1、第四章 随机变量的数字特征,数学期望,方差,协方差与相关系数,前面讨论了随机变量及其分布。 如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么关于 X 的全部概率特征也就知道了。,然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的。且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。,因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。,最常用的数字特征是：,数学期望、方差、协方差和相关系数,数学期望的引例,例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80，73， 60，则他们的平均成绩为,以频率为权重的加权平均,变形：现将这7个成绩(90,85,85,8
2、0,80,73,60 )写在7张纸条上，放入一袋中。现从袋中任取一张纸条，用X表示抽到的成绩，则X分布律为：,若用E(X)表示X的平均值，即抽到的平均成绩，应有,随机变量的平均值(即期望)是以概率为权重的加权平均,数学期望E(X) Mathematical Expectation,一维离散型随机变量定义：设离散型随机变量X的概率分布为,若级数 绝对收敛，则称此级数为随机变量X的数学期望(简称期望)或均值，记作E(X)，即,若级数 不绝对收敛，则称X的期望E(X)不存在。,关于定义的几点说明,(2) 当随机变量取值有限时，数学期望一定存在；当随机变量取值无穷时，要求级数要绝对收敛，数学期望不一定
3、存在。,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值。,(3) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,数学期望的计算,例： 一批产品中有一、二、三等及废品4种，相应比例分别为60%，20%，13%，7%，若各等级的产值分别为10元，5.8元，4元及0元，求这批产品的平均产值。,解： 设一个产品的产值为X元，则X的分布律为：,= 0+40.13 + 5.80.2 + 100.6 = 7.
4、68,练习：,一个盒中装有2个白球，3个黑球，每次从中任取一个，直到取得白球为止。求取球次数X的数学期望. （1）每次取出的球不再放回； （2）每次取出的球再放回。,0-1分布：,常见分布的数学期望,二项分布：若X B(n, p)，则,E(X)= 1p + 0(1-p) = p,泊松分布：若X ()，则,随机变量函数的数学期望,设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是Y=g(X) 的期望。那么，如何计算呢？,一种方法是：先求出Y=g(X) 的分布，再按照期望的定义把 Eg(X) 计算出来。 -比较麻烦,那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来
5、计算 Eg(X) 呢？,答案是肯定的，且有如下公式：,随机变量函数的数学期望,定理：设Y=g (X)是随机变量 X的函数，若X为离散型随机变量，其分布律为,则Y的数学期望为,该公式的重要性在于：当我们求 Eg(X)时, 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布。这对求 g(X) 的期望带来了极大方便。,数学期望的计算,例：设随机变量X的分布律为：,定理：设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为：,二维离散型随机变量,则 Z=g(X,Y )的数学期望为:,数学期望,例1：设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为：,Y,X,1,2,1,1/8,1/4,2,1/2,1/8,利用一维X的边缘分布
6、。,数学期望,一维连续型随机变量,设X是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在数轴上取很密的点 x0 x1 x2, 则X 落在小区间 xi , xi+1) 的概率是:,在小区间xi, xi+1)上,阴影面积,由于xi与xi+1很接近, 所以区间 xi, xi+1)中的值可用 xi 来近似地替代。,故数学期望是,这正是 的渐近和式。,数学期望,一维连续型随机变量,定义：设连续型随机变量X的概率密度为f (x), 若积分 有限，则称,为X的数学期望。,如果积分 发散，则称X的数学期 望不存在。,即：连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分值.,数学期望的计算,例1：已知随机变量X的密度函数为,
7、求X的数学期望。,解：,定积分的对称性,均匀分布： 若XUa, b，则,常见分布的数学期望,指数分布：若X E()，则,正态分布： 若 ，则,柯西分布：（P89例4）,E(X)不存在,例2：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时, 计算 P(1000X1200)。,解：由 E(X) = 1/ = 1000，知 = 0.001，则X的概率密度及分布函数为,随机变量函数的数学期望,定理：设Y=g (X)是随机变量 X的函数，若X为连续型随机变量，其密度函数为 f(x)，则Y的数学期望为：,解：X的概率密度为,例1：已知 ，求Y=sinX的数学期望。,例2：有一班公交车在每小时的
8、10分、30分、50分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。,解: 设X表示乘客到达车站时间(以分计),Y表示候车时间,则,例3：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位: 吨)。X服从区间2000, 4000 上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出, 则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大?,解：设组织货源 t 吨。显然要求2000t4000。收益Y=g(X)(单位:万元)是X 的函数，表达式为：,X的概率密度为：,可得当 t = 3500 时，E(Y)达到最大值1.5510
9、6。因此，应组织3500吨货源。,说 明,前面我们给出了求g(X)的期望的方法。实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函数 Z = g(X,Y) 的情形。,数学期望,二维连续型随机变量,定理：设Z=g (X,Y ) ，若(X,Y) 为二维连续型随机变量，其密度函数为 f (x, y)，则 Z 的数学期望为：,例4：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为,求E(XY)。,解：X 和Y 相互独立，故：,X:一维离散型,X:一维连续型,(X,Y):二维离散型,(X,Y):二维连续型,Xi相互独立,设C是常数，则 E(C)=C;,设 X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X) E(Y);,设C是
10、常数，则E(CX)=CE(X);,E(X+Y ) = E(X)+E(Y);,推广：,推广：,数学期望的性质,请注意: E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立,P93的例4,X, Y 相互独立,E(XY)=E(X) E(Y),P93的例5,本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用数学期望的性质,此方法具有一定的意义.,例：将n个球放入M个盒子中, 设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的期望。,解：引入随机变量,则 X=X1+X2+XM,E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM),一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没
11、有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)。(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立.),练一练,数学期望在医学上的一个应用,考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？,分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X,我们需要计算X的数学期望，然后与10比较,化验次数X的可能取值为1，11,先求出化验次数X的分布律。,(X=1)=“10人都是阴性”,（X=11)=“至少1人阳性”,结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数,注意求 X期望值的步骤！,1. 概率p对是否分组的影响,问题的进一步讨论,若p=0.2，则,当p0.2057时，E(X)10,2. 概率p对每组人数n的影响,当p=0.2时，可得出n10.32，才能保证EX10.,当p=0.1时，为使,小 结,本讲介绍了随机变量数学期望的概念、性质及计算，给出了几种常用随机变量的数学期望，介绍了求随机变量函数数学期望的方法。,X:一维离散型,X:一维连续型,(X,Y):二维离散型,(X,Y):二维连续型,
