1、第七单元：数学广角教材分析：本单元学习的是有关数学广角的“植物问题” ，主要探讨的是关于在一条线段植树的问题，只栽一端、只栽中间、两端都栽等。教材以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究栽树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、试验、推理等探索过程，并启发学生透过现象发现其中的规律，再利用规律回归生活，解决生活实际问题。数学的思想方法是数学的灵魂，本册安排“植树问题”的目的就是向学生渗透复杂问题从简单人手的思想。学情分析：由于学生初次接触“植树问题” ，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握
2、的。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中点对教材进行适当的整合，并充分利用学生原有的知识和生活经验，来组织学生开展各个环节的教学活动。小学五年级学生的思维仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引导，也需要学生的自主探究。教学目标：知识技能：通过观察、操作及交流活动，探索并认识不封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问
3、题之中。数学思考：渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。 问题解决：能够借助图形，利用规律来解决简单的植树问题。情感态度：让学生在积极参与的过程中获得成功的体验，在学会与人分享的过程中体验学习数学的乐趣，同时也培养学生爱护环境的意识。教学重点：能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。教学难点：理解间隔数与棵数之间的规律，并能运用规律解决问题。课时安排：第一课时 在一条线段上植树（两端都栽）第二课时 在一条线段上植树（两端都不栽）第三课时 在一条首尾相接的封闭曲线上植树第 1 课时年级学科 五年级数学 中心备课人 陈小霞上课时间 二次备课人课 题 在一条线段上植树（两端都栽）
4、教学目标1建立并理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵数 =间隔数+1”的数学模型。2利用线段图理解“点数= 间隔数+1 ”“总长= 间隔数间距”等间隔数与点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。教学重点 建立并理解“点数= 间隔数+1”的数学模型。教学难点 培养用画线段图的方法解决问题的意识，并能熟练掌握这种方法。教学课时 1 课时教学准备 多媒体课件教学过程预设 备注或批注一、情境出示，设疑激趣教师：哪位同学知道我们国家设立的植树节是在哪一天？（3 月 12日）在这一天的植树活动中，遇到了这样一个问题。 （课件出示问题）例 1：同学们在全长 100 m 的小路一边植树，每隔 5
5、 m 栽一棵（两端要栽） 。一共要栽多少棵树？教师：你能利用所学的知识解决问题吗？预设 1：20 棵。 （教师追问：你是怎么想的？）每隔 5 m 栽一棵，共栽 1005=20（棵） 。预设 2：我认为是 21 棵，因为题目中写着“两端要栽” ，所以要再加 1 棵。教师：你认为哪一个结果是正确的？（指名回答）【设计意图】直接出示例题的情境，通过学生的尝试解答，既是对教学起点的了解，又利用两种不同的结果设置疑问，激发了学生探求新知的热情。二、经历过程，感受方法教师：可以用怎样的方法进行检验呢？（画线段图）那我们可以在草稿本上试一试。遇到了什么困难？预设：100 m 太长了，不太好画。 （追问：那我
6、们可以怎么办？）实物投影或课件出示：教师：说说你是怎么想的？预设：205=4，20 m 被平均分成 4 段，因为两端要栽，所以要栽 5 棵树。教师：再画一画，25 m 可以栽几棵树？（学生操作）谁来说说你的想法？预设：255=5，就是把 25 m 平均分成了 5 段，因为两端都要栽，所以要栽 6 棵树。学生：可以先用简单的数试一试。 （课件出示）【设计意图】使学生经历分析思考的整个过程，感受“猜测验证”的学习方法。在实际操作中发现问题有助于激发学生的思考，从而深刻地体会“从简单事例中发现规律，并利用此规律解决较复杂问题”的数学思想。 三、探索实践，建立模型教师：先看看 20 m 的距离，在两端
7、都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。【设计意图】 “画示意图抽象出线段图不画图”的教学过程，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的设计理念，也正是在这一进程中，通过积极有效的教学活动，使学生建立起“一条线段两端都栽”这类植树问题的数学模型。四、利用新知，解决问题教师：根据刚才学到的知识，还可以解决许多生活中的问题。 （课件出示问题）1在一条全长 2 km 的街道两旁安装路灯（两端也要安装） ，每隔 50 m 安一盏。一共要安装多少盏路灯？教师：读完这个题目，你觉得有哪些地方需要特别引起注意？预设 1：单位不统一，要先进行转化再计算。预设 2：两旁。 （追问：表示什么？）就是两边。你能通过画
8、图的方法表示出“两旁”吗？在计算时该怎样体现？（先算出一边的路灯的数量，再乘以 2。 ）学生练习，指名回答。2 km=2000 m （2000 50+1）2=82 （盏）答：一共要安装 82 盏路灯。教师：200050 算的是什么？（间隔数） “+1”说明了什么？（两端都要安装）2马路一边栽了 25 棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？还可以这样画：这里的蓝色线段表示什么？（间隔数）红色线段呢？（植树棵数）教师：不画图，你能把下面的表格填写完整吗？（根据学生回答，教师在课件上输入数据）你发现了什么规律？预设：棵数要比间隔数多1。（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=
9、间隔数+1。教师：谁能说说为什么要“+1”？（因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多1。）你能用发现的规律解决开头的问题吗？（指名回答，分析讲解）教师：回顾这个问题的解答过程，说说你的想法。归纳小结：在解决较复杂或数据较大的问题时，可以先从简单数据出发得出规律，然后将规律运用教师：仔细读题，认真思考，说说你对这个题目的理解。引导得出：要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。由“棵数=间隔数 +1”可得“间隔数=棵数-1” 。25-1=24（棵） 答：一共要栽 24 棵银杏树。教师：可以用怎样的方法验证结果是否正确？（可以先用比较简单的例子，通过画线段图的方法进行验证）和这题有关的简
10、单的例子，我们只要张开一只手。五个手指相当于题目中的？（梧桐树）每两个手指之间栽一棵（银杏树） ，可以栽几棵？你还有其他的方法吗？【设计意图】练习中的实际问题，相比例题有一些变化，对于学生的理解能力提出了更高的要求。第 1 题用画图的方法直观地表示出 “两旁” ，解决了算式中为什么要“2”的问题；第 2 题先让学生思考，说说自己的理解，验证的环节既是对方法的回顾，又体现了数学的趣味性。五、逆向思考，拓展新知园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔 6 m 种一棵，一共种了36 棵。从第 1 棵到最后一棵的距离有多远？教师：读题并思考，要求“从第 1 棵到最后一棵的距离 ”就是求什么？（路长）跟例
11、题相比，有什么不同？预设：例题是知道了路长求栽树的棵数，这题是知道了栽树的棵数，求路线长度。教师追问：该怎样解答呢？试一试，并说说你的思路。【设计意图】通过变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解。该题是植树问题数学模型的逆向应用，有了前一题“间隔数=棵数-1”的知识为基础，学生应该能比较容易地解决这一问题。对于学习有困难的同学，也可引导他们用画线段图的方法解答。六、回顾思考，全课总结教师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。于复杂问题进行解决。根据学生回答，强调：1解决两端都要栽的植树问题的数学模型：棵数= 间隔数+1。2当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律
12、，然后应用找到的规律来解决原来的问题。板书设计： 作业设计或布置：课堂作业本P1教学反思：反思整个教学过程，发现单纯 的用规律去解决实际生活中的植 树问题， 对学生有些难，所以我在课堂中重视规律更强调方法，注重学生获取知识过程的体验是学生从旧知识向隐含的新知识迁移的过程。教学中，我 创设了情境，向学生提供多次体验的机会，为学生创设了一种民主、宽松、和谐的学习氛围， 给了学生充分的时间与空间。如果说生活经验是学习的基础，生生 间的合作交流是学习 的推动力，那么借助 图形帮助理解是学生建构知识的一个拐杖。有了这根拐杖，学生们才能走得更 稳、更好。因此，在教学过程中，我注重了对数形结合意 识的渗透。
13、直接例题导入，引 导学生可以画图模拟实际栽树，通过线段图的演示，让学生充分理解“间隔数”与“植树棵树”之间的关系，就此向学生渗透复杂问题简单化的思想，让学生自主选择短距离的路用画图的方式得出结果。 这样把学习的主动权交给学生，发展了学生的潜能，培养了学生的 实践能力和 创新意识。但是我感觉在本节课的教学活动中，师生间的沟通交流上还有待于进一步加强，有 时过高的估计学生的学习基础和理解能力，造成站位过高的局面。今后的教学中要全面、深入的了解学生，充分做好更方面的准备。第 2 课时年级学科 五年级数学 中心备课人 陈小霞上课时间 二次备课人课 题 在一条线段上植树（两端都不栽）教学目标1建立并理解
14、在线段上植树（两端都不栽）的情况中“ 棵数=间隔数-1”的数学模型。2通过画线段图初步培养学生探索解决问题的有效方法的能力，尝试用植树问题的模型解决实际生活中的简单问题，培养应用意识。教学重点 建立并理解“棵数= 间隔数-1”的数学模型。教学难点 培养学生探索解决问题的有效方法的能力。教学课时 1 课时教学准备 多媒体课件教学过程预设 备注或批注一、创设情境，复习引入教师：上节课，我们学习了植树问题中两端都栽的情况，谁能说一说是用怎样的数学模型解决这类问题的？（棵数=间隔数+1）能快速地完成下一题吗？（课件出示题目）准备题：绿化队要在相距 60 m 的小路一边植树（两端都栽） ，相邻两棵树之间
15、的距离是 3 m。一共要栽多少棵树？指名回答：603+1=21（棵） 答：一共要栽 21 棵树。再来看看这一题（课件出示例 2）认真思考，这两个题目有什么不同？大象馆和猴山相距 60 m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽） ，相邻两棵树之间的距离是 3 m。一共要栽多少棵树 ?二、比较分析，迁移新知教师：你能用画图的方法表示出你的发现吗？同桌之间可以互相交流。 （指名汇报）预设 1：准备题是一边，例 2 是小路两旁。 （追问：在图上该如何表示？）就是有两条线段。 （怎么计算？）只要先算出一边的树木数量，再“2”就可以了。预设 2：准备题是两端都栽，例 2 是两端不栽。 （追问：你能通过
16、示意图说说为什么吗？）因为小路的两端都是场馆。教师：这个题目该如何解决呢？你想到了什么方法？（可以先从简单的事例中发现规律）请你在草稿本上试一试。通过比较分析，使学生更为深刻地理解题意，引导“用画图的方法表示出来”对于培养学生良好的审题习惯具有非常重要的作用。该环节的设计还重点突出了对“先从简单的事例中发现规律，再将规律应用于问题的解决”这一数学方法的迁移。三、理解归纳，得出模型指名回答，过程预设：1先画一个简单的线段图看看，以 20 m 长的线段为例，在两端都栽的情况下“棵数= 间隔数+1” ，需要栽 5 棵树。利用变式，强化认知小明家门前有一条 35 m 的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每
17、隔 5 m 栽一棵树（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？ 教师：这题与已经学过的植树问题有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜，再用自己喜欢的方法验证结果是否正确。预设 1：两端都栽的情况下，棵数= 间隔数+1；两端不栽的情况下，棵数=间 隔数-1 。这种一端栽一端不栽的情况，应该是棵数= 间隔数。预设 2：是用画线段图的方法得出的，一共要栽 7 棵。预设 3：直接用355=7（棵）。 （教 师追问：355 算的是什么？）间隔数。 （用2同样长的线段，在两端都不栽的情况下只需要栽 3 棵树，也就是说栽的棵数比间隔数少 1。 （教师追问：可以用怎样的数学模型表示？）棵数= 间隔数-1。教师：你能
18、用不同的方法试一试，对这一数学模型进行验证吗？（学生操作，交流发现。 ）运用这一模型，例 2 可以怎样解答？603-1=19（棵） 192=38 （棵）答：一共要栽 38 棵树。教师追问：为什么要“2”？（因为小路两旁都要栽树）教师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解决过程。通过与例 1 中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。【设计意图】通过教师的引导，促使学生自主探索，经历了问题解决的整个过程，对数学思想的渗透也在知识的迁移和转化过程中得到了体现。在教学实际中，可结合“你能用不同的方法对这一数学模型进行验证吗？”这一问题，进行开放式
19、的教学实践，鼓励学生用自己的方法探索出规律。四、课堂练习，应用新知教师：利用这一数学模型，还能解决许多生活中的问题。1一条走廊长 32 m，每隔 4 m 摆放一盆植物（两端不放） 。一共要放多少盆植物？学生练习，指名回答：324-1=7（盆） 答：一共要放 7 盆植物。教师：如果改为两端都放，该怎么算？324+1=9（盆）教师：这两种不同的摆法相差几盆？（2 盆）为什么？（两端都放时，盆数=间隔数+1；两端都不放时，盆数=间隔数-1。 ）这样的方法计算其实是以什么作为依据的？）在一端栽一端不栽的情况下，棵数=间隔数。2一根木头长 10 m，要把它平均分成 5 段。每锯下一段需要 8分钟，锯完一
20、共要花多少分钟？教师：这个问题和我们学习的植树问题有关联吗？属于植树问题中的哪一种情况？可以先用画图的方法试一试。学生练习，分析讲评：105-1=4（次） 84=32（分钟） 答：锯完一共要花 32 分钟。【设计意图】第 1 题在完成后进行了比较练习，加深了学生对两种不同数学模型之间关系的认识；第 2 题虽然不是植树的情境，但规律是相同的，引导学生通过画线段图的方法即可抓住题目的本质，同时扩展了学生对所学知识的应用视野。六、课堂小结，布置作业小结：植树问题在生活中的应用非常广泛，在解决这类问题时，应该先判断出属于哪一种情况，再根据题意列式解答。课外作业：先判断以下各题属于哪种情况，再列式解答。
21、（1）在一条长 2 千米的公路的一边栽白杨树，每隔 8 米栽 1 棵，最多可以栽多少棵？最少可以栽多少棵？（2）搬运工从一楼到二楼，走了 16 级台阶，王丽家住 6 楼，每相邻两层台阶相同，从一楼到六楼一共走多少级台阶？（3）一个古老的摆钟，于六时整敲响六下，需时五秒钟；那么，在正午敲响十二下时，需时多少秒？ 板书设计： 作业设计或布置：课堂作业本P1教学反思：我这节课的教学是“两端都不栽的植树问题”，其主要目标是 1、学会通过线段图来分析理解两端都不栽的植树问题，理解“棵数间隔数1”的关系式。2、建立 “棵数= 间隔数1”的数学模型；能利用数学模型解决简单的实际问题。 3.向学生渗透“数形结
22、合”的思想，使学生有更多的机会从周围的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，体 验到数学的魅力。成功之处：1.通过观看视频，有效激发学生学 习兴趣，同 时渗透爱国主 义教育。2.放手学生自主探究，小组交流合作。向学生提供多次体 验 的机会，注重借助图形帮助学生理解建构知识。3.全班交流汇报，共同总结规 律，建构 “两端都不栽， 间隔数 -1=棵数”的模型。应用模型，解决生活中的实际问题，让学生感受到数学来源于生活，又服 务于生活。不足之处:1.虽然向学生点出了“数形结合”的思想，但并没有引领学生体会何为“数”，何为“形”。2.教学流程的设计应符合人们的认知的规律。开始的 设计应 从植树
23、导入， 让学生了解知识产生的根源，然后可以推广到公路两旁安装路灯、花坛摆花等，它们都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，这类问题统 称为植树问题。第 3 课时年级学科 五年级数学 中心备课人 陈小霞上课时间 二次备课人课 题 在一条首尾相接的封闭曲线上植树教学目标1运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。2进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。教学重点 理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。教学难点 培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。教学课时 1
24、课时教学准备 多媒体课件教学过程预设 备注或批注一、谈话引入，复习旧知教师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。谁来帮助大家一起回顾这些知识？预设：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵上课前先和同学们做一个手指游戏，目的是为了唤醒学生已有的知识经验，巩固棵数和间隔数之间的关系。数比间隔数多 1；两端都不栽时，棵数比间隔数少 1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？预设：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。教师：同学
25、们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。【设计意图】复习旧知再现了在一条线段上植树的三种情况，以及“猜测验证” 的方法和“ 从简单事例中发现规律，再将规律应用于复杂问题解决” 的数学思想，为本课新知内容的探索打下了坚实的基础。二探究新知1出示例题 张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是 120 米，如果每隔 10 米栽 1 棵，一共要栽多少棵？师：请大家读题，说说这道题 和前边学的有神没不同。生：师：对，植树的线路不同，我们可以把前边学习的叫线性植树，今天学习的在圆形周围植树就是在封闭曲线上植树中的一种叫做环形植树。2.独立试做。师：环形植树的间隔数和棵
26、数又有什么关系呢？请同学们像前然后通过围棋直接引入课题，但因为教材例 3 中棋盘最外层每边是安排摆棋子 19 颗，求最外层一共可以摆放多少颗棋子。19 数字太大，学生在计算上有一定的难度，不容易发现规律，所以，教学时先用比较小的数字最外层每边可以摆棋子 3 个棋子，算一算最外层一共可以摆多少个棋子入手。让学生先猜想，然后通过实践操作，同桌交流，集体汇报等环节发现有很多解决的方法。两节课那样先画一画，圈一圈，再算一算。3.汇报交流，发现规律师：谁来说说你是怎样做的？发现了什么？生 1：生 2：师：刚才同学们说得特别好，我们一起结合图来看一看，不管把池塘的周长看成多少，有一个间隔就总是有一棵树和它
27、对应，所以间隔数和植树的棵数是相等的。4.列式计算。师：经过研究，我们得到的结论是间隔数等于植树棵数，现在你能解决这道题吗？生：5.分析比较。师：你觉得今天学习的环形植树和前边学习的哪种植树情况联系最紧密？生:三.巩固练习。1教材 p108“做一做”2.教材 P111 页练习 二十四第 12 题。四.课堂小结。这节课你有什么收获？板书设计：封闭图形的植树问题环形：植树棵数=间隔数正多边形：注意重叠作业设计或布置：教学反思：节课的内容是在学习两端都栽、两端都不栽的基 础上进行教学的。在植树问题中“ 植树”的路线可以是一条线段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如正方形、长方形或圆形等等。成功之处
28、：1.多种方法解答，拓展学生的思维。在例 3 的教学中，通过学生自主探索，发现四种解题方法如下：方法一：黑色棋子白色棋子=可以摆的棋子192 172=3834=72（个）方法二：每边的个数4 边= 可以摆放多少个18 4 = 72（个）方法三：每边能放个数4重复的 4 个=可以摆放的棋子194 - 4=76-4=72（个）方法四:每边看作 17 个,有 4 边 ，再加上四个角的 4 个。174 +4=68+4=72（个）通过这几种方法的展示，让学生不 仅仅局限于一种解题思路，而是根据自己的实际水平选择适合的方法，利用培养学生思维的灵活性和拓展性。2.不拘泥于课件的使用。在例 3 的教学中， 虽然每种解法都制作了 课件，但是在实际的教学中发现利用在黑板实际画图，分析每一种解法，更加有利于学生对此解法的分析，利用学生对每种解法的理解。不足之处：在拓展解题思路的同时，相应 地就减少了练习的时间， 导致 练习量不足。再教设计：每种解法不再利用课件进行展示，在黑板上画 图进行分析和理解，减少课件制作上的费时费力。
