1、- 1 -江西省吉安市第一中学 2015 届高三数学上学期期中试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一项是符合题目要求的）1. 设 4|,4|2xNxM，则（ ）A. M N B. N M C. NCRD. MCR2. 01dxe（ ）A. B. 1C. e123D. 233. 已知 Rba,，则 ba33logl是ba的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 必要条件 D. 既不充分条件也不必要条件4. 若平面向量 2,1与 b的夹角是 180，且 53|b，则 b的坐标为（ ）A. （-3，6） B. （3，-6） C. （6，-3
2、） D. （-6，3）5. 已知等差数列 na中， 2,1442a，则 1S的值为（ ）A. 15 B. 33 C. 55 D. 996. 如果函数 xycos3的图像关于点0,3中心对称，那么 |的最小值为（ ）A. 6B. 4C. D. 27. 已知直线 03:1yxl， 01:2ykxl，若 1l到 的夹角为 60，则 k的值是（ ）A. 或 0 B. 或 0 C. 3D. 38. 若函数 axf1akx且在 R 上既是奇函数，又是增函数，则kxgalo的图象是（ ）- 2 -9. 观察下列各式： 347,9， 201，则 2017的末两位数字为（ ）A. 01 B. 43 C. 07
3、D. 4910. 已知直线 ayx与圆2yx交于 A、B 两点，且 | OBA，其中 O 为原点，则实数 的值为（ ）A. 2 B. -2 C. 2 或-2 D. 6或 11. 设函数 xf6531xa在区间 3,1上是单调函数，则实数 a的取值范围是（ ）A. ),5B. 3,(C. ,3(D. 5,12. 已知函数 xf是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意实数 ba,满足：2f， abffaf，*2Nnfn，*2Nnfbn，考查下列结论： 10； x为奇函数；数列 na为等差数列；数列 nb为等比数列。其中正确命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（
4、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ）13. 在复平面内，复数 iz1对应的点位于第_象限。14. 已知函数,log21xxf若关于 x的方程 kf有三个不同的实根，则实数k的取值范围是_。15. 在计算“ 131n ”时，有如下一种算法：- 3 -先将和式中第 k项变形为：1213kkk，由此得210312，4，1213nnn。将以上各式相加，得213.3n。类比上述方法： .421n的化简结果是_16. 如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD ，ABBC，AB=2，CD=1 ，BC= 0a，P 为线段 AD（含端点）上一个动点，设 yPCBADx,，对于函数 xfy，给出
5、以下三个结论：当 2a时，函数 xf的值域为 4,1； ,0，都有 成立； ，函数 xf的最大值都等于 4。其中所有正确结论的序号是_。三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程）17. （满分 10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 cba,，已知bcab22。（I）求 A 的大小；（II）如果 36osB， 2，求ABC 的面积。- 4 -18. （满分 12 分）设命题 P：关于 x的不等式： ax|3|4| 的解集是 R，命题Q：函数 12lgaxy的定义域为 R，若 P 或 Q 为真，P 且 Q 为假，求 的取值范围。19. （满分 1
6、2 分） nS是等差数列 n的前 项和， 15a， 35S。（1）求 a的通项公式；（2）设nb（ 是实常数，且 0a） ，求 nb的前 项和 nT。20. （满分 12 分）定义在 R 上的奇函数 xf有最小正周期 4，且 2,0x时，193xf。（1）求 f在 2,上的解析式；（2）判断 x在（0，2）上的单调性，并给予证明；（3）当 为何值时，关于方程 xf在 2,上有实数解？21. （满分 12 分）已知圆 O： 42yx，点 P 在直线 4:l上的动点。（1）若从 P 到圆 O 的切线长为 3，求 P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（2）若点 A（-2 ，0） ，B（2 ，0） ，
7、直线 PA，PB 与圆 O 的另一个交点分别为 M，N，求证：直线 MN 经过定点（ 1，0） 。22. （满分 12 分）已知函数axxf 2ln。 （ 为常数， 0a）（1）若 2是函数 xf的一个极值点，求 的值；（2）求证：当 0a时， f在),21上是增函数；（3）若对任意的 ,1，总存在 ,0x，使不等式 201amxf成立，求实数 m的取值范围。- 5 -二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 三 14. 01-， 15. 3214nn16. ，三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程）17. （满分 12 分）（I
8、）解：因为 bcab22，所以 21os2bcaA，又因为 ,0A，所以 3A。（II）解：因为6cosB， ,0，所以 3cos1sin2B。由正弦定理bAasini，得3siBAa。因为 cb22，所以 052c。解得 61c，因为 0，所以 16。故ABC 的面积 23sin2AbcS。18. （满分 12 分）解：P 真 1aQ 真 02x恒成立（1）当 时， 恒成立，（2） 402a 10 a若 P 真而 Q 假，则 或 ，若 Q 真而 P 假，则 所求 的取值范围是 1a。19. （满分 12 分）- 6 -解：（I）由已知可得： 141da，35245da， 721da21231
9、abnn， 0， nb是等比数列312q，（1）当 1a时， nTq,1,（2）当 a时，23aTnn，综上：1,123ann20. （满分 12 分）解 ：（1）当 02x时， 2x，193xxf，又 xf为奇函数，xff913，当 0时，由 0fff ， f有最小正周期 4， 2242f综上所述，02193,0xxfxx（2）设 21，则 31,22x， 01921xx09932112121 xxxxfxf 21ff， f在（0，2 ）上为减函数。（3）即求函数 x在 ,上的值域。当 ,0x时由（2）知， xf在（0 ，2）上为减函数，- 7 -210289fxf，当 ,x时， ，2189
10、xf2,1ff21. （满分 12 分）解：根据题意，设 P（4，t） 。（I）设两切点为 C，D，则 OCPC ，OD PD，由题意可知222|O，即 2234t，解得 0t，所以点 P 坐标为 0,，在 RtPOC 中，易得POC=60，所以DOC=120 所以两切线所夹劣弧长为 342（II）设 21,yxNM，Q（1 ，0） ，依题意，直线 PA 经过点 A（-2 ，0 ） ，P（4， t） ，可以设26:xtyA，和圆 42yx联立，得到422yxt代入消元得到， 01)3(tt ，因为直线 AP 经过点 A（-2，0） ，M（x1,y1） ，所以 1,2x是方程的两个根，所以有 3
11、614221tx， 36721tx，代入直线方程y，得 362421 tty- 8 -同理，设2:xtyBP，联立方程有422yxt代入消元得到 016442tt，因为直线 BP 经过点 B（2，0 ） ，N（ 2,yx） ，所以 2,x是方程的两个根，48,416222txtx，代入y得到 48222 tty若 1x，则 2t，此时12tx显然 M， Q，N 三点在直线 上，即直线 MN经过定点 Q（1，0）若 1x，则 12t， x，所以有tttxykMQ1283674021，12842102ttxykNQ所以 NM，所以 M，N，Q 三点共线，即直线 MN 经过定点 Q（1，0） 。综上
12、所述，直线 MN 经过定点 Q（1 ，0）22. （满分 12 分）解：axxaxf 1221。（I）由已知，得02f且02， 02， a， 2，- 9 -（II）当 20a时， a202112 aa， 21，当x时，02a，又012ax， 0xf，故 xf在),21上是增函数。（III） ,1a时，由（II）知， xf在 ,2上的最大值为af1ln1，于是问题等价于：对任意的 ,1a不等式01ln2ama恒成立。记 2,21ln2mag，则a11，当 0m时，0ag， g在区间 2,上递减，此时， 01ga。由于 12， m时不可能使 0a恒成立，故必有 m。 12ag若12m，可知 g在区间)12,in,(m上递减，在此区间上，有0)(lga与 )(a恒成立矛盾，故，这时， 0ag， 在（1 ， 2）上递增，恒有 01g，满足题设要求， 12m，即 4，所以，实数 m的取值范围为),4。- 10 -
