1、听 老师讲十道题 ，不如自己做一道题 。湖南株洲县五中 黄小红在圆锥曲线中 ，求定值问题的常见方法有 ：从特殊入手 ，求出定值 ，再证明这个值与变量无关 ；直接推理 、计算 ，并在计算推理的过程中消去变量 ，从而得到定值 一 、与线段有关的定值问题运用两点间的距离公式 、弦长公式 l= 1+k2姨（x1+x2）2-4x1x2姨或 l= 1+1k2姨 （y1+y2）2-4y1y2姨、圆内的弦长公式 l=2 R2-d2姨求线段的长 ，化简消参即可 .例 1 在平面直角坐标系 xOy 中 ，已知双曲线C1：2x2-y2=1，椭圆 C2：4x2+y2=1.若 M，N 分别是 C1，C2上的动点 ，且
2、OMON，求证 ：点 O 到直线 MN 的距离是定值 .证明 当直线 ON 垂直于 x 轴时 ，|ON|=1，|OM|=2姨2，则点 O 到直线 MN 的距离为3姨3.当直线 ON 不垂直于 x 轴时 ，设直线 ON 的方程为 y=kx，显然 |k|2姨2，则直线 OM 的方程为y=-1kx.由y=kx，4x2+y2=1，得 x2=14+k2，y2=k24+k2，所以|ON|2=1+k24+k2.同理可得 |OM|2=1+k22k2-1.设点 O 到直线 MN 的距离为 d.由于 （|OM|2+|ON|2）d2|OM|2|ON|2，所以1d2=1|OM|2+1|ON|2=3k2+3k2+1=3
3、，即d=3姨3.综上所述 ，点 O 到直线 MN 的距离是定值 .小结 引入直线的斜率作为参数 ，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立起来 ，运用两点间的距离公式或弦长公式 ，将线段长用斜率表示出来 ，化简后消去参数即可 .二 、与三角形面积有关的定值问题先引入参数 ，再用参数把三角形的底和高表示出来 ，然后在计算三角形的面积时消参即可 .例 2 如图 1，已知椭圆 C的方程为x24+y21，A，B 是四条直线 x2，x-2，y=1，y=-1 所围成的矩形的两个顶点 若 M，N是椭圆 C 上的两个动点 ，且直线 OM，ON 的斜率之积等于直线 OA，OB 的斜率之积 ，则 OMN 的面积是否为定值
4、 ？若是 ，求出定值 ；若不是 ，请说明理由 解 由已知可得点 A 的坐标为 （2，1），点 B 的坐标为 （-2，1）.设点 M 的坐标为 （x1，y1），点 N 的坐标为 （x2，y2），由已知有y1y2x1x2-14，则 x21x2216y21y22（4-x21）（4-x22），即 x21 +x22 4.由于直线 MN 的方程为 （y1-y2）x-（x1-x2）y+x1y2-x2y10，所以点 O 到直线 MN 的距离 d=|x1y2-x2y1|-（x1-x2）2+（y1-y2）2姨，于是有 SOMN12|MN|d12|x1y2-x2y1|12x21y22+x22y21-2x1x2y1y
5、2姨 12x21（1-x224）+x22（1-x214）+12x21x22姨12x21+x22姨 1.故 OMN 的面积为定值 1.小结 先设点的坐标 ，再利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式求出三角形的底和高 ，最后通过计算三角形的面积进行消参 .三 、与斜率有关的定值问题先设点的坐标 ，再将直线方程与圆锥曲线的方程联立 ，若消去 y，就得到关于 x 的一元二次方程 ，文 筑韩红军yABOMN x图 128知 识决定基础 ，方法决定高度 ，细节决定成败 。湖南株洲县五中 刘福初利用韦达定理得到两根之和与两根之积 ，将其代入斜率的坐标计算公式消参求解 .例 3 如图 2，椭圆 C：x2a2
6、+y2b2=1（ab0）经过点 A（0，-1），且离心率为2姨2.经过点 （1，1），且斜率为 k的直线与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q（均异于点A）.求证 ：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2证明 由题意可知 e=ca=2姨2，b=1.由 a2=b2+c2，可得 a 2姨，所以椭圆 C 的方程为x22+y21.直线 PQ 的方程为 y=k（x-1）+1，k2.将其代入x22+y21，得 （1+2k2）x2-4k（k-1）x+2k（k-2）0.由已知有 0.设点 P 的坐标为 （x1，y1），点 Q 的坐标为 （x2，y2），x1x20，则 x1+x2=4k（k-1）1+2k2，x1x2
7、=2k（k-2）1+2k2，从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和 kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2-kx1+kx2+2-kx2=2k+（2-k）（1x1+1x2）2k+（2-k）x1+x2x1x2=2k+（2-k）4k（k-1）2k（k-2）2.小结 这里引入直线 PQ 的斜率作为参数 ，将直线 AP 与 AQ 的斜率之和用参数表示出来 ，化简后消去参数求解 .四 、与参数有关的定值问题根据题意 ，寻找关于参数的代数式 ，将参数逐一表示出来或整体考虑 ，用代入法消参来求解 .例 4 椭圆 C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率 e=3姨2，a+b=3.如图 3 所示
8、 ，A，B，D 是椭圆 C 的顶点 ，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点 ，直线 DP 交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设BP 的斜率为 k，MN 的斜率为 m.求证 ：2m-k 为定值 .证明 由于 e=ca=3姨2，所以 a 23姨c，b13姨c.由 a+b=3，得 c 3姨 ，a 2，b1，则点 D 的坐标为 （0，1），椭圆 C 的方程为x24+y21.由点 B 的坐标为 （2，0），点 P 不为椭圆 C 的顶点 ，可得直线BP 的方程为 y=k（x-2），k0，k12.由y=k（x-2），x24+y21，得点 P 的坐标为 （8k2-24k2+1，-4k4k2+
9、1）.由已知可得直线 AD 的方程为 y=x2+1.由y=k（x-2），y=x2+1，得点 M 的坐标为 （4k+22k-1，4k2k-1）.设点 N 的坐标为 （x，0）.由 D，P，N 三点共线 ，得-4k4k2+1-18k2-24k2+1-00-1x-0，则点 N 的坐标为 （4k-22k+1，0）.所以 m4k2k-1-04k+22k-1-4k-22k+12k+14，则 2m-k=2k+12-k=12为定值 .小结 先引入参数 k，再通过联立方程得到各交点的坐标 ，然后根据三点共线的性质 ，用参数 k 表示点 N 的坐标 ，最后得 m 与 k 的关系来进行求解 .五 、与两向量之积有关
10、的定值问题例 5 已知抛物线 y22px（p0），过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点 ，O 为坐标原点 ，求证 ：O，AO，B 为定值 证明 若直线 l 垂直于 x 轴 ，则点 A 的坐标为（p2，p），点 B 的坐标为 （p2，-p），可得 O，AO，B=-34p2.若直线 l 不垂直于 x 轴 ，则设直线 l 的方程为y=k（x-p2），点 A 的坐标为 （x1，y1），点 B 的坐标为（x2，y2）.由y=k（x-p2），y22px，得 k2x2-p（2+k2）x+p2k240，则 x1+x22+k2k2p，x1x2p24，所以 O，AO，B x1x2+ y1y2x1x2+k2（x1-p2）（x2-p2）（1+k2）x1x2-p2k2（x1+x2）+p2k24-3p24是定值 .小结 这里要注意不能忽略直线 l 的斜率不存在的情况 . （责任编校 筑冯琪 ）yPQAO x图 2图 3yPNA O xMBD29
