1、1,集合论与图论,课时：30学时,平时成绩30分，期末考试成绩70分。 平时成绩考核方法：安排5次课堂作业，每次6分，共30分。,课件邮箱:密码:20130225,2,集合论和图论的应用范畴,计算机科学领域的大多数基本概念和理论，几乎均采用集合论和图论的有关术语来描述。特别是在构建数学模型，算法描述时用的更广泛。,集合论和图论都属于离散数学,离散数学分为： 数论、集合论、图论、近世代数、数理逻辑、组合数学,3,集合论和图论的应用范畴,集合论与图论是：数据结构、算法设计与分析、计算机图形学、图像处理、密码学、编码理论、数据压缩、人工智能、生物信息工程等计算机课程的基础课程。,*,可以说集合论和图
2、论是计算机方向所有软件课程的基础。,4,选用教材,离散数学引论 王义和 著 哈尔滨工业大学出版社,5,参考教材,离散数学及其应用 Discrete Mathematics and Its Applicatioms (美)Kenneth H.Rosen 著 (英文版)机械工业出版社,6,参考教材,集合论与图论 耿素云 编著北京大学出版社,*,7,课程内容,第一章:集合及其应用第二章:映射第三章:关系*第四章:无穷集合及其基数*第五章:模糊集合论第六章:图的基本概念第七章:树和割集第八章:连图度和匹配 第九章:平面图和图的着色*第十章:有向图,8,第一章：集合及其应用,1.1 集合的概念 1.2
3、子集、集合的相等 1.3 集合的基本运算 1.4 余集、DeMorgan公式 1.5 笛卡尔乘积 1.6 有穷集合的基数,9,1.1集合的概念,1、集合的概念，通常把具有某种特定性质的具体的或抽象的对象的全体称做集合，其中的每个对象称为该集合中的元素。,在朴素集合论体系中,“集合”是集合论中的一个原始概念，在朴素集合论中“集合”不能严格定义。,常用大写英文字母A,B,C,.表示集合，用小写英文字母a,b,c,.,表示集合中的元素。,10,对于一个集合A来说，某一对象x或者是集合A的元素，或者不是，两者必居其一；如果x是集合A的元素，我们说x属于A，记为xA；如果x不是集合A的元素，我们说x不属
4、于A，记为xA。,集合的表示方法：列举法：列出集合中的全体元素，元素之间用逗号 分开，然后用花括号括起来。例如：设A是由26个英文字母为元素的集合，则:A=a,b,c,d,.x,y,z。,1.1集合的概念,11,描述法：当集合A是具有某种性质P的元素全体时,我们往往用下面的形式表示A。,A=x|x具有性质P,第三次数学危机!,例如:A=x|x是中国人,1.1集合的概念,12,罗素悖论一天，某村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”,1.1集合的概念,13,属于理发师理发范围的集合可以表示成：A=x|x是村里不给自己理发的男人,下面我们来看一下理发
5、师自己是否属于集合A。,把理发师设为x，如果xA，那么理发师就是不给自己理发的人，既然xA,那就属于理发师可以理发的范围，他自己给自己理发,又推出来xA；,因此xAxA；产生予盾!,1.1集合的概念,14,反过来如果xA；也就是说理发师是自己给自己理发的那些人，按定义，理发师不给这些人理发，这又推出理发师不给自己理发,xA,也产生矛盾。,这就是第三次数学危机的来源，,对集合论加以适当的修正，避免悖论。代表性 成果是公理集合论。,1.1集合的概念,15,对于集合的表示法应该注意以下几点：,(2)集合中的元素不规定顺序；,(1)集合中的元素是各不相同的；,(3)集合的两种表示法有时是可以互相转化的
6、。,例如：正偶数集合用列举法可表示为：B=2,4,6,8,.。,用描述法可表示为：B=x|x0且x为偶数,或x|x=2(k+1),k为非负整数。,1.1集合的概念,*,16,1.2 子集、集合的相等,定义1.1 设A,B为二集合,若A中的每个元素都是B中的元素，则称A是B的子集合,简称子集。这时我们说A包含在B里(A包含于B),或B包含着A(B包含A),记作AB。,其符号化形式为：ABx(xAxB),或者：ABx(xBxA),ABxA,xB,(1)、子集的概念,17,如果A不是B的子集,则记作AB,读作A不包含于B,或B不包含A。,AB,若A，B，C是集合。,x(xA并且xB),(1)AA,(
7、2)如果AB,且BC则:AC,要注意“”与“”在概念上的区别。,1.2 子集、集合的相等,对照上面这两个概念，比较集合a与a, a。,aa,a。并且a a,a,18,定义1.2.2 设A，B为二集合，若AB且x(xB并且xA),则称A是B的真子集,记作AB,读作A是B的真子集。,设A,B,C为3个集合，下面3个命题为真：,ABAB并且x(xB并且xA),(1)AA。,(2)AB，则BA。,(3)AB，且BC，则AC。,(2)、真子集的概念,例如：a,b是a,b,c的真子集。,1.2 子集、集合的相等,19,定义1.2.3 设A,B是集合，如果AB且BA,则称A与B相等，记作A=B。,其符号化形
8、式为：A=Bx(xAxB),由子集与集合相等的概念，可知：,(1)ABAB或者BA,(2)ABAB且AB。,(3)、集合相等的概念,1.2 子集、集合的相等,20,定义1.2.4 不拥有任何元素的集合称为空集合，简称为空集，记作。,例如：A=x|x2+1=0xR,B=(x,y)|x2+y20x,yR都是空集。,不是空集！,它是包含一个空集的集合。,(4)、空集的概念,1.2 子集、集合的相等,21,定理1.2.1 空集是一切集合的子集。,1.2 子集、集合的相等,推论：空集是唯一的。,由推论可知，空集无论以什么形式出现，它们都是相等的。,x|x2+1=0xR=(x,y)|x2+y20x,yR=
9、,22,定义1.2.4 以集合为元素的集合称为集族。,例如：在学校中，每个班级的学生形成一个集合，而全校的各个班级就形成一个集族。,1.2 子集、集合的相等,(5)、集族的概念,23,设A1,A2,A3为集合,若令I=1,2,3，则iI,i确定了一个唯一的集合Ai。,于是集族A1,A2,A3又常写成AhhI。,若J为任一集合，对J中每个元素i有唯一的一个集合与之对应，这个集合记为Ai,那么所有这些Ai,形成的集族就用AiiJ表示，其J称为标号集。,那么A1,A2,A3为一个集族。,1.2 子集、集合的相等,集族的表示方法：,24,例如：设p为一素数,Ak=x|x=k(modp),k=0,1,.
10、,p-1,则A =A0,A1,.,Ap-1是以0,1,2,.p-1为标号集的集族,也可以记为A =Akk0,1,2,.p-1,1.2 子集、集合的相等,25,定义1.2.5 集合S的所有子集(包括空集和S本身)形成的集族称为S的幂集,并记为2S,或记为P (S)。,2S=A|AS,例1.2.3 设S=1,2,3,求2S的步骤如下：,A的幂集2S=,1,2,3,1,2,1,3,2,3, 1,2,3。,1.2 子集、集合的相等,(6)、幂集的概念,26,定理1.2.2 设集合A的元素个数|A|=n(n为自然数),则|P (A)|=2n。,证明:A的0个元素的子集个数为:C(n,0),|P (A)|
11、=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+.+C(n,n),A的1个元素的子集个数为:C(n,1),A的2个元素的子集个数为:C(n,2).A的S个元素的子集个数为:C(n,n),=2n,1.2 子集、集合的相等,27,注意,2=。,在这里要区分和,为空集,而是一个集族。,。,1.2 子集、集合的相等,*,28,1.3 集合的基本运算,定义1.8 设A,B为二集合，称由A和B所有元素组 成的集合为A与B的并集,记作AB,称为并运算符， AB的描述法表示如下：,AB=x|xA或者xB。,例1.3.1设A=x|xN并且5x10，B=x|x10并且x为素数，,AB,=2,3,5,6,7,8,9,1
12、0。,=5,6,7,8,9,10,2,3,5,7,(1)、并集的概念,29,定理1.3.1 设A,B,C为任意的三个集合,1.交换律成立,2.幂等律成立,即AA=A;,即AB=BA;,3.A=A;,4.AB=BAB。,1.3 集合的基本运算,5.结合律成立,即(AB)C=A(BC);,30,将集合的并运算推广到多个集合的并集。 A1A2.An定义为至少属于A1,A2,.,An中之一 的那些元素构成的集合。,若A1,A2,.,An,.是一个集合的无穷序列,则它们的并集记为:A1A2.An.,A1A2.An简记为:,简记为:,定义:A1A2.An.=x|nN使得xAn,1.3 集合的基本运算,31
13、,一般地,若AllI是任一集族,则集族中那些集合的并集记为,简记为,集族中元素的并集,1.3 集合的基本运算,*,32,定义1.9 设A,B为二集合，称由A和B的公共元素(既属于A又属于B)组成的集合为A与B的交集，记作AB，称为交运算符。,AB的描述法表示为： AB=x|xA且xB,1.3 集合的基本运算,(2)、交集的概念,33,定理1.3.2 设A,B,C为任意的三个集合，则:,7.幂等律成立,即AA=A;,6.交换律成立,即AB=BA;,8.A=;,9.AB=AAB。,1.3 集合的基本运算,10.结合律成立,即(AB)C=A(BC);,34,与并运算类似，可以将集合的交推广到有限个或
14、 可数个集合：,1.3 集合的基本运算,对于集族AllI中各集的交记成, 其定义为,35,定理1.3.3 设A为一集合,BllI为任一集族,则:,1.3 集合的基本运算,36,定理1.3.4 设A,B,C为任意三个集合，则:11.交运算对并运算满足分配律,即A(BC)=(AB)(AC);12.并运算对交运算满足分配律,即A(BC)=(AB)(AC);,1.3 集合的基本运算,37,定理1.3.5 对任何集合A,B,吸收律成立。13.A(AB)=A;14.A(AB)=A;,1.3 集合的基本运算,38,定义1.3.3 设A,B为任意集合，若AB=，则称A,B不相交。若集序列A1,A2,.,An,
15、.对于任意的Ai与Aj(ij)不相交,则称A1,A2,.,An,.是两两不相交的集序列。,1.3 集合的基本运算,39,定义1.11 设A,B为两个任意集合，由属于A而不属于B的全体元素组成的集合称为A与B的差集，记作AB。,1.3 集合的基本运算,(3)、差集的概念,40,定理1.3.6 设A,B,C为任意三个集合,则13.A(BC)=(AB)(AC)。,1.3 集合的基本运算,41,差运算不满足交换律。 即一般情况下：ABBA。,(AB)C,差运算不满足结合律。,=A(BC),1.3 集合的基本运算,42,定理1.3.7 设A,B为任意二个集合,则(AB)B=ABA。,1.3 集合的基本运
16、算,43,定义1.3.5 设A,B为任意两个集合，称AB与BA的并集称为A与B的对称差，记作AB(也记作AB)。,AB=(AB)(BA)=x(xA且xB)或(xA且xB),=xxAB且xAB,=(AB)(AB),1.3 集合的基本运算,(3)、对称差的概念,44,定理1.3.8 设A,B,C为任意三个集合,则,16.AB=BA;,17.AA=; 18.A=A;,1.3 集合的基本运算,19.(AB)C=A(BC),20.交运算关于对称差满足分配律,即A(BC)=(AB)(AC);,*,45,第一章：集合及其应用,1.1 集合的概念 1.2 子集、集合的相等 1.3 集合的基本运算 1.4 余集
17、、DeMorgan公式 1.5 笛卡尔乘积 1.6 有穷集合的基数,46,就一个问题来说,常称包含所考虑问题的所有对象的集合S,称为该问题的全集。,在这种图示法中，用矩形中各点表示全集S的各个元素。矩形中的圆里的点表示S的子集的各元素。,文氏图,全集的概念。,S,A,B,1.4 余集、De Morgan公式,47,1.4 余集、De Morgan公式,集合A对S的余集Ac可用文氏图表示， 如下图:,定义1.4.1 设S是一个集合,AS,差集SA称为集A对集S的余集（也称为补集）,记为Ac或 CsA，即Ac=SA。,S,A,Ac,48,A对S的余集Ac有如下性质:,21.S对S的余集Sc为空集，
18、即：CsS=Sc=。,22.c=S(Cs=S),23.AAc=,24.AAc=S。,1.4 余集、De Morgan公式,若A、BS，则Ac=B当且仅当AB=并且AB=S。,49,设S为任一集合,I为标号集,I有AS，则有:,定理1.4.1 并集的余集等于各余集的交集,即,1.4 余集、De Morgan公式,50,定理1.4.2 交集的余集等于各余集的并集,即,以上两个定理称为德摩根(De Morgan)公式,当集合数为2时有下面两个公式。25.(AB)c=AcBc;26.(AB)c=AcBc。,1.4 余集、De Morgan公式,51,余集、差集、对称差之间的联系。,定理1.4.3 设A
19、,B都是S的子集,则:25.AB=ABc;,26.AB=(ABc)(BAc),27.Ac=SA,1.4 余集、De Morgan公式,*,52,1.5 笛卡儿乘积,两个对象a和b(允许a=b)按一定的次序排列的整体就叫做一个二元组或有序对。,如果a排在b的前面，则这个有序对就记作(a,b),a称为有序对(a,b)的第一个元素，b称为第二个元素。,规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d。,有序对概念,53,定义1.5.1 设A与B为任意两个集合,则称集合(a,b)|aA且bB为A与B的笛卡尔乘积,记为AB。,AB=(a,b)|aA且bB,1.5 笛卡儿乘积,对任意有穷集合,B,如果用|
20、A|,|B|分别表示和B中元素的个数，那么|AB|A|B|。,两个集合,B的笛卡尔积的元素个数,54,由定义可知，对任一集合A，有：A=A。,一般情况下ABBA,含空集的两个集合的笛卡尔积,是否满足交换律?,12=(1,2),21=(2,1),是否满足结合律?,当A,B,C时,(AB)C中的元素形如(x,y),z)A(BC)中的元素形如(x,(y,z),1.5 笛卡儿乘积,55,定理1.5.1 设A,B,C为任意三个集合,则笛卡儿乘积运算对并、交、差运算分别满足分配律，即：30.A(BC)=(AB)(AC);31.A(BC)=(AB)(AC);32.A(BC)=(AB)(AC)。,1.5 笛卡
21、儿乘积,56,有序对也叫二元组,我们可将二元组推广到三元组,四元组,一直到n元组。,三元组就是三个元素按一定次序组成的整体，设第一个元素为x,第二个元素为y,第三个元素为z,则这个三元组就记为(x,y,z)。,一般地，一个n元组就是n个元素按一定次序组成的整体，设第一个元素为x1,第二个元素为x2,.,第n个元素为xn,则这个n元组就记为(x1,x2,.,xn)。,称两个n元组(x1,x2,.,xn)与(y1,y2,.,yn)相等当且仅当x1y1,x2y2,.,xn=yn。,1.5 笛卡儿乘积,57,例1.5.4 一个n次整系数多项式,a0xn+a1xn-1+.+an-1x+an,在计算机中，
22、存入一个n次多项式，实质上就是把系数构成的n+1元组存入计算机。,若约定按降幂排列时,依次写出其系数就得到一个n+1元组(a0,a1,.,an-1,an)。,于是，一个n次多项式就可用一个n+1元组表示。而一个n+1元组也可视为一个n次多项式。,1.5 笛卡儿乘积,58,定义1.5.2 设A1,A2,.,An(n2)为n个集合,集合(a1,a2,.,an)|aiAi,i=1,2,.,n称为A1,A2,.,An的笛卡尔乘积,并记为:A1A2.An。,当A1=A2=.=An=A时， A1A2.An就简记为An。,1.5 笛卡儿乘积,*,59,1.6 有穷集合的基数,定义1.6.1 设A和B是两个集
23、合,如果有一个法则使xA,根据法则在中有唯一的一个y与x对应，这个y常记为(x),而且yB,在A中也有唯一的一个x使x在下对应于y。这个法则称为从A到B的一个一一对应。,例如：A=a,b,c与B=1,2,3之间存在一一对应。,(a)=1, (b)=2, (c)=3,正好构成有序对C=(a,1),(b,2),(c,3)。,C是AB的子集。,一一对应,60,例：求n2个人站成一排和站成n排（方阵）的方案数，并比较两种方案数的大小？,解：9个人站成一排的方案数是9!，,设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排，,可构成一个方阵 a1a2a3 a4a5a6 a7a8a9,给定一个方阵 b1
24、b2b3 b4b5b6 b7b8b9,也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9,因此这两种站位方式的方案数一样多，都是9!,1.6 有穷集合的基数,61,例 求n2个人站成一排和站成n排（方阵）的方案数，并比较两种方案数的大小？,9个人站成方阵的方案数为：,C(9,3)3!C(6,3)3!C(3,3)3!,1.6 有穷集合的基数,62,定义1.6.1 一个集合A到集合B的一一对应是AB的子集使之满足：1)xA,yB使(x,y);如果(x,y)、(x,z),则y=z2)yB,xA使得(x,y);并且如果(x,y)、(x,y),则x=x。如果(x,y)，则把y记为(x),即y=(x)。,
25、1.6 有穷集合的基数,63,定义1.6.2 集合A称为有限集,如果A=或A且存在一个自然数n,使得A与集合1,2,.,n间存在一个一一对应。数n称为A的基数，A的基数记为A。空集的基数定义为数0，如果A不是有穷集，则称A为无穷集,定义1.6.3 如果A与B的一个真子集间有一个一一对应存在，但A与B之间不存在一一对应，则称A小于B，记为则称AB。,1.6 有穷集合的基数,64,定理1.6.1（加法法则） 设A，B为两个不相交的有限集，则AB=A+B。,1.6 有穷集合的基数,定理1.6.2（加法法则）设A1,A2,.,An为n个两两不相交的有限集,则:,65,定理1.6.3（乘法法则） 设A，
26、B为有穷集合,则:AB=AB。,证,令A=a1,a2,.,am。,令Ai=(ai,b)bB。对i=1,2,.,m,且A1,A2,.,Am是两两不相交,1.6 有穷集合的基数,66,定理1.6.4 设B1,B2,.,Bn为n个有限集,则:,1.6 有穷集合的基数,67,定理1.6.5（减法法则与淘汰原理）设S为有穷集,AS,则,1.6 有穷集合的基数,68,定理1.6.6 设A,B为有限集,则AB=A+B-AB,1.6 有穷集合的基数,69,定理1.6.7 设A,B为有限集,则AB=A+B-2AB,1.6 有穷集合的基数,70,例题,1.6 有穷集合的基数,71,证明：,根据：,1.6 有穷集合
27、的基数,72,定理1.6.8 逐步淘汰原理(或容斥原理)形式之一 设A1,A2,.,An为n个有穷集,则:,1.6 有穷集合的基数,73,例1.1.1：一个学校只有数学，物理，化学3门课 。已知修这3门课的学生人数分别有170,130,120人；同时修数学、物理两门课的学生有45人；同时修数学、化学的有20人；同时修物理、化学的有22人；同时修三门课的学生有3人，问这个学校共有多少学生。,解：令M为修数学课的学生集合；P为修物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合，按照已知条件：,1.6 有穷集合的基数,74,假定学校的学生至少要学一门课程。,=170+130+120-45-20-22+3 =
28、336。,1.6 有穷集合的基数,75,例1.6.2 N=1,2,500,求N中至少能被2,3,5其中之一除尽的数的数目。,解：,N中能被a,b同时除尽的数的数目：,N中被k除尽的数的数目为：,设m为a,b的最小公倍数。,1.6 有穷集合的基数,76,设A1,A2,A3分别表示N中为2,3,5的倍数的集合。,例1.6.3 N=1,2,500,求N中至少能被2,3,5其中之一除尽的数的数目。,1.6 有穷集合的基数,77,1.6 有穷集合的基数,78,定理1.6.9（逐步淘汰原理形式之二) 设A1,A2,.,An都是有限集S的子集,则:,证,由淘汰原理可得:,1.6 有穷集合的基数,79,例1.
29、6.4 求a,b,c,d,e,f这6个字母的全排列中不允许出现ace和df图像的排列数。,解：,设A1为出现ace图像的排列集，A2为出现df图像的排列集。,不允许出现ace和df的排列数为：,1.6 有穷集合的基数,80,习题4.一个人写了十封集和十个信封,然后随机地将信装入信封,试求每封信都装错了的概率。,解：,设A1,A2,.,A10分别是第1,第2,.,第10封信分别装对的集合。,Ai=9!,i=1,2,.,10,至少有两封信装对的集合数为： AiAj=8!,ij=1,2,.,10共有C(10,2)个。,1.6 有穷集合的基数,81,10封信都装错对应的集合数为：,10封信都装对的集合
30、数为： A1A2.A10=1,ij=1,2,.,10共有C(10,10)个。,1.6 有穷集合的基数,82,设Ai为第i个元素在原来位置上的排列数,错排问题,1.6 有穷集合的基数,83,1.6 有穷集合的基数,84,例1.6.5 求不超过120的素数的个数。,因为112=121,因此不超过120的合数的质因子必然有小于11的质数，也就是不超过120的合数至少是2,3,5,7中之一的倍数，,解：,1.6 有穷集合的基数,85,设Ai为不超过120的数同时又是i的倍数的集合，i=2,3,5,7.,1.6 有穷集合的基数,86,1.6 有穷集合的基数,87,注意：27包括了1这个非素数，另外2,3,5,7本身是素数没有计算在内，因此满足要求的素数是27+4-1=30个。,1.6 有穷集合的基数,*,
