：（x，y）|x 2+y2=1； （x，y）|x+y+20；（x
8、，y）|x+y|6； 其中不是开集的是_ （请写出所有符合条件的序号）【答案】【解析】【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内【详解】对于，集合 A=（x，y）|x 2+y2=1表示以原点为圆心，1 为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0） ，以任意正实数 r 为半径的圆面，均不满足，故不是开集对于，集合 A=（x，y）|x+y+20，对于 A 中的任一点（x 0，y 0） ，设该点到直线x+y+2=0 的距离为 d，取 r=d，则满足 ，故是开集对于，集合
9、A=（x，y）|x+y|6，在曲线|x+y|=6 任意取点（x 0，y 0） ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足 ，故该集合不是开集对于，集合 A= 表示以点 为圆心，以 1 为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集 A 中的任一点（x 0，y 0） ，则该点到圆周上的点的最短距离为 d，取r=d，则满足 ，故该集合是开集综上可得中的集合不是开集故答案为：【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键二选择题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13.设 xR，则“|x2|1”是“x 2x60”的（ ）A. 充分而不
10、必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由|x2|1 得1x21，解得 1x3由 x2x60，得2x3因为 ，所以“1x3”是“2x3”的充分不必要条件，即“|x2|1”是“x 2x60”的充分不必要条件故选 A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解题时可转化为两集合间的包含关系求解，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键14.已知函数 f（x）=3 x+x，g（x）=log 3x+x，h（x）=si
11、nx+x 的零点依次为 x1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（ ）A. x1x 2x 3 B. x1x 3x 2 C. x3x 1x 2 D. x2x 3x 1【答案】B【解析】【分析】将函数的零点看作两函数图象交点的横坐标，画出函数的图象，利用数形结合，判断出函数的零点的大小即可【详解】函数 f（x）=3 x+x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为 x1，x 2，x 3，在坐标系中画出 y=3x，y=log 3x，y=sinx 与 y=x 的图象，如下图所示：由图形可知 x10，x 20，x 3=0，所以 x1x 3x 2故选 B【点睛】求函数零点的常用方法
12、有：（1）解函数对应的方程 ，得到函数的零点；（2）将函数的零点转化为两函数图象的交点的横坐标，画出函数的图象，根据数形结合求解15.已知非空集合 M 满足：若 xM，则 M，则当 4M 时，集合 M 的所有元素之积等于（ ）A. 0 B. 1 C. 1 D. 不确定【答案】C【解析】试题分析：依题意，得当 4M 时，有 ，从而 ， ，于是集合 M 的元素只有 4， ， 所有元素之积等于 4（ ） =-1考点：元素与集合关系的判断16.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，对任意的 xR，均有 f（x+2）=f（x） ，当x0，1）时，f（x）=2 x1，则下列结论正确的是（ ）A. f
13、（x）的图象关于 x=1 对称B. f（x）的最大值与最小值之和为 2C. 方程 f（x）lg|x|=0 有 10 个实数根D. 当 x2，3时，f（x）=2 x+21【答案】C【解析】【分析】根据函数为奇函数和 x0，1）时的解析式，可求出当 x（1，0时函数的解析式，再根据函数的周期性画出函数 y=f（x）的图象，再画出 y=lg|x|的图象，结合图象对四个选项作出判断即可【详解】由函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，可得 又当 x0，1）时，f（x）=2 x1，所以，当 x1，0）时，x0，1） ，则 f（x）=2 x 1=f（x） ， 又 f（x+2）=f（x） ，函数 f（x）是
14、周期为 2 的周期函数画出函数 y=f（x）与 y=lg|x|的图象，如图所示，对于 A，结合图象可得函数 f（x）的图象无对称轴，所以 A 不正确对于 B，由图象可得，函数 f（x）没有最大值和最小值，所以 B 不正确对于 C，结合图象可得当 x0 时，函数 y=f（x）与 y=lg|x|的图象有 4 个交点，当 x0 时，函数 y=f（x）与 y=lg|x|的图象有 6 个交点，故方程 f（x）lg|x|=0 有 10 个实数根所以 C 正确对于 D，当 x2，3)时，x20，1)，所以 故 D 不正确故选 C【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性，以及函数零点个数的判断，考查转化能
15、力和运算能力，解题时借助函数的图象求解是关键，属于中档题三解答题（共 5 小题，满分 76 分）17.设 p：实数 x 满足 x24ax3a 20，其中 a0；q：实数 x 满足 x2x60.(1)若 a1，p 且 q 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若q 是p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）先求出关于 p，q 的 a 的范围，根据当 p 且 q 为真，即可得出实数 x 的取值范围是（2，3） （2）根据q 是p 的充分不必要条件，利用集合间的包含关系，解得实数 a 的取值范围【详解】(1)由 x24ax3a 20 得(x3a)(x
16、a)0，又 a0，所以 ax3a，当 a1 时，1x3，即 p 为真时，实数 x 的范围是 1x3；由 q 为真时，实数 x 的范围是2x3，若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是(1,3)(2)p：xa 或 x3a，q：x2 或 x3，由q 是p 的充分不必要条件，有 得 0a1，显然此时p q，即 a 的取值范围为(0,1【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.已知函数 y=f（x）为定义在（，0）（0，+）上的奇函数，且当 x0 时，（）试求 f（2）的值；（）指出 f（x）的单调递增区间（直接写出结论
17、即可） ；（）求出 f（x）的零点【答案】 （1） ； （2） （，3）和（3，+） ；（3） 和 .【解析】【分析】（）利用函数的奇偶性以及函数的解析式可求得 f（2）的值；（）利用函数的奇偶性以及分段函数的解析式可写出 f（x）的单调递增区间；（）把函数 f（x）的零点转化为方程的根，解方程可得函数的零点【详解】 （）函数 为奇函数， （）当 x0 时，函数 在（3，+）上单调递增，又函数 y=f（x）为定义在（，0）（0，+）上的奇函数，函数 y=f（x）在（，3）上也单调递增，函数的单调递增区间为（，3）和（3，+）.（）当 时，由 ，得 ，解得 ， 是函数 的零点又函数 为奇函数，
18、也为函数 的零点综上可得函数 的零点为 和 【点睛】本题考查分段函数的奇偶性的应用、分段函数函数值的求法以及函数的零点的求法，解题时注意函数图象对称性的应用，考查计算能力和转化应用的能力，属于基础题19.已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据“零点分段法”分为 ， ， 三种情形，分别解出不等式，再取并集即可；（2）法一： 对 恒成立等价于 对 恒成立，利用绝对值三角不等式，求得 取得最小值，即可求得 的取值范围；法二：设，则 ，根据绝对值三角不等式求得 得最小值，从而求得 的取值范围.试题解析：（1）因为
19、 ，所以当 时，由 得 ；当 时，由 得 ；当 时，由 得 .综上， 的解集为 .（2）法一：由 得 ，因为 ，当且仅当 取等号，所以当 时， 取得最小值 .所以当 时， 取得最小值 ，故 ，即 的取值范围为 .法二：设 ，则 ，当 时， 取得最小值 ，所以当 时， 取得最小值 ，故 时，即 的取值范围为 .点睛：含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.20.函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对任意 x1，x 2D，有 f(x1x
20、2)f(x 1)f(x 2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围【答案】 （1）0；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找 f( x)和 f(x)的关系；（3）先利用 f(44) f(4) f(4)2 得到 f(x1)2 f(|x1|) f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)对于任意 x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)，令 x1 x21，得 f(1)2 f(1)， f(1
21、)0.(2)令 x1 x21，有 f(1) f(1) f(1)， f(1) f(1)0.令 x11， x2 x 有 f( x) f(1) f(x)， f( x) f(x)， f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44) f(4) f(4)2，由(2)知， f(x)是偶函数， f(x1)2 f(|x1|) f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数0| x1|16，解之得15 x17 且 x1. x 的取值范围是 x|15 x17 且 x121.已知函数 ， (1)若函数 是奇函数，求实数 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数 与函数 的图象公共点个数，并说明理由；(3)当 时，函数 的图象始终
22、在函数 的图象上方，求实数 的取值范围【答案】(1) .(2) 函数 与函数 的图象有 2 个公共点；说明见解析.(3) .【解析】分析：（1）由题意可得 ，解出 ；（2）要求方程 解的个数，即求方程 在定义域 上的解的个数，令，利用零点存在定理判断即可；（3）要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，必须使 在 上恒成立，令 ，则 ，上式整理得在 恒成立，分类讨论即可.详解：（1）因为 为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有 ，即 ， 显然 ，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有 .上面等式左右两边同时乘以 得，化简得，.上式对定义域内任意 恒成立，所以必有 ，解得 .（2）由（1）
23、知 ，所以 ，即 ，由 得 或 ，所以函数 定义域 . 由题意，要求方程 解的个数，即求方程在定义域 上的解的个数.令 ，显然 在区间 和 均单调递增，又 ，且 ， . 所以函数 在区间 和 上各有一个零点，即方程 在定义域 上有 2 个解，所以函数 与函数 的图象有 2 个公共点.（附注：函数 与 在定义域 上的大致图象如图所示）（3）要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，必须使 在 上恒成立，令 ，则 ，上式整理得 在 恒成立.方法一：令 ， . 当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，恒成立； 当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，解得 与 矛盾. 当 ，即 时，在 上单调递减，在 上单调递增，所以由 ，解得 ，又 ，所以综合得 的取值范围是 . 方法二：因为 在 恒成立. 即 ，又 ，所以得 在 恒成立令 ，则 ，且 ，所以 ， 由基本不等式可知 （当且仅当 时，等号成立.）即 ，所以 ,所以 的取值范围是 .点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
