1、专题 01 不等式的性质及其应用专题点拨1利用基本不等式的性质求解代数式或函数的最值、取值范围时，注意将已知条件转化为右边等于 1 的结构式,再把此等式的左边代数式作为整体去乘以目标代数式的各项或某几项,并遵循“一正、二定、三相等”的条件(若是构造函数模型,则需要结合图像加以分析)2在求参数取值范围的问题中，若能分离出参数 ，比如 恒成立，则 ；若m()fx恒成立，则 ；若 可以成立，则 ()mfx()fx3某些非恒成立(如含有绝对值符号)不等式问题，需要运用分类讨论方法求解.4在求参数取值范围的问题中，若不能分离出参数，则尝试通过构造函数(或分类讨论)加以解决真题赏析1(2018上海)已知
2、，则“ 1” 是“ 1”的（ ）.Ra1aA充 分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【答案】A2(2011上海)若 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是 ( ).,Rab0A B C D 2ab【答案】D【解析】排除法.也可用综合法证明 D 正确.若 时，可得选项 A 错误；若 时，可得选项 B 错误；ab0,ab若 时，可得选项 C 错误. 0因此，选项 D 正确.例题剖析【例 1】已知 ，且 ，则 的最小值是_+,Rxy41xy3xy方法点拨：代数变形，使之能用基本不等式的性质加以解决.【答案】 34【解析】 某项乘 1 方法.当且仅当 时，等号成立.23x【变式训
3、练 1】已知 ，直线 经过点 ，则代数式 的最小值是 .+,Rmn(1,2)12mn【答案】 2【解析】 由题设，可得 .1n于是， .当且仅当 时，等号成立.2m【例 2】已知 ，且 恒成立，求实数 的取值范围Rxa方法点拨：先进行变量分离，再用函数最值确定参数范围.【解析】 分离变量法.根据题设，可得 .令 .于是， 恒成立.因此， .0a【变式训练 2】已知 ，且 恒成立，求实数 的取值范围1x m【解析】 分离变量法.因 ，故 .1x0由条件可得 .由 ，当 时，等号成立.0x于是， .2m【例 3】已知函数 对任意 恒有 成立，求代数式Rx()0fx的最小值方法点拨：代数变形，使之能
4、用基本不等式的性质求解. 【解析】 因 对任意 恒有 成立，则Rx()0fx，即 .24bac.令 则 .于是，,batt因此，所求的最小值为 .3【变式训练 3】已知函数 对任意 恒有 成立，求代数式 的Rx()0fx最小值【例 4】已知 时，不等式 恒成 立，求实数 的取值范围1,m x方法点拨：先构造函数，再利用函数性质确定参数范围.【解析】构造函数法.由 ，得 .设 ，且 时，恒有 成立.1,m()0fm于是， 即 解得 .(1)0,.f31x【变式训练 4】已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围2,1m x【解析】构造函数法.原不等式可化为 .设 ，且 时，恒有 成立.2,1m
5、()0fm于是， 即 解得 .(2)0,1.f巩固训练A 组(一)填空题1已知 ，且 ，则 的最小值是 .Ryx, xy2【答案】 3【解析】 由 ，得 .xy2于是， .当且仅当 时，等号成立.21x2若 ，则 的最小值为_.0x【答案】 32【解析】因 ，则 .构造： .01x0x于是 ， .2当且仅当 时，等号成立.1x3（2018七宝中学模拟）若关于 x 的不等式 在 上恒成立，则正实数 a 的取值范围为_.【答案】【解析】解：由题意，不等式 在 上恒成立时， 在区间 恒成立，即 在区间 恒成立， ，时， 在区间 恒成立，即 在区间 恒成立， ，正实数 a 的取值范围为： ；故答案为：
6、 (二)选择题4.若 ，则函数 的最小值是( ).4xA B C D5232【答案】B【解析】 因 ，故 ，且 不成立. 4x令 ，则 .由 在 上是单调增函数，可得 .2tt1t2,)于是， ，当 时，等号成立.5()fx45.已知 ，且 ，求 的最小 值是( ).Ry, yx2A B C D81041【答案】 D【解析】 因 ，则 .令 ，则 .解得 .12t于是， .6已知函数 的图像过点 ，如图所示，求 的(1,3)Pba14最小值是( ).A B C D 592172【答案】B【解析】 根据题意，可知 ，于是， .因此， .当且仅当 时，等号成立.23b(三)解答题7.如图所示，点
7、A 是函数 图像上一点，点 B 是函数图像上一点，点 A、B 在 轴， 轴上的投影分别是xy，已知 ，求 的最小值.2|1|2【解析】设点 . ，并结合图像，可得2|1BA.于是， .|2BAy xA2A1O B2B1当且仅当 时，等号成立.2x所以， .8.已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.(1,2)a xB 组(一)填空题1. 已知函数 的图像过点 ，则 的最小值是_ _.)2,1(【答案】 23【解析】根据题意，得 ，即 .于是，2ab当且仅当 时，等号成立.324b2已知直线 的图像过点 ，且不经过第三象限，则 的最小值为 .1byax)1,(【答案】25【解析】根据题意，
8、得 进一步可得于是， 当且仅当 时，等号成立.52b3.点 在直线 上，点 ，且 ，则ABC、 、 lOl的最小值是 .学科网 12mn【答案】 105(二)选择题4.已知 ，且直线 与直线 互相平行，则 的最小值是( ).Rba, ba32A B C D 265425【答案】D【解析】根据题意，得 进一步可得 2.3ba于是， 当且仅当 时，等号成立.5b5已知直线 的图像过点 ，且图像不过第三象限，则 的最小值是( ).2axby(1,)MA B C D64543【答案】C【解析】根据题意，得 ，则 .于是，当且仅当 时，等号成立.32b6.某种饮料分两次提价，提价方案有甲乙两种，方案甲：
9、第一次提价 ，第二次提价 ；方案乙：每%pq次都提价 ，若 ，则提价多的方案是( ).%2qp0A甲方案 B乙方案 C都可能 D无法确定【答案】B【解析】设饮料提价前售价为 元.根据题意，按甲方案提价后售价为 ；a乙方案提价后售价为 .因此，乙方案提价更多.(三)解答题7.已知向量 的夹角为锐角，且满足 、 ，若对任意的,ab|3a|2b，都有 成立，求 的最小值.|xyab8在 中，角 所对的边分别为 ，如果对任意的实数 ， 恒成立，ABC , ,abc求 的取值范围.cb【解析】 设 边上的高为 . 的几何意义是点 与直线 上的任意点的联线的距离，其ADBCABC最小值就是 . 对任意的实
10、数 恒成立，于是，|有 .进一步得 ，即 .|BCA2sinabcA一方面， ，当 时，等式成立.2cbc另一方面， .当 时，等式成立.2A所以， .C 组 (一)填空题1. 如 图 所 示 ， 在 中， 为 上不同于 的任意一点， 点 满足ABCM,BCN若 ， 则 的最小值为_3yx【答案】 932【解析】 根据题意，知 .于是， ，且 共线.BMC、 、因此， .23xy所以， .当 时，等号成立.2. （2018杨浦区期中）若非零实数 a、b 满足 ，则 的最大值为_.【答案】【解析】解：要求 的最大值，可设 a， ，由 ，当且仅当 时，上式取得等号，即 ，由 ，当且仅当 时， 取得
11、最大值 ，故答案为： NCB A3已知不等式 恒成立，则正实数 的取值范围是_ _a【答案】 4a【解析】一方面， 恒成立,可知， .另一方面， ，当 时，等号成立.于是，yax，解得 .4a(二)选择题4如果正数 满足 ，那么下列结论正确的是（ ）.【答案】A【解析】 ， ，即 .同理，得 .4ab4cd，当且仅当 时，等号成立，即等号成立的 的取值唯一.abcd5 （ ）.A.31B.31C.23D.23【答案】D【解析】 由 ，解得 .于是， .当且仅当 时，等号成立.6已知 ，满足 ，则求 的最小值.Ryx, 1yxA. B. C. D.4926254【答案】D(三)解答题7.解答下列
12、问题：(1)已知 ，且 ，求证： ；,Rab1b(2)解关于 的不等式 .x【解析】(1)可用代数法证明，也可以用几何法证明 .，且 ，则 表示：直线 上的点到点 的距离的平方.因,Rxy1xy1xy(2,)此， .所以，已知 ，且 时， 成立.,Rab1b(2)原不等式可化为 .若 ，得不等式的解集为 .0(,若 ，有 .0a当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；2a21,a当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 .20a2,1a8. 若 为非负实数，且满足 ，求代数式 的最小值xyz、 、 xyz【解析】 ，且 为非负实数，xyz、 、.4x当且仅当 时，等号成立.2x.
