1、陕西省西安市西北工业大学附属中学 2019 届第一次适应性训练一理科数学一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设复数 ，则 z=1-i1+i,f(x)=x2-x+1 f(z)=(A. i B. C. D. -i -1+i 1+i【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解【详解】解： ，z=1i1+i= (1i)2(1+i)(1i)=if(i)=(i)2(i)+1=i故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题2.设 ，则“ ”是“ ”的 01 b1【详解】解： ， ，01=logaa，01 b112所以 取最大值时的 为 ，Sn
2、 n 5故选 B7.已知 O 是 内部一点， ， 且 ，则 的面ABCOA+OB+OC=0 AB AC=2 BAC=60 OBC积为 A. B. C. D. 33 12 32 23【答案】A【解析】【分析】由 可得点 为三角形的重心，故得 的面积为 面积的 再根OA+OB+OC=0 O OBC ABC13据 得到 ，故可得 的面积，进而得到所求ABAC=2 |AB|AC|=4 ABC【详解】 ，OA+OB+OC=0 ，OA+OB=-OC点 为三角形的重心，O 的面积为 面积的 OBC ABC13 ， ，ABAC=|AB|AC|cosBAC 2 BAC=60 ，|AB|AC|=4 的面积为 ，A
3、BC12|AB|AC|sinBAC= 3 的面积为 OBC33故选 A【点睛】解答本题的关键是根据条件得到点 为三角形的重心，进而得到O的面积比，然后根据三角形的面积公式求解，体现了向量具有“数”和OBC与 ABC“形”两方面的性质8.设 ， 是双曲线 的两个焦点， P 是 C 上一点，若 ，F1 F2 C：x2a2-y2b2=1(a0,b0) |PF1|+|PF2|=6a且 的最小内角为 ，则 C 的离心率为 PF1F2 30A. B. C. D. 232 3 62【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义求出 ， ， ，然后利用最小内角为 结合余弦定理，求出双|PF1| |F1F2| |P
4、F2| 30曲线的离心率【详解】解：因为 、 是双曲线的两个焦点， 是双曲线上一点，且满足 ，F1 F2 P |PF1|+|PF2|=6a不妨设 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知P |PF1|PF2|=2a所以 ， ， ，|F1F2|=2c |PF1|=4a |PF2|=2a, , 为 最小边,aBC所以满足题意的四面体第三对棱长大于 ，4232= 7第二排，三个图讨论最长：当 向 趋近时， 逐渐增大， ，可以构成 的四面体；BACBC x=AA=BC当 时构成的四面体 ，不满足题意；ABC90 AA0 x(e,+) m 时，直线 y=a 与 m 图象有一个交点；当 时，直线 y=a
5、与 m 图象有1e 00) f(6)=f(3) f(x) (6,3)_=【答案】143【解析】试题分析：由题意 是函数 的最小值点，所以 ，即x=6+32=4 f(x) 4+3=2k+32,kZ，又 ，所以 ，所以 =8k+143,kZ T=236 00，0)的对称性：利用 ysin x 的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令 xk(k Z)，求得 x，利用 ysin x 的对称轴为 xk (kZ)2求解，令 x k (kZ)得其对称轴2【此处有视频，请去附件查看】15.如图，点 B 的坐标为 ，函数 ，若在矩形 OABC 内随机取一点，则此点取自阴(e,1) f(x)=lnx影部分的概率等于
6、_【答案】 1-1e【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用测度比是面积比求解【详解】解：由已知得矩形的面积为，阴影部分的面积为 1+e1(1lnx)dx=1+x(xlnxx)|e1=1+(2xxlnx)|e1，=1+e2=e1由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于 e1e=11e故答案为： 11e【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题16.已知函数 ， ，若 ，则 的最小值为_f(x)=e3x-1g(x)=13+lnx f(m)=g(n) n-m【答案】2+ln33【解析】【分析】设 得到 ， 的关系，利用消元法转化为
7、关于的函数，构造函数，求函数t=f(m)=g(n)(t0) mn的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论【详解】设 ，则 t=f(m)=g(n)(t0) m=1+lnt3,n=et-13令 ，则 ，h(t)=n-m=et-13-1+lnt3(t0) h(t)=et-13-13t 在 上单调递增，且 ，h(t) (0,+) h(13)=0当 时， 单调递减；当 时， 单调递增013 h(t)0,h(t) h(t)min=h(13)=2+ln33故 的最小值为 n-m2+ln33故答案为 .2+ln33【点睛】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的
8、极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度三、解答题（本大题共 7 小题）17.已知在等比数列 中， an a2+38=a4,a3=-2a41 求 的通项公式；an2 若 ，求数列 的前 n 项和 bn=2n|an| bn Sn【答案】 （1） ；（2）an=(-12)n-1 2+(n-1)2n+1【解析】【分析】（1）设等比数列 的公比设为 ，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，an q即可得到所求通项公式；（2）求得 ，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和bn【详解】解：(1)等比数列 的公比设为 q， ，an a2+38=a4,a3=-2a4可得 ， ，
9、a1q+38=a1q3 a1q2=-2a1q3即有 ， ，a1=1 q=-12可得 ；an=(-12)n-1(2) ，bn=2n|an|=n2n数列 的前 n 项和 ，bn Sn=12+222+323+n2n，2Sn=122+223+324+n2n+1两式相减可得 ，-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2 -n2n+1化简可得 Sn=2+(n-1)2n+1【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题18.2017 年 3 月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型 “小绿车” 、 “小黄车”采用分时
10、段计费的方式， “小绿车”每 30 分钟收费 元不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算；“小0.5黄车”每 30 分钟收费 1 元不足 30 分钟的部分按 30 分钟计算 有甲、乙、丙三人相互独立).的到租车点租车骑行各租一车一次 设甲、乙、丙不超过 30 分钟还车的概率分别为 ，).34， ，三人租车时间都不会超过 60 分钟甲、乙均租用“小绿车” ，丙租用“小黄车” 23 12求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；(1)2 设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望【答案】(1) ;(2)见解析.724【解析】【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式，分两
11、种情况计算概率即可；（2）根据相互独立事件的概率公式求出各种情况下的概率，得出分布列，利用公式求解数学期望【详解】 （I）由题意得，甲乙丙在 30 分钟以上且不超过 60 分钟还车的概率分别为记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件 A则，答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为 ，（） 可能取值有 2，2.5，3，3.5，4， ； ； ，甲、乙、丙三人所付的租车费用之和 的分布列为： 2 2.5 3 3.5 4P 【点睛】本题主要考查了相互对立事件的概率的计算，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解题意，利用相互独立事件的概率计算公式求解相应的概率是解答
12、的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.19.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是直角梯形， ， 平P-ABCD BAD=CDA=90 PA面 ABCD， ， PA=AD=DC=1 AB=2证明：平面 平面 PAC；(1) PBC2 若 ，求二面角 的大小PQ=( 2-1)PB P-AC-Q【答案】 （1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）证明 ， ，推出 平面 ，则平面 平面 ；PABC ACBC BC PAC PBD PAC（2）由 平面 ，得 ， ，又 ，分别以 ， ，PA ABCD PAAD PAAB BAD=90 AD AB
13、所在的直线为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系 ，由已知向量等式求得 的坐标，AP x y Axyz Q再分别求出平面 与平面 的一个法向量，由两法向量所成角求得二面角 的PAC QAC PACQ大小【详解】 证明： 平面 ABCD， 平面 ABCD， (1) PA BC PABC直角梯形 ABCD 中，由 ， ， ，BAD=ADC=90 AD=CD=1 AB=2得 ，则 ，即 ，AC=BC= 2 AC2+BC2=AB2 ACBC又 ， 平面 PACACPA=A BC又 平面 PBC，BC平面 平面 PAC； PBC解：由 平面 ABCD，得 ， ，又 ，(2) PA PAAD PAAB BAD
14、=90分别以 AD，AB，AP 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 ，A-xyz则 0， ， 0， ， 1， ， 2， ，A(0, 0) P(0, 1) C(1, 0) B(0, 0)设 b， ，由 ，得 b， ，Q(a, c)PQ=( 2-1)PB (a, c-1)=(0,22-2,1- 2)则 Q(0,22-2,2- 2).， ，AC=(1,1,0) AQ=(0,22-2,2- 2)设平面 QAC 的一个法向量为 ，n=(x,y,z)由 ，取 ，则 ；n AC=x+y=0n AQ=(22-2)y+(2- 2)z=0 y=1 n=(-1,1,- 2)平面 PAC 的一个法
15、向量 m=(1,-1,0)，即 cos=nm|n|m|= -222=- 22 =34二面角 的大小为 P-AC-Q4【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，属于中档题20.已知椭圆 的离心率为 ，它的一个顶点 A 与抛物线 的焦点重C：x2a2+y2b2=1(ab0) 22 x2=4y合1 求椭圆 C 的方程；2 是否存在直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，且椭圆 C 的右焦点 F 恰为的垂心三条高所在直线的交点？若存在，求出直线 l 的方程：若不存在，说明理AMN由【答案】 （1） ；（2）见解析x22+y2=1【
16、解析】【分析】（1）因为椭圆的一个顶点 与抛物线 的焦点重合，所以 ，又因为离心率为 ，B x2=4y b=1 e=22可求出， 的值，得到椭圆方程b（2）先假设存在直线与椭圆交于 、 两点，且椭圆 的右焦点 恰为 的垂心设出MN C F BMN， 坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得 ， 点坐标，利用若 为 的垂心，则MN F B F BMN，就可得到含 ， ， ， 的等式，再设 方程为 ，代入椭圆方程，由MFBN x1 x2 y1 y2 MN y=x+t已知条件能求出结果【详解】解： 1 椭圆 的离心率为 ，它的一个顶点 A 与抛物线) C：x2a2+y2b2=1(ab0) 22的焦点重合x
17、2=4y抛物线 的焦点坐标为 ，x2=4y (0,1)b=1由已知得 ，再由 ，ca=22 a2=b2+c2解得 ，a= 2椭圆方程为 x22+y2=12 设 ， ， ， ，M(x1,y1) N(x2,y2) F(1,0) B(0,1)， 是垂心，kBF=-1 F KMN=1设 MN 的方程为 ， y=x+t代入椭圆方程后整理得： 3x2+4tx+2t2-2=0，x1+x2=-4t3将 代入椭圆方程后整理得： ，x=y-t 3y2-2ty+t2-2=0， 是垂心， ，y1+y2=2t3 F MFBN， ， ，MF=(1-x1,-y1) BN=(x2,y2-1) MF BN=(1-x1)x2-y
18、1(y2-1)=0整理得： ，x1+x2-x1x2-y1y2+t=0，-4t3-2t2-23 -t2-23 +t=0 3t2+t-4=0或 舍t=-43 t=1(存在直线 l，其方程为 使题设成立 y=x-43【点睛】本题考查椭圆方程的求法，以及存在性问题的解法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题21.已知函数 ，曲线在点 处的切线方程为 f(x)=ax-b(x+1)ln(x+1)+1 (0,f(0) x-y+b=0求 a， b 的值；(1)2 若当 时，关于 x 的不等式 恒成立，求 k 的取值范围x0 f(x)kx2+x+1
19、【答案】 （1） ， ；（2）a=2 b=1 (-,-12【解析】【分析】（1）求得 的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由， 的方程，可得，f(x) b的值；b（2）由题意可得 恒成立，即有2x(x+1)ln(x+1)+1kx2+x+1对 恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终kx2x+(x+1)ln(x+1)0 x0获得 k 取值范围.【详解】解： 函数 ，(1) f(x)=ax-b(x+1)ln(x+1)+1导数为 ，f(x)=a-b(ln(x+1)+1)曲线在点 处的切线方程为 ，(0,1) x-y+b=0可得 ， ，则 ，a-b=1 b=1 a=2即有 ，
20、；a=2 b=12 当 时，关于 x 的不等式 恒成立，x0 f(x)kx2+x+1可得 恒成立，2x-(x+1)ln(x+1)+1kx2+x+1即有 对 恒成立，kx2-x+(x+1)ln(x+1)0 x0可设 ，g(x)=kx2-x+(x+1)ln(x+1)导数为 ，g(x)=2kx+ln(x+1)设 ， ，h(x)=2kx+ln(x+1) x0，h(x)=2k+1x+1当 时， ， 在 递增，可得 ，2k0 h(x)0 h(x) x0 h(x)h(0)=0则 在 递增， ，与题设矛盾；g(x) x0 g(x)g(0)=0当 ， ，可得 ，2k-12 -1-12k0 x(0,-1-12k)
21、 h(x)在 递减，且 ，x(-1-12k,+) h(0)=0所以在 上 ，故在 上 递增，x(0,-1-12k) h(x)h(0)=0 x(0,-1-12k) g(x)，与题设矛盾g(x)g(0)=0综上可得，k 的范围是 (-,-12.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查运算能力，属于难题22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l： 为参数，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极x=ty= 5+2t (t轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos2+4=01 写出曲线 C 的直角坐标方程；2 已知点 ，直线 l
22、 与曲线 C 相交于点 M、 N，求 的值A(0, 5)1|AM|+ 1|AN|【答案】 （1） ；（2） .y2x2=4 4【解析】（1） 2cos2-2sin2+4=0；x2-y2+4=0y2-x2=4（2）将直线的参数方程化为标准形式： （为参数） ， x=15t,y= 5+25t代入曲线 的方程得 ，C35t2+4t+1=0则1|AM|+ 1|AN|=1|t1|+1|t2|=|t1+t2t1t2|=423.已知 ，其中 f(x)=|x-a|+3x aR1 当 时，求不等式 的解集；a=1 f(x)|2x+1|+3x2 若不等式 的解集为 ，求 a 的值f(x)0 x|x-1【答案】 （1） ；（2） 或 .-2,0 a=2 a=-4【解析】【分析】（1） 代入不等式后化为为|x-1|2x+1|，两边平方去绝对值，化为一元二次不等式解；a=1（2）去绝对值解不等式，与已知解集相等，可得解【详解】解： 1 当 时，不等式可化为： ，a=1 |x-1|2x+1|两边平方化简得： ，解得 ，x2+2x0 -2x0所以不等式的解集为 -2,02 因为不等式 ，可化为 ，即 ，f(x)0 |x-a|-3x 3xx-a-3x或 ，x-a2xa4 -a2=-1 a4=-1或 a=2 a=-4【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题
