1、1江西省吉安一中 2013-2014 学年高一下学期第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。1. 在ABC 中，,1046ABa，则 b（ ）A. 52B. 102C. 6D. 562. 已知等比数列 na满足： 251,4a，则公比 q 为（ ）A. 12B. 1C. 2 D. 23. 张丘建算经卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第 1 天织 5 尺布，现在一月（按 30 天计）共织 390 尺布，则每天比前一天多织_尺布。 （不作近似计算
2、） （ ）A. 12B. 8C. 1629D. 1634. 等比数列 na的前 n 项和为 nS，已知 3150,9a，则 1a（ ）A. 13B. 13C. 9D. 5. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ,abc，若 oscsinCBaA，则ABC的形状为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定6. 由正数组成的等比数列 na满足： 489，则 57,的等比中项为（ ）A. 3 B. 3 C. 9 D. 97. 在ABC 中，内角 A，B，C 依次成等差数列，AB8，BC5，则ABC 外接圆的面积为（ ）A. 16B. 493C. 473D. 15
3、8. 设等差数列 na的前 n 项和为 nS，若 12,0,3mmS，则 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 629. 已知等比数列 na的公比为 q，记 (1)(1)2(1)nmnmnbaa ， nc(1)mna (1)2(1),)nmN ，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列 b为等差数列，公差为B. 数列 n为等比数列，公比为2mqC. 数列 c为等比数列，公比为D. 数列 n为等比数列，公比为2m10. 设ABC 的内角 ,ABC的所对的边 ,abc成等比数列，则sinBA的取值范围是（ ）A. (0,)B. 510,2C. 51,2D. ,二、填空题：本大题共 5 小题，每小
4、题 5 分，共 25 分。11. 在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ,abc，若 2sin,4aCbc，则ABC的面积等于_。12. 设等差数列 na的前 n 项和为 nS，若 510,3S，则 15_。13. 若数列 n满足：11,(2)2nnaa，则该数列的通项公式na_。14. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ,abc，若 2,3sin5iaAB，则角C 等于_。15. 已知两个等差数列 na和 b的前 n 项和分别为 nA和 B，且74n，则使得nab为整数的正整数 n 的个数是_。3三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明
5、过程或演算步骤。16. （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ,abc，且 1,3,2bBA。（1）求 cos的值；（2）求 c 的值。17. （本小题满分 12 分）吉安一中新校区正在如火如荼地建设中，如图，某工地的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB，工地的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，工地中有两条笔直的小路 AD、DC，长度分别为 300 米、500 米，且 DC 平行于 OB。求该扇形的半径 OA 的长（精确到 1 米） 。18. （本小题满分 12 分）设等差数列 na满足 29，且 15,a是方程 2160x的两根。（1）求 的通项公式；（2）
6、求数列 |n的前 n 项和 T。19. （本小题满分 12 分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利 a 元的前提下，可卖出 b 件；若做广告宣传，广告费为 n 千元比广告费为 (1)n千元时多卖出()2nbN件。（1）试写出销售量 nS与 n 的函数关系式；（2）当 0,4ab时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？20. （本小题满分 13 分）已知首项为32的等比数列 na不是递减数列，其前 n 项和为 nS，且354,SaS成等差数列。（1）求数列 n的通项公式；（2）设1()nnTSN，求数列 nT的最大项的值与最小项的值
7、。421. （本小题满分 14 分）设 na是首项为 a，公差为 d 的等差数列 (0)d， nS是其前 n 项的和。记2,nSbNc，其中 c 为实数。（1）若 0，且 124,b成等比数列，证明：2(,)nkkSN；（2）若 n是等差数列，证明： 0c。5【试题答案】1-5 ABCDB 6-10 ABCDC11. 1 12. 60 13. 31n14. 2315. 516. （1）在ABC 中，由正弦定理得 sini2A，故3cos2A。（2）由（1）知 6A，故,3BC。因此insaC。17. 设该扇形的半径 OA 为 r，连接 CO，则CDO60。在CDO 中，2 2cosCDODO即
8、2150(3)50(3)rrr。解得491（米） 。答：该扇形的半径 OA 为 445 米。18. （1） 53216a，所以 1d，故 1na。（2）数列 n的前 n 项和为 nS，由题意得，当 1时，2T。当 2n时，2110nSn。综上所述， 21,0,12.nTn19. （1）设 0S表示广告费为 0 元时的销售量，由题意知211021,nnbbS，将上述式子相加，得611222nnn nbbS b即为所求。（2）设当 0,4a时，获利为 nT元，由题意知，110(2)0n nTS，欲使 n最大，则14nn，易知 5，此时 578S。答：厂家应该生产 7875 件产品，做 5 千元的广
9、告，才能获利最大。20. （1）设 na的公比为 q。由 354,Saa成等差数列，得5345SS。即 534a，则231a。又 n不是递减数列且 1，所以12q。故133()2nnna。（2）由（1）得,211,.nnnS为 奇 数 ，为 偶 数当 n 为奇数时， nS随 n 的增大而减小，所以 132nS，故132506n。当 n 为偶数时， nS随 n 的增大而增大，所以 2314nS，故2137041n。7综上，对于 nN，总有71526nS，所以数列 nT最大项的值为56，最小值的值为712。21. 由题设， 1()2nSad。（1）由 0c，得nb。又因为 124,b成等比数列，所
10、以214b，即23dad，化简得 20ad。因为 0，所以 a。因此对于所有的 mN，有2mSa。从而对于所有的 ,knN，有22()nk kSn。（2）设数列 b的公差为 1d，则 11bd，即 112(),nSnc，代入 nS的表达式，整理得，对于所有的 nN，有321111()dbdacdb。令 111,()2ABD，则对于所有的 nN，有321Ancdn。 （*）在（*）式中分别取 1,4，得1 118279364ABcdcBcABcd，从而有 1730， 1150Ad， 1250，由得 ,cd，代入方程，得 B，从而 cd。即 110,022dba， 1cd。8若 10d，则由 102d，得 ，与题设矛盾，所以 10d。又因为 c，所以 c。
