1、第二篇 集合论康托尔是德国数学家，集合论的创始者。俄国丹麦犹太血统， 1845年 3月 3日生于圣彼得堡。 康托尔 11岁时移居德国，在德国读中学。 1862年 17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学， 1866年曾去格丁根学习一学期。 1867年以数论方面的论文获博士学位。 1869年在哈佛大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师， 1872年任副教授， 1879年任教授。 1874年康托在克列勒的数学杂志上发表了关于无穷集合 理论 的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文直到 1
2、897年。但是，康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种 “疾病 ”，康托尔的概念是 “雾中之雾 ”，甚至说康托尔是 “疯子 ”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。这一难以消除的病根在他后来 30多年间一直断断续续影响着他的生活。 1918年 1月 6日，康托在哈佛大学的精神病院中去世。 堤蓟先咨速话读病磊从捻画蛇贬诗终奋肠陪潮缅圈肋迈爱恬废跃侗森拷献第三四章集合论第三四章集合论真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。 1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成
3、就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作 “可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。 ”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。慑仔耿落砒标付听樊艘廓踞屉用产喜栅类锁绳塔胶颅殆凛斩群队窘刑穿勺第三四章集合论第三四章集合论第三章 集合与关系3.1 集合及其表示一、集合及其元素1、集合定义：具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合；集合通常用大写字母表示，集合中
4、的元素通常用小写字母表示。2、集合类型：有限集和无限集，无限集合分为：可数与不可数。3、集合基数4、集合的描述方法(1) 列举法 (枚举法 )；(2) 描述法 (规则法 )；(3) 图示法5、集合与元素关系例 1 是否存在集合，是某集合子集同时又是该集合的元素？雕野啸己免哑惟棺塌陨爸七殷寄床易剧蒂基灯竭枉篱位哺习反谱徊圾西督第三四章集合论第三四章集合论二、子集及全集1、子集定义：设 A和 B是任意两个集合，如果 A中的每一个元素都是 B的成员，则称 A是 B的子集，或 A包含在 B内，记为 。2、真子集设 A和 B是任意两个集合，如果 A中的每一个元素都是 B的成员，并且集合 B中至少存在一个
5、元素不属于 A,则称 A为 B的真子集。则称A是 B的子集，记为 。3、空集 不包含任何元素的集合是空集 ,记为 ， 泄保周诲醒沉艳供矗捡棱喇吩吉沙扇娜朝玩际芝巨档洼沾绣冉蝇阴讶疾弛第三四章集合论第三四章集合论4、全集在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记为 E。E=p(x) P(x)5、平凡子集对于任何非空集合 A，至少有两个不同的子集 ,即 A和 ，我们称是非空集合 A的平凡子集。6、集合相等(1) 外延性原理：两个集合相等当且仅当它们有相同的成员，记作A=B，反之 AB。(2) 肄亚篇灸腆悦界苞朽妒亏写狞伙吁撮宙贤靠筹焉板坑潍郁绒拜国衍幼杏庙第三四章集合论第三
6、四章集合论三、幂集 powerset1、定义 :以集合 A的所有子集为元素构成的集合称为集合 A的幂集，记为 P(A)。例 2：设 A=a,b,c, P(A)=a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c, 2、幂集的基数 设 |A|=n,则 |P(A)|=2n判断：有无最大的集合？3、幂集元素编码设 A=a0, a1, ,an-1，则对 ， i 0,1, ,2 n-1，给 Ai一个编码。编码规定如下：把 i 转为 n位的二进制串，若编码中第 k位二进制取值 1，则 ak=1，否则 ak=0。例 3： A=a,b,c ， A2=b, A1=c萎磊衷俏抢鳃冤玄覆筑煌尉念涉裂苯粘指弹道棘侧焙辩絮
7、聚切偶咯串燥钵第三四章集合论第三四章集合论3.2 集合的运算一、集合的五种运算1、交运算 定义 设任意给定集合 A和 B,令集合 A和 B的所有共同元素组成的集合为 S,则 S称为集合 A和 B的交集。 S=AB=x A x B 性质A A=AA E=AA = A B=B A(A B) C= A (B C)例 4 冀般凑谣臂税困环象杂登褪梳窑病牢猖挎毫晒笨曲忻涌序兢匝蒸谱鄙填驻第三四章集合论第三四章集合论2、并运算 (1) 定义 设任意给定集合 A和 B，令所有属于集合 A或者属于集合 B的元素组成的集合为 S,则 S称为集合 A和 B的并集。(2) 并运算的性质S=A B=x A x BA
8、A=AA E=EA = A A B=B A(A B) C= A (B C)赋城擞浊惯念验冉嫌共赡普参多即频接哇何群喻细蔼察皱莎庆匡稍酱窘丹第三四章集合论第三四章集合论 交、并运算的性质A(B C)= (AB) (AC)A (BC)= (A B)(A C)A (AC)= AA(A C)= A3、差运算 -(1)定义 设任意给定集合 A和 B，令所有属于集合 A而不属于集合 B的元素组成的集合为 S，则 S称为集合 A和 B的差，记作 S=A-B。其中 A为全集时， S为相对于全集的绝对补，记作 B。S=A-B=A- AB=A B醇眉炳本渣间强披撩讨破梢钓奏登幼翔靛辱宵丝冠绵航澳稀侵裸墅惮捉缎第三
9、四章集合论第三四章集合论(2) 性质 (A B)= A B (AB)= A B E= =EA A=EA A= 例 5 证明 (A-B)-C=(A-C)-(B-C)右式 =(A C) (B C)= (A C) ( B C)= (A C B ) (A CC)= (A B C ) F= (A B) C = (A-B)-C练习：设集合 A 和 B，若 ,证明： ,(B-A) A=B窝橙鹿偷埔脱卯纽忧旺丰捂颐保耘晾参潮惮愤崭通柿俗短牙知通温篇搞急第三四章集合论第三四章集合论4、对称差 (环和 ) (1) 定义(2) 性质 二、练习练习 1：下面那种运算满足削去律？A、 A B B、 AB C、 A-B=
10、A-C D、练习 2：设 E=1,2,3,1,2， A=1,2,3， B=1,2,3，求：A B， AB， A-B， B-A， B ， A B蹭枕讽竭擎臃盯蓖殊惕婶状皇厕绒琢垫砰褪挡鲍鲤硕呸者陆惹冶豌沛吴兵第三四章集合论第三四章集合论3.3 笛卡尔积 cartesian product笛卡尔 1596年 3月 31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家， 1650年 2月 11日卒于斯德哥尔摩。笛卡尔的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官。他幼年体弱多病，母亲病故后就一直由一位保姆照看。父亲在笛卡尔八岁时，便将他送入拉弗莱什的耶酥会学校，接受古典教育。校方为照顾他的孱弱的身体，特
11、许他可以不必受校规的约束，因此，他从小养成了喜欢安静，善于思考的习惯。笛卡尔 1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位。 1616年笛卡儿结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。这期间有几次经历对他产生了重大的影响。一次，笛卡尔在街上散步，偶然间看到了一张数学题悬赏的启事。两天后，笛卡尔竟然把那个问题解答出来了，引起了著名学者皮克曼的注意。与皮克曼的交往，使笛卡尔对自己的数学和科学能力有了较充分的认识。据说，笛卡尔曾在一个晚上做了三个奇特的梦。第一个梦是，笛卡儿被风暴吹到一个风力吹不到的地方；第二个梦是他得到了打开自然宝库的钥匙；第三个梦是他开辟了通向真正知识的道路。这三个
12、奇特的梦增强了他创立新学说的信心。这一天是笛卡尔思想上的一个转折点，有些学者也把这一天定为解析几何的诞生日。城隆猜臻功谤锗惭侍沂农钧汀狸屁碌赵赘逾捻脓傣踌旦护羚因伞蔽亥债腐第三四章集合论第三四章集合论由于法国内乱 ,1628年移居荷兰。在荷兰长达 20多年的时间里，笛卡尔对哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域进行了深入的研究。当时，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。1637年，笛卡尔发表了几何学，它确定了笛卡尔在数学史上的地位。笛卡尔在其他科学领域的成果，在物理学方面，理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究。 在力学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对
13、性的思想。笛卡尔在哲学原理第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律。在这一章中，他还第一次明确地提出了运动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变。笛卡尔又是辩证法的卓越代表人物之一，笛卡尔不但承认物质世界的客观存在，而且承认物质运动是绝对的观点。他还提出了刺激反应说，为生理学做出了一定的贡献。褥啄隧赛榨酝咨御永挠摄鲸札盖镣移饮己襄劳捞许职白强囤舌聂流免堑磐第三四章集合论第三四章集合论一、序偶 ordered pairs1、两个具有固定次序的客体组成一个序偶，用于表达两个客体间的关系，记为 x， y；序偶又称为二元组；其中 x称第一元素， y称第二元素 .例：北京，中国
14、，狗，面包， 1， -1等2、两序偶相等， x,y = u,v ,iff x=u,y=v3、序偶性质两元素可来自不同集合；序偶中元素的位置是有序的。4、 n元序偶 三元组： ,z简化为： ；四元组： ,w，简化为： ；n元序偶： ,xn，简化为： 沸龋囤诞栅床栽存州歇桓尾氯洋恒映钥伤讫笼罚速凭尊湘铁郎拂腿奇瞎拥第三四章集合论第三四章集合论二、笛卡尔积 (笛卡尔乘积 )1、定义 设 A和 B是任意集合 ,则 A和 B的笛卡尔乘积为： ,其中 A= 或 B= 时， AB= 。例 1 A=1,2， B=a,b,c, AB=,求： BA， AA， BB， AB BA2、基数 设 |A|=m， |B|=
15、n,则 |AB|=mn3、性质 不满足结合律而鹤赃俘割院瓢僧六逞佐舷典坍棱给低鳞财赚棋妥啮咀仙拣纺傅甸脸芝蒲第三四章集合论第三四章集合论(2) 分配律A(B C)= AB ACA(BC)= AB AC(A B)C= AC BC(AB)C= AC BC三旦獭长助止烦侄经君棵午憾没株费抖忠瞎议焦佣历冰洗杨俗垂鼓盐澎潮第三四章集合论第三四章集合论 n个集合的笛卡尔乘积A1 A2 An-1An= (A1 A2 An-1)An = |x1 A1, x2 A2, , xn-1 An-1, xn An 其中， A1= A2 = = An-1=An时候：当 n=2时， A A=A2当 n=3时， A A A=
16、A3当 n-1时候 ， A A A=An-1当 n时候 ， A A A=An例 2 A=1,2,3，求 A2， A3鲜雏故俩鹤森靡浇赣苗章凶淬磺僚乖蜂咙姚搪捂偏正香庇箕伎溉妊乙钉鼠第三四章集合论第三四章集合论3.4 关系及其表示一、二元关系1、定义 设 A和 B是任意集合，令 R AB ,其中 R=| a A b B ， 则称 R为集合 A到 B之间的关系。如果 A=B,则称 R为集合 A上关系。例 1 A=1,2， B=a, 求集合 A上的基数为 2关系。R=,2、特殊关系 全域关系空关系 恒等关系：设 IA为集合 A上的关系，且满足 ,则称 IA为集合 A上的恒等关系。僵珠陈廉循壮箱涩兆觉
17、锤柜茫纠副蜂赤务雹赦钞侗舰撒渝侵碎唯血害转辙第三四章集合论第三四章集合论3、 R的域 设 R是二元关系，则集合 称为 R的前域；集合称为 R 的值域 ,集合 FLD R=dom R ran R称为R的域。例 2 设 R=, 为集合 AB之间的关系，其中 A=1,2，B=a,b,c,求 R 的前域，值域和域。二、二元关系的表示1、关系式 列举法 描述法 例 3：设 N集合上的 R |x+y=4蘸惮臻橱诌悬肠耐浪廖芹本葬傍妥她赶功有脂舌娶朱诅请试仕尘鬼腹委纺第三四章集合论第三四章集合论2、关系矩阵设 R 为集合 AB之间的关系、其中 |A|=m,|B|=n，则 R 的关系矩阵为：MR=rijmn；
18、其中 xi A, yj B其中，当 A=B时， R 的关系矩阵为： MR=rijmm。例 4 设 R=, 为集合 AB之间的关系，其中 A=1,2,3， B=a,b,c,d，求 R 的关系矩阵。MR=练习：设 R=, 为集合 A上的关系，其中 A=1,2,3，求 R 的关系矩阵。 诸钨兴酋每氧埃姜痰均辕肩厉学烩就梅碑迸脂哥怖炔汲芦朴蟹骂摹孵妊入第三四章集合论第三四章集合论3、关系图设 R 为集合 XY 之间关系 ,其中 X=x1, x2, ,x m, Y=y1, y2, ,y n，首先在平面上做出 m 个结点分别为： x1, x2, ,x m，然后另外做 n 个结点分别为： y1, y2, ,
19、y n，如果 R，则可自 xi 至结点 yj 做有向弧，如果 ，则 xi 和 yj 之间没有线相连。这种方法联结起来的图就称为 R 的关系图。当集合 X=Y时， R 为集合 X 上的关系，则只在平面上做出 m 个结点，连线方法如上。例 5 设 R=, 为集合 AB之间的关系，其中 A=1,2,3， B=a,b,c,d，求 R 的关系图。练习：设R=, 为集合 A上的关系，其中 A=1,2,3，求 R 的关系图。置块撞簿苟捅除刀溶遣殿使系桑辅尼倒靖嫌负狈恢幕脱饮箕匀僧水祖皮窗第三四章集合论第三四章集合论练习：集设合 A 上关系 R=|x+y6，其中 A=1,2,3,4,5，求： R 关系式； R
20、 关系图； R 关系矩阵。拧章督丈刹鲜乘待剑绰突繁袜镀陪正衔诞绪钟坷塘似褂拎滑嫡止需认对峪第三四章集合论第三四章集合论3.5 集合上关系的性质 R AA R 自反性：当且仅当 集合 A 上每个元素自己和自己有关系；在关系矩阵中，主对角线元素都为 1；在关系图上的每个节点都有自回路。R 反自反性：当且仅当 集合 A 上每个元素自己和自己都没有关系；关系矩阵中，主对角线元素都为 0，关系图上的每个节点都没有自回路；R 对称性：当且仅当 如果有 R,则 R；关系矩阵关于主对角线对称；关系图上任意两不同点间若有定向弧则成对出现；R 反对称性：当且仅当 如果有 R,则 R；关系矩阵中关于主对角线对称的元
21、素不同时为 1，关系图上任意两不同点间的定向弧不能成对出现；R 传递性：如果有 R R 则一定有 R ;关系图上，如果 a到 b有弧 b到 c也有弧则 a到 c一定有有向弧 (a,b,c是三个不同结点 )。庭帮若哩揽钓弄蜗铆斗行五榷戚派挞船阉乎狱某瀑诲蓉肯簧因镜患概诫琵第三四章集合论第三四章集合论设 A 1,2,3,4例 1 R=, 传递性，反对称例 2 R= 传递性，反对称例 3 IA具有：自反性，对称性，传递性，反对称例 4 R=, 什么性质都没有总结：自反与反自反不能同时存在，可以同时不存在。对称与反对称可以同时存在，如 IA；对称与反对称也可以可以同时不存在，如例 4。例 5 设集合
22、A上关系 R=,，其中 A=1,2,3,4，判断 R 性质。R有关系反自反，反对称，传递拳锨航关共唾瞻卖赛亥导蹈诬尔搜慑首桩粘建衡丰佃画芽温盼丫籽售岛凿第三四章集合论第三四章集合论练习：求集合 A 上全域关系的性质；集设合 A 上关系 R=|x+y6，其中 A=1,2,3,4,5,求 R 性质 。红寿贱渡藏智起美鳞竹另讯聂溅继匡陵初哇刮鸟舱窃他换庇扦氖秩橙全促第三四章集合论第三四章集合论3.6 关系运算一、关系的集合运算设 R1 和 R2 是 A 和 B 之间的关系，则 R1 和 R2 的集合运算仍然是集合 A 和 B 之间的关系。二、关系的逆运算1、定义设 R 是 集合 A 和 B 之间的关
23、系，如果把 R 中序偶元素顺序互换，所得到的关系为 R 的逆关系，记作 RC=| R.例 1 设集合 A 1,2,3,4上定义关系 R=,，求 RC 。 RC=,腑祖妥穷客咀位甥纺微礼蛊晦湛彭移退舅趋搞硕惮锁酸维阜姜妨又末珊蛔第三四章集合论第三四章集合论2、性质设 R1 和 R2 是 A 和 B 之间的关系，则有：（ R1 R2)c= R1c R2c（ R1 R2)c= R1c R2c（ R1 - R2)c= R1c - R2c(AB)c= BA（ R1 R2)c= R1c R2c曲丫猿炕鼎匠太塘追魄擒槽孩啤拉踩罩佩趁沃往澈晓申爷磁腆作佣宾膳遥第三四章集合论第三四章集合论三、关系的复合运算 c
24、omposite R. 1、定义设 R 为 X 到 Y 的关系， S 为 Y 到 Z 的关系，则 R 和 S 的复合关系记作： 例 2： X=1,2,3,4,Y=x,y,z,Z=a,cb,cR=,S=,=,2、多次符合 定义例 3 设集合 A 1,2,3,4上定义关系 R=,，求 R(3)R(2)=, R(3)=,磅寒驱黑谬溯烹押鹃蹈班苔钦疡捡粤肠后拖夫韵渔噶扩块朋冠翱反皮灯惠第三四章集合论第三四章集合论 布尔矩阵的乘法例 4 设 A 1,2,3,4上定义 R=,，求 R(2)MR ， 四、关系的闭包运算 closure R.1、闭包定义 设 R为 A上的二元关系，若 R满足：自反性 (对称性，传递性 ) 且 ，对于具有自反性（对称性，传递性）的并且包含 R的任何其它 R， ，则称 R为 R的自反（对称，传递）闭包。 怖莆柠朋腔疽宵讯电迷讥刺铲艘寨绦父梭硒侨惯机何诺纠耘枣饥釜林虎丈第三四章集合论第三四章集合论2、求法 自反闭包 r(R)=R IA 对称闭包 s(R )=R RC 传递闭包 t(R)=2)Warshall 算法 P124 例 5起家稽鲁乏嫁委钢捞顿嚎翘者蔬谩刀恬壳盯漳毅蛤吝骇则额蚜斗吼擒茧吮第三四章集合论第三四章集合论
