1、- 1 -如何整理复习“植树”问题甘肃省甘南州合作市藏族小学 徐忠关键词：“植树”问题，整理复习，逻列复习提纲，设置问题情景，线上植树，面上植树，逐层深入，理清算理，归纳总结，揭示规律。“植树”问题是“小学义务教育课程标准实验教材”四年级下册“数学广角”中的必学内容，教材中已将常见的各种线上“植树”问题，在教学例题和练习中几乎全部囊括。当教学完这部分内容后，如何让学生把所学知识串接，扩演成纵横联系的系统知识网，这就需要作一次梳理性整理和复习，使其由浅入深，由此及彼，纵横联系。根据不同的“植树”问题情境理解算理，全面掌握其算法，加深记忆，达到学有所获，获而不忘，胸有成竹，提高学生数学技能的综合应
2、用能力。一、纵横梳理，整理逻列复习提纲，明析知识层次。两端都植树直线一旁植树 只一端植树直线旁植树 两端都不植树直线两旁植树 （端点是否植树）圆上植树封闭曲线上植树 四角都植树线上植树 距（方）阵边上植树 四角都不植树线上植树问题的扩演与变式植树问题 特定条件下的线上植树距阵（方阵）内植树面上植树 其它面上植树二、借提纲设置问题情景，明确基本计算，夯实基础，逐层深化。（一）线上不同情况下的植树问题：- 2 -1.四年级三个班分别在距离 100 米的三条小路一旁每隔 10 米，等距离的植树。四（1）班在两端都栽上了树；四（2）班只在一端栽上了树；四（3）班因树苗不够，两端都没有栽树。问四（1）
3、、四（2） 、四（3）三个班各栽了几棵树？图解分析：100 米一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 10 米 共 10 段100 米每 10 米分一段，可分 100 米10 米=10 段。如果两端都植树；棵树=段数+1 。那么：四（1）班植树，10+1=11（棵） 。如果只一端植树；棵树=段数。那么：四（2）班植树，10 棵。如果两端都不植树；棵树=段数1。那么：四（3）班植树，101=9（棵） 。四（1） 、四（2） 、四（3）班分别植树 11 棵，10 棵， 9 棵。虽然三个班都是在 100 米的路旁每隔 10 米等距离的植树，但涉及到端点是否植树，就出现了三种不同的植树结果，因此，在解
4、决数学问题时，就必须根据问题情景，弄清算理，具体问题具体对待，才能得出正确的答案。2.将上题中在路的一旁植树改为在路的两旁植树外，其它条件和问题都不变，其结果又如何呢？那么：四（1）班就植树；112=22（棵）- 3 -四（2）班就植树；102=20（棵）四（3）班就植树； 92=18（棵）这也就是说，直线两旁植树正好是直线一旁植树的 2 倍，因此，只要解决了直线一旁植树的问题，在直线两旁“植树”的问题就会迎刃而解。3.沿着周长为 150 米的圆形游泳池边上每隔 15 米栽一颗垂柳美化环境共需要多少棵柳树苗？图解分析： 15 米 二 三一四C=150 米 十 五共 10 段九 六八 七150
5、米每 15 米分一段，可分 150 米15 米=10 段。在圆上植树，始端和终端重合，两端重合，端点处始终只栽 1棵树，就相当于把圆展开拉直，跟直线一旁只一端植树的情况完全相同，所以，棵数= 段数，需要栽 10 棵柳树苗。4.在长为 50 米，宽为 30 米的长方形操场四周每隔 10 米栽有一棵美化校园的大柏树，操场四角也栽有大柏树，学校操场四周共有多少棵大柏树？ 50 米图解分析： 十六 一 二 三 四 五 六十五 七 30 米十四 十三 十二 十一 十 九 八 共十六段- 4 -长方形的周长是：（50+30）2=160 （米）160 米每 10 米分一段，可分为 160 米10 米=16（
6、段）距阵（方阵）中四边和四角上都植树，其周边上植树情况跟在圆上植树的算理完全相同，所以，棵树=段数，操场四周共有大柏树16 棵。也可根据直线两端都不植树的算理，先算出四条边各栽几棵树求其和，再加上四个角上的 4 棵树，便可求得全部栽树的棵数。操场四个角各有 1 棵柏树：共有 4 棵柏树。操场一条长边上有柏树：50101=4（棵）操场两条长边上有柏树：42=8（棵）操场的一条宽边上有柏树：30101=2（棵）操场的两条宽边上有柏树：22=4(棵)操场四周共有柏树：8 + 4 + 4 = 16（棵）（两条长边上的树） （两条宽边上的树） （四角上的树） （周边共植的树）距阵（方阵）边上“植树”问题
7、，可用封闭曲线上植树或直线上只一端植树的算理求解，也可根据距阵（方阵）的特殊性，采用特殊求解法解决。至于距阵（方阵）四角上不植树的问题，可以从总数中减掉四个角的 4 棵树便可解决问题。5.线上“植树”问题的扩演与变式题较多，这里只做简单例举。- 5 -四年级 240 个同学排成 8 路纵队,也就是 8 人一排，排成了若干排，已知每排之间都相隔 1 米，这支队伍一共长多少米？分析：240 人排成 8 路纵队，每路纵队有：2408=30（人） ；30 人前后共有：301=29（段）间隔距，每段间隔是 1 米，29 段间隔距的长就是 291=29（米） ，题意中忽略了学生所占空间，只把学生视为一个分
8、段点，所以，这支队伍共长 29 米。“植树”问题的扩演和变式题，只要根据具体的问题情景分清楚它属于那种类型的“植树”问题，再利用其求解法进行解答，便可解决问题，因为其算理是相同的。6.特定条件下的植树问题：9 棵树栽 3 行，每行 4 棵，怎样栽？此题有三种栽树方案，如下图。 A B C （每个圆点代表 1 棵树）10 棵树栽在一条封闭曲线和 5 条直线上，并且在封闭曲线上等距离的栽 5 棵，每条直线上栽 4 棵，该怎样栽？栽植方案如下图： - 6 - （每个圆点代表 1 棵树）对于特殊情况下的“植树”问题要根据具体情况，多思多想，综合分析，才能解决其问题。（二）面上植树即给定面积内的植树问题
9、：一个长 84 米，宽 54 米的长方形苹果园中，苹果树的株距是 2米，行距是 3 米，这个苹果园内共有苹果树多少棵？解决这个问题，必须弄清楚株距和行距是什么意思？株距相邻两棵树之间的距离。行距相邻两行之间的距离。图解分析：（1） 84 米3 米可种 54318（行）54 米 每行可种 84242（棵）2 米 共种树 4218756（棵）共 18 行，每行 42 棵。（2） 84 米可种 84328（列）54 米 每列可种 54227（棵）2 米 共种树 2728756（棵）3 米共 28 列，每列 27 棵。也可先求出距阵（方阵）的总面积和每棵树所占的面积，然后用总面积除以每棵树所占的面积，
10、便可求得所种棵数。总面积有：8454=4536（平方米）- 7 -1 棵树所占的面积是：23=6（平方米）共种树： 45366=756（棵）这种求解方法可适用于任意情况下的面上“植树”问题。三、归纳总结，切准要点，揭示规律。“植树”问题概括起来不外乎两种情况，一是线上植树，二是面上植树。一般在小学范围内大都以研究线上“植树”问题为主，偶尔涉及一些面上“植树”问题。线上植树问题一般研究的是“路线长，棵数，树间距”这三个量之间的关系。对于线上植树问题最关键的还是要弄清“锯木头原理”一根木头，锯一锯可以锯成两段，锯两锯可以锯成三段，锯三锯可以锯成四段也就是说锯木头时， “段数=锯数+1，锯数=段数1
11、。 ”把一根木头等距离的锯成几段时“段数=总长段距（每段的长度） ”明白这个道理后，再来研究线上等距离植树问题中的“路线长，棵数，树间距（也叫株距） ”这三者之间的关系量，就便于理解和推导其关系式。假如把栽树的“路线长”看作就是一根木头，把锯一锯看作就是栽一棵树的话，截锯木头的情况就跟在“直线一旁两端不植树”的“植树”情况完全相同，相邻两棵树之间为一段，则栽若干棵树时“段数=总长 间距 ”，棵数相当于锯数，即“棵数=段数1。 ”那么，如果“只一端植树”的话， “棵数=（段数1）+1=段数”如果“两端都植树”的话， “棵数=（段数1）+2= 段数+1。 ”而封闭曲线始端和终端重合在一起，如果在封
12、闭曲线上植树，始端和终端上- 8 -始终只栽一棵树，这就相当于把封闭曲线剪开拉直后在直线一旁只一端植树的情况完全相同。关于面上植树问题，只要弄清楚一棵树的占地面积，用总面积除以一棵树的占地面积，就可以解决在给定面积上能植多少棵树的问题。 “一棵树的占地面积=株数行距，棵数=总面积一棵树的占地面积=总面积 （株数 行距） ”。总之，线上植树问题，解决的是“总长、间隔、棵数”三者之间的关系量；面上植树问题解决的是“总面积、总棵数、株距、行距”之间的关系量。所有线上“植树”问题可依据“段数=路线总长树间距（株距）”这个关系式以及（两端都不植树）棵数=段数1；（只一端植树）棵数=段数；（两端都植树）棵数= 段数+1. ”这些关系式来解决。面上“植树”问题可依据“棵数=面积总数（株距行距） ”这个关系式来解决。无论那种情况下的“植树”问题，只要根据问题情境弄清楚基本算理，不论怎样扩演，只要多思多想，开动脑筋，正确思维，所有“植树”问题和类同于“植树”问题的问题都会迎刃而解。
