1、 目录 CH1. 伯努利不等式 2 CH2. 均值不等式 2 CH3.幂均不等式 2 CH4. 柯西不等式 3 CH5. 切比雪夫不等式 . 4 CH6. 排序不等式 5 CH6. 排序积不等式（新加） 6 CH7. 琴生不等式 6 CH8. 波波维奇亚不等式 . 7 CH9. 加权不等式 8 CH10. 赫尔德不等式 . 8 CH11.闵可夫斯基不等式 10 CH12.牛顿不等式 10 CH13.麦克劳林不等式 . 11 CH14.定义多项式 11 CH15.舒尔不等式 12 CH16. 定义序列 14 CH17.缪尔海德不等式 . 14 CH18.卡拉玛塔不等式 . 15 CH19.单调函
2、数不等式 . 16 CH20. 3 个对称变量 pqr 法 . 16 CH21. 3 个对称变量 uvw 法 17 CH22. ABC 法 18 CH23. SOS 法 . 18 CH24. SMV 法 . 19 CH25.拉格朗日乘数法 . 20 CH26.三角不等式 21 CH27.习题 . 22 CH27.习题解析 23 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 2 页 共 49 页 Ch1. 伯努利不等式 1.1 若实数 ix （ i 1 2 n, ,., ）各项符号相同，且 ix1 ，则 ： 1 2 n 1 2 n1 x 1 x 1 x 1 x x x( )
3、 ( ) . . . ( ) . . . 1() 1()式为 伯努利不等式 . 当 1 2 nx x x x. 时， 1()式变为： n1 x 1 nx() 2() Ch2. 均值不等式 2.1 若 1 2 na a a, ,., 为正实数，记： 2 2 21 2 nn a a aQ n . ，为 平方平均数 ，简称 平方均值 ； 1 2 nn a a aA n . ，为 算术平均数 ，简称 算术均值 ； nn 1 2 nG a a a. ，为 几何平均数 ，简称 几何均值 ； n1 2 nnH 1 1 1a a a. ，为 调和平均数 ，简称 调和均值 . 则： n n n nQ A G H
4、 3() iff 1 2 na a a. 时，等号成立 . （ 注： iff if and only if 当且仅当 .） 3()式称为 均值不等式 . Ch3.幂均不等式 3.1 设 1 2 na a a a( , , ., ) 为正实数序列，实数 r0 ，则记： 1r r r r1 2 nr a a aMa n .() 4() 4()式的 rMa() 称为 幂平均函数 . 3.2 若 1 2 na a a a( , , ., ) 为正实数序列，且实数 r0 ，则： rsM a M a( ) ( ) 5() 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 3 页 共 49
5、 页 当 rs 时， 5()式对任何 r 都成立，即 rMa() 关于 r 是单调递增函数 . 5()式称为 幂平均不等式 ，简称 幂均不等式 . 3.3 设 1 2 nm m m m( , , ., ) 为非负实数序列，且 1 2 nm m m 1. ，若1 2 na a a a( , , ., ) 为正实数序列，且实数 r0 ，则： 1m r r r rr 1 1 2 2 n nM a m a m a m a( ) ( . . . ) 6() 6()式称为 加权幂平均函数 . 3.4 若 1 2 na a a a( , , ., ) 为 正 实 数序 列 ，且 实数 r0 ，对 mrMa(
6、) 则：mmrsM a M a( ) ( ) 即： 11r r r s s s sr1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nm a m a m a m a m a m a( . . . ) ( . . . ) 7() 当 rs 时， 7()式对任何 r 都成立，即 mrMa() 关于 r 是单调递增函数 . 7()式称为 加权幂平均不等式 ，简称 加权幂均不等式 . Ch4. 柯西不等式 4.1 若 1 2 na a a, ,., 和 1 2 nb b b, ,., 均为实数，则： 2 2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a a b b b a b a
7、 b a b( . . . ) ( . . . ) ( . . . ) 8() iff n121 2 naaab b b. 时，等号成立 .（ 注： iff if and only if 当且仅当 .） 8()式为 柯西不等式 . 4.2 柯西不等式 还可以表示为： 2 2 2 2 2 2 21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a a b b b a b a b a bn n n. . . . . . . . .( ) ( ) ( ) 9() 简称：“ 平方均值两乘积，大于积均值平方 ” 我们 将 1 1 2 2 n na b a b a bn . 简称为 积 均 值 ，记：1
8、1 2 2 n nn a b a b a bD n . . 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 4 页 共 49 页 则： 2 2 4n n nQ a Q b D a b ( ) ( ) ( ) ，即： n n nQ a Q b D ab( ) ( ) ( ) 10() 4.3 推论 1：若 a b c x y z, , , , , 为实数， x y z 0, ，则： 2222 n 1 2 n121 2 n 1 2 na a a aaab b b b b b( . . . ). . 11() iff n121 2 naaab b b. 时，等号成立 . 11()
9、式是 柯西不等式 的推论，称 权方和不等式 . 4.4 推论 2：若 1 2 na a a, ,., 和 1 2 nb b b, ,., 均为实数，则： . . . ( . . . ) ( . . . )2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 na b a b a b a a a b b b 12() iff n121 2 naaab b b. 时，等号成立 . 4.5 推论 3：若 a b c x y z, , , , , 为正实数，则： x y zb c c a a b 3 a b b c c ay z z x x y( ) ( ) ( ) ( ) 13(
10、) Ch5. 切比雪夫 不等式 5.1 若 1 2 na a a. ； 1 2 nb b b. ，且均为实数 .则： 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a a b b b n a b a b a b( . . . ) ( . . . ) ( . . . ) 14() iff 1 2 na a a. 或 1 2 nb b b. 时，等号成立 . 12()式为 切比雪夫 不等式 . 由于有 1 2 na a a. ， 1 2 nb b b. 条件，即序列同调， 所以使用时，常采用 WLOG 1 2 na a a. (注： W L O G W ith o u t L o s s O
11、f G e n e r a lity 不失一般性 ) 5.2 切比雪夫 不等式 常常表示为： 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a a b b b a b a b a bn n n. . . . . . . . .( ) ( ) ( ) 15() 简称：“ 切比雪夫 同调数，均值积小积均值 ” . 即：对 切比雪夫 不等式 采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 5 页 共 49 页 值之积不大于两个序列数各积之均值 . 则： 2n n nA a A b D ab( ) ( ) ( ) 即： n n nA
12、a A b D ab( ) ( ) ( ) 16() Ch6. 排序不等式 6.1 若 1 2 na a a. ； 1 2 nb b b. 为实数，对于 1 2 na a a( , ,., ) 的任何轮换1 2 nx x x( , ,., )，都有下列不等式： 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n n 1 n 1 2 1 na b a b a b x b x b x b a b a b a b. . . . . . . . . 17() 17()式称 排序不等式 （也称 重排不等式 ） . 其中， 1 1 2 2 n na b a b a b. 称正序和， n 1 n 1 2 1 n
13、a b a b a b. 称反序和， 1 1 2 2 n nx b x b x b. 称乱序和 . 故 17()式可记为： 正序和 乱序和 反序和 18() 6.2 推论：若 1 2 na a a, ,., 为实数，设 1 2 nx x x( , ,., )为 1 2 na a a( , ,., ) 的一个排序，则： 2 2 21 2 n 1 1 2 2 n na a a a x a x a x. . . . . . 19() 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 6 页 共 49 页 Ch6. 排序积不等式 （新加） 1 2 1 21111111. , . ,0
14、 , 0 , ( 1 , 2. , 2)( 1 , 2. ) , 1 ,( ) ( (=) ( ) ( )iinnni i i iiiiitttniiiiittita a a b b bx a y bb y i n nbyi n y tx y x y a yaxayxayayx 设是 的 一求 证个 排 列 ， 是 的 一 个 排 列 ,证 明 ： 不 妨 设 设 最 小 ， 如 果， 现 在 我 们 交 换和， 得 到 新 的111 1 1 1 1 1 1 111k11( ) ( ) ,( ) ( ) - ( ) ( ) =0)0=( 2 , . )k(ttt t t t t t t ttn
15、iiniitiia y a ya y a y a y a y a y a y a y a yyyybya bxb k n 乘 积 由 于 ，有 排 序 不 等 式 ， 上 式 大 于 等 于 ， 也 就 是 交 换 和 的位 置 不 会 变 小 ， 同 时 新 的 两 数 大 小 在 旧 的 两数 之 间 ， 依 然 是 大 于 等 于 的 ， 这 样 我 们 把 调 整 到第 一 个 位 置 ， 类 似 的 我 们 可 以 将 调 整 到 第个 位 置 变 成1 2 111121)( (. 0 , . 0 ,)iinni i inniiiinniiiiiiibya a a baxxabbx
16、a y byb ， 于 是 我 们 有证 毕 。类 似 的 可 以 证 明 如 下 结 论 ：设是 的 一 个 排 列 ， 是求 证的 一 个 排 列 ,Ch7. 琴生不等式 7.1 定义凸函数：对一切 x y a b, , ， 01( , ) ，若函数 f a b R: , 是 向下凸函数 ，则： f x 1 y f x 1 f y( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 20() 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 7 页 共 49 页 20()式是向下凸函数的定义式 . 注： f a b R: , 表示区间 ab, 和函数 fx()在 ab, 区间都是实数
17、. 7.2 若 f a b R:( , ) 对任意 x ab( , ) ，存在二次导数 f x 0( ) ，则 fx()在ab(, ) 区间为向下凸函数； iff x ab( , ) 时，若 f x 0( ) ，则 fx()在 ab(, )区间为严格 向下凸函数 . 7.3 若 1 2 nf f f, ,., 在 ab(, ) 区间为 向下凸函数 ，则函数 1 1 2 2 n nc f c f c f. 在在 ab(, ) 区间对任何 1 2 nc c c 0, , ., ( , )也是 向下凸函数 . 7.4 若 f a b R:( , ) 是一个在 ab(, ) 区间的向下凸函数，设 nN
18、 ，1 2 n 01, , ., ( , ) 为实数，且 1 2 n 1. ，则对任何1 2 nx x x a b, , ., ( , )，有： 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf x x x f x f x f x( . . . ) ( ) ( ) . . . ( ) 21() 21()式就是加权的 琴生不等式 . 简称：“ 对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值 ” . Ch8. 波波维奇亚不等式 8.1 若 f a b R: , 是一个在 ab, 区间的向下凸函数，则对一切 x y z a b, , , ，有： x y z f x f y f z 2 x y y z
19、z xf f f f3 3 3 2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 22() 22()式就是 波波维奇亚不等式 . 8.2 波波维奇亚不等式 可以写成： x y z f x f y f z x y y z z xf f f f33 2 2 223( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) 23() 简称：“ 对于向下凸函数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于两点均值的函数值之平均值 ” . 8.3 若 f a b R: , 是一个在 ab, 区间的向下凸函数， 1 2 na a a a b, , ., , ，则： 1 2 n 1 2 nf
20、a f a f a n n 2 f a n 1 f b f b f b( ) ( ) . . . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 8 页 共 49 页 24() 其中： 1 2 na a aa n . ，ijij1ban1 （对所有的 i ） 24()式是普遍的 波波维奇亚不等式 . 当 1ax ， 2ay ， 3az ， n3 时， x y za 3 ，1 yzb 2，2 zxb 2，3 xyb 2代入 23()式得： x y z y z z x x yf x f y f z 3 f 2
21、f f f3 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 即： x y z f x f y f z 2 x y y z z xf f f f3 3 3 2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 25() 25()式正是 22()式 . Ch9. 加权不等式 9.1 若 ia0( , )， i 01 , （ i 1 2 n, ,., ），且 1 2 n 1. ，则： n121 2 n 1 1 2 2 n na a a a a a. . . . . . 26() 26()式就是加权的均值不等式，简称 加权不等式 . 26()式形式直接理解为：几何均值不大
22、于算术均值 . Ch10. 赫尔德不等式 10.1若实数 ab 0, ，实数 pq 1, 且 111pq，则： pqababpq27() iff pqab 时，等号成立 . 27()式称为 杨氏不等式 . 10.2若 1 2 na a a, ,. 和 1 2 nb b b, ,. 为正实数， pq 1, 且 111pq，则： 11p p p q q qpq1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 na b a b a b a a a b b b. . . ( . . . ) ( . . . ) 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 9 页 共 49 页 28()
23、 28()式称为 赫尔德不等式 . iff ppp n12q q q1 2 naaab b b. 时，等号成立 . 10.3赫尔德不等式 还可以写成： 11p p p q q qpq1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 na b a b a b a a a b b bn n n. . . . . . . . .( ) ( ) 29() 即： 2n p qD ab M a M b ( ) ( ) ( ) ，即：p q nM a M b D ab( ) ( ) ( )30() 简称：“ 幂均值的几何均值不小于积均值 ” . （ 注：赫尔德与 切比雪夫 的不同点：赫尔德要求是 111pq， 切
24、比雪夫 要求是同 调；赫尔德的积均值小， 切比雪夫 的积均值大 .） 10.4 若 1 2 na a a, ,. 、 1 2 nb b b, ,. 和 1 2 nm m m, ,. 为三个正实数序列， pq 1, 且111pq，则： 11n n npqpqi i i i i i ii 1 i 1 i 1a b m a m b m 31() 31()式称为加权 赫尔德不等式 . iff ppp n12q q q1 2 naaab b b. 时，等号成立 . 10.5 若 ija ( i 1 2 m, ,., ; j 1 2 n, ,., ) ， 1 2 n, ,., 为 正 实 数 且.1 2
25、n 1 ，则： ( ) ( )jjmmnnij ijj 1 j 1i 1 i 1aa 32() 32()式称为普遍的 赫尔德不等式 . 10.6推论：若 1 2 3a a a N, ， 1 2 3b b b N, ， 1 2 3c c c N, ，则： 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3a a a b b b c c c a b c a b c a b c( ) ( ) ( ) ( ) 33() 简称：“ 立方和的乘积不小于乘积和的立方 ” . 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 10 页
26、 共 49 页 Ch11.闵可夫斯基不等式 11.1若 1 2 na a a, ,., ； 1 2 nb b b, ,., 为正实数 ，且 p1 ，则： 1 1 1n n np p pp p pi i i ii 1 i 1 i 1a b a b( ( ) ) ( ) ( ) 34() iff n121 2 naaab b b. 时，等号成立 . 34()式称为第一 闵可夫斯基不等式 . 11.2若 1 2 na a a, ,., ； 1 2 nb b b, ,., 为正实数，且 p1 ，则： 1 1n n npp p p p pi i i ii 1 i 1 i 1a b a b( ) ( )
27、( ) 35() iff n121 2 naaab b b. 时，等号成立 . 35()式称为第二 闵可夫斯基不等式 . 11.3 若 1 2 na a a, ,., ； 1 2 nb b b, ,., ； 1 2 nm m m, ,., 为三个正实数序列，且 p1 ，则： 1 1 1n n np p pp p pi i i i i i ii 1 i 1 i 1a b m a m b m( ( ) ) ( ) ( ) 36() iff n121 2 naaab b b. 时，等号成立 . 36()式称为第三 闵可夫斯基不等式 . Ch12.牛顿不等式 12.1若 1 2 na a a, ,.,
28、 为任意实数，考虑多项式： n n 11 2 n 0 1 n 1 nP x x a x a x a c x c x c x c( ) ( ) ( ) . . . ( ) . . . 37() 的系数 0 1 nc c c, ,., 作为 1 2 na a a, ,., 的函数可表达为： 0c1 ； 1 1 2 nc a a a. ； 2 1 2 1 3 n 1 n i jc a a a a a a a a. ；（ i j n ） 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 11 页 共 49 页 3 i j kc aa a ；（ i j k n ） n 1 2 nc a
29、 a a. . 对每个 k 1 2 n, ,., ，我们定义 kkkknc k n kpcCn!( ) !38() 则 37()式类似于二项式定理，系数为： kk n kc C p . 12.2若 1 2 na a a, ,., 为正实数，则对每个 k 1 2 n 1, ,.,有： 2k 1 k 1 kp p p 39() iff 1 2 ka a a. 时，等号成立 . 39()式称为 牛顿不等式 . Ch13.麦克劳林不等式 13.1若 1 2 na a a, ,., 为正实数，按 38()定义，则： 111 kn21 2 k np p p p. . 40() iff 1 2 ka a a
30、. 时，等号成立 . 40()称 麦克劳林不等式 . Ch14.定义多项式 14.1若 1 2 nx x x, ,., 为正实数序列，并设 1 2 n, ,., 为任意实数 . 记： n121 2 n 1 2 nF x x x x x x( , , . . . , ) . . . ； 1 2 nT , ,., 为 1 2 nF x x x( , ,., )所有可能的积之和，遍及 1 2 n, ,., 的所有轮换 . 14.2举例说明 T100 , , ：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有 36! 项 .第 1 个参数的指数是 1 ，第 2 和第 3 个参数的指数是 0 . 故： , , (
31、 ) ! ( ) ( )1 0 0 1 0 0 1 0 0T 1 0 0 3 1 x y z y x z z y x 2 x y z . T11, ：表示共有 2 个参数的所有积之和，共有 22! 项 .第 1 个和第 2个参数的指数是 1 . 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 12 页 共 49 页 故： , ( ) ! ( )11T 1 1 2 1 x y 2 x y . T12, ：表示共有 2 个参数的所有积之和，共有 22! 项 .第 1 个参数的指数是 1 ，第 2 个参数的指数是 2 . 故： , ( ) ! ( )1 2 1 2 2 2T 1
32、2 2 1 x y y x x y x y . T121 , , ：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有 36! 项 .第 1 个参数的指数是 1 ，第 2 个参数的指数是 2 ，第 3 个参数的指数 是1 . 故： , , ( )2 2 2T 1 2 1 2 x y z x y z x y z . 即： , , , , T 1 2 1 T 2 1 1 T210 , , ：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有 36! 项 .第 1 个参数的指数是 2 ，第 2 个参数的指数是 1 ，第 3 个参数的指数是0 . 故： 2 2 2 2 2 2T 2 1 0 x y x z y x y z z
33、 x z y , , . T300 , , ：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有 36! 项 .第 1 个参数的指数是 3 ，第 2 个和第 3 个参数的指数是 0 . 故： 3 3 3T 3 0 0 2 x y z , , ( ) . , , Tabc ：表示共有 3 个参数的所有积之和，共有 36! 项 .第 1 个参数的指数是 a ，第 2 个参数的指数是 b ，第 3 个参数的指数是c . 故： , , a b c a c b b c a b a c c a b c b aT a b c x y z x y z x y z x y z x y z x y z . 由于 , , ,
34、, , , , , , , . . .T a b c T b c a T c a b T c b a T b a c表达式 比较多， 所以我们规定： , , Tabc （ a b c） . Ch15.舒尔不等式 15.1若 R ，且 0 ，则： , , , , , , T 2 0 0 T 2 T 0 ()41 ()41 式称为 舒尔不等式 . 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 13 页 共 49 页 15.2 解析 ()41 式 , , ( )2 2 2T 2 0 0 2 x y z ； , , ( )T 2 x y z x y z x y z ； , , T
35、 0 x y x y y z y z x z x z 将上式代入 ()41 式得： 2 2 2x y z x y z x y z x y z x y x y y z y z x z x z 即： 2 22y x y zz x yx zx y z yx y y zx y x z 0z x z 即： ()()2 2x x y z x y x z y y x z x y y z 2z z x y y z x z 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y x z y y z y x z z x z y 0 ()42 ()42 式与 ()41 式等价，称为 舒尔不等式 . 15.3若
36、实数 ,x y z 0 ，设 tR ，则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t tx x y x z y y z y x z z x z y 0 ()43 iff x y z或 ,x y z 0及轮换，等号成立 . 按照 ()41 式写法，即： t ， 1 ，则： , , , , , , T t 2 0 0 T t 1 1 2 T t 1 1 0 ()44 ()43 式是我们最常见的 舒尔不等式 形式 . 15.4推论：设实数 ,x y z 0 ，实 数 ,abc 0 且 a b c或 a b c，则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a x y x z b y
37、 z y x c z x z y 0 ()45 ()43 式中， txa ， tyb ， tzc ，就得到 ()45 式 . 15.5推论：设实数 ,x y z 0 ，则： ( ) ( ) ( ) 3 3 33 3 3 2 2 23 x y z x y z 2 x y y z z x ()46 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 14 页 共 49 页 15.6推论：若 ( , k 03 ，则对于一切 ,a bc R ，有： ( ) ( ) ( )2 2 2 2k3 k k a b c a b c 2 a b b c c a ()47 Ch16. 定义序列 16
38、.1 设存在两个序列 ( ) ( , , ., )ni i 1 1 2 n 和 ( ) ( , , ., )ni i 1 1 2 n ，当满足下列条件： . . . . . .1 2 n 1 2 n .1 2 n 且 .1 2 n . . . . . .1 2 s 1 2 s 对一切 , s 1n ， 式都成立 . 则： ()ni i 1 就是 ()ni i 1 的优化值，记作： ( ) ( )ii . 注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较 . Ch17.缪尔海德不等式 17.1 若 , ,.,1 2 nx x x 为非负实数序列，设 ()i 和 ()i 为 正实数序列，且( ) (
39、)ii ，则： iiTT ()48 iff ( ) ( )ii 或 .1 2 nx x x 时，等号成立 . ()48 式就 缪尔海德不等式 . 17.2解析 ()48 式 若 实数 1 2 3a a a 0 ，实数 1 2 3b b b 0 ， 且满 足 11ab ，1 2 1 2a a b b ， 1 2 3 1 2 3a a a b b b ；设 ,x y z 0 ，则：满足序列( , , ) ( , , )1 2 3 1 2 3b b b a a a 条件， 则： , , 3 3 3 3 3 31 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1b b b b b bb b b b b b
40、b b b b b b1 2 3T b b b x y z x y z x y z x y z x y z x y z , , 3 3 3 3 3 31 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1a a a a a aa a a a a a a a a a a a1 2 3T a a a x y z x y z x y z x y z x y z x y z 不等式高级水平必备 -tobeenough-wanhuihua 第 15 页 共 49 页 即 ()48 式为： , , , , 1 2 3 1 2 3T b b b T a a a 用通俗的方法表达即：331 2 1 2aba a b
41、bsym symx y z x y z()49 ()49 式就 缪尔海德不等式 的常用形式 . 17.3例题：设 ( , , )xyz 为非负变量序列，考虑 ( , , )221 和 ( , , )311 . 由 16.1 中的序列优化得： ( , , ) ( , , )2 2 1 3 1 1 由 缪尔海德不等式 ()48 式得： , , , , T 2 2 1 T 3 1 1 , , ( )2 2 2 2 2 2T 2 2 1 2 x y z x y z x y z , , ( )3 3 3T 3 1 1 2 x y z x y z x y z 将 代入 得： 2 2 2 2 2 2 3 3
42、 3x y z x y z x y z x y z x y z x y z 即： 2 2 2xy yz zx x y z 由柯西不等式： ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2x y z y z x x y y z z x 即： ( ) ( )2 2 2 2 2x y z x y y z zx 即： 2 2 2x y z xy yz zx 式 式等价，这就证明了 式是成立的，而 缪尔海德不等式 直接得到 式是成立的 . 式可以用 , , , , T 2 0 0 T 1 1 0 来表示，这正是 缪尔海德不等式 的 ()48 式 . Ch18.卡拉玛塔不等式 18.1 设在实数区间 IR 的函数 f 为向下凸函数，且当 ,iia b I （ , ,.,i 1 2 n ）两个序列 ()ni i 1a 和 ()ni i 1b 满足 ( ) ( )iiab ，则： ( ) ( ) . . . ( ) ( ) ( ) . . . ( )1 2 n
