1、1第 4 章 随机向量的数字特征课前预习导引一、大纲解读1教学大纲解读（1）教学内容数学期望的概念及性质，随机变量函数的数学期望及应用，方差的定义及性质，常用分布的数学期望及方差的求法，切比雪夫不等式。协方差的定义及性质，相关系数的定义及性质。Lindeberg-levy 定理和 De Moivre-Laplace 定理。（2）教学要求 会求随机变量的数学期望和方差，熟悉均值和方差的性质。记住六种常用分布的期望和方差。记住切比雪夫不等式。 求随机变量函数的期望（或求随机向量函数的期望） ，不必求随机变量函数的分布，可用定理给出的结果直接求。理解协方差、相关系数的概念，会求协方差和相关系数。掌握
2、协方差和相关系数的性质。 清楚独立必不相关而不相关未必独立。知道二维正态分布中五个参数的概率意义。 掌握 Lindeberg-levy 定理和 De Moivre-Laplace 定理，并用以解决实际问题。2. 考研大纲解读（2010 版）（1）考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，切比雪夫（Chebyshew）不等式，矩、协方差、相关系数及其性质。切比雪夫大数定律，伯努利（Bernoulli）大数定律，辛钦（Khinchine）大数定律，棣莫弗拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列维林德伯格（Levy-Lindberg）定理2（2）
3、考试要求理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。会求随机变量函数的数学期望。了解切比雪夫不等式。了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）。了解棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。二、问题搜索第 4.1 节 随机变量的数字特征1.数学期望与中位数的区别与联系2.在哪种情况下才会用到切比雪夫不等式？读者的问题：第 4.2 节 随机向量的
4、数字特征1.标准化随机变量的共同点是什么？2.考察两个随机变量是否不相关共有几种方式？读者的问题：第 4.3 节 大数定律与中心极限定理1.依概率收敛与微积分中的收敛差别是什么？2.大数定律与中心极限定理的应用背景分别是什么？读者的问题：整理、归纳和提升3一、知识整理本章（数字特征）学习的知识类型 离散型 连续型数学期望的定义设离散型随机变量 的概率分布为：XkpxP)(),21(如果级数 绝对收敛，则称 为 的数学1k kxX期望，简称期望或均值，记作 或 ，即 =)(E)(.1kpx设连续型随机变量 的概率密度为X，如果广义积分 绝对收)(xfdxf)(敛，则称 为 的数学期望，简f)(称
5、期望或均值，记作 ，即 =E)(dxf数学期望的性质数学期望的性质：如果 是一个常数，则 ； CC)(如果 是随机变量， 是常数，则 ；Xba, bXaE)(如果 是二维随机向量，则),(Y)YX（推广： .).2121 nnEE如果 是二维随机向量，且 和 相互独立，则 ., )()(Y（推广：当 相互独立时，类似有 ）.n,21 )(2121 nnXE方差定义设 是随机变量，期望 存在，如果 存在，则 称为 的方差，记作X)(EX，即 = .而 称为 的标准差。)(D)(2XDX常用简易公式 .E方差计算如果 是离散型随机变量其概率分布为： kpxP)(那么),21(k12(kk如果 是连
6、续型随机变量，其概率密度为，那么)(xfdxfXExD)()(2进入本章学习应具备的知识1随机变量的分布；2二重积分及 级数求和4方差的性质如果 是一个常数，则 ；C0)(CD如果 是一个常数，则 ；)(X如果 是一个常数，则 ； a2a设 和 相互独立，则XY(YDY推论：如果 相互独立， 是任意常数，那么n,21 ic),1(n.(121iiiini Xc函数 当 时，取最小值 。2)()xXExgED常见分布的形式及数字特征常用离散型分布表现形式 数学期望方差 常用连续型分布表现形式 数学期望方差两点分布p1, )1(p指数分布(0)xe12二项分布knknC)()(均匀分布ab2b1)
7、(a泊松分布ek!(k=0,1)正态分布2)(1xe2设 是随机变量， ，并且 存在，则X)(XgY)(YE随机变量函数的数学期望若 为离散型随机变量，其概率分布为X， kpxP)(,21则 Y的数学期望为.1)(kkgE若 为连续型随机变量，其概率密度为，则 的数学期望为xf.dxfgX)()(切比雪夫不切比雪夫不等式:设随机变量存在数学期望 和方差 ，试证明：对任意的 ，有:)(XE)(D02)(|)(| XDXP5等式二、技能归纳1. 三、能力提升1停下来想一想栏目解惑第 4.1 节 随机变量的数字特征停下来想一想：这里提示 ， ，若有公式niiX1),1(pBi，则 .这一方法我们以后
8、会学到的 .iiniiE1)()( n解惑：利用数字特征的性质可以通过两点分布与二项分布的关系从两点分布得到二项分布的数字特征。6停下来想一想：总结五种常用重要分布的均值公式： .)(,(),(,),212XENXbaUPnpnBba解惑：一般常用分布的数字特征当作已知结论，可直接使用结果而无需证明。停下来想一想：对随机变量函数的均值，对连续 型直接用公式（一步法）， 对 离散型，先求函数的分布，再按定义求均 值（两步法）可能简单！解惑：一般情况下都尽量利用原来随机变量的分布求随机变量函数的均值，尤其是连续型的情况有时甚至会出现随机变量的函数分布非常难求的情况，极个别情况下才在离散型随机变量函
9、数的分布先求出再计算随机变量函数的期望。停下来想一想：公式 以后经常要使用到！222)()(XEXE解惑：当进行复杂运算时右边的运算量通常会比左边的运算量小。停下来想一想：总结五种常用重要分布的均值公式：7.)(,(,),(),1(),221)(2XDNXEbaUPpnXpnBab解惑：一般常用分布的数字特征当作已知结论，可直接使用结果而无需证明。习题 4.1（A）1一箱产品 20 件，其中 5 件优质品，每次抽取 1 件，共抽取 2 次，求取到的优质品件数 的数学期望和方差（分两种情况讨论： 有放回地抽取；X不放回地抽取） 解：（1） 的概率分布为012P1696所以 2110)( XE（2
10、） 的概率分布为P38213858382所以 2138153820)( XE2. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解：（2）设 分别为乙箱中有 i 件次品，C 为在乙箱中任抽一件为次(1,23)iB品，则由（1）得 12391(),()02PBP由全概率公式得 1113 321666()(|).04iii CCC 3.设 的概率分布为：X4 6 3xP0.5 0.3 a且 ，求 和 的值8)(E3xa解：显然
11、 2.0,1.05又 2186.433xx4. 设随机变量 的概率分布为 ，求X),30(,)(!kXPC.)(2XE9解：由 得：00()().1!kkCPCXe/e221101121.!()()!()kkkkkkEXee5. 设随机变量X 服从参数为1 的泊松分布，求 .)(2XEP解：由X 服从参数为1 的泊松分布，故 1XD所以 22()12ED所以 1()/!PPe6. 设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格产品中只有 的产品43可进行再加工，且再加工的合格率为0.8，其余均为废品. 已知每件合格品可获利80 元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2 万元，问
12、该企业每天至少应生产多少产品？解：设至少生产X 件，则企业利润为(0.963/4.80)3/40.2.041/(20)2L解得 5.1即该企业每天至少应生产226件。7. 在 ,3,9 这 个自然数中，任取 3个数 （1）求这 3个数中恰有 1个是偶数的概率；（2）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取X出的数为 ,，则有两组相邻的数 1,2和 ，此时 的值是 2） 求随机X10变量 的分布列及其数学期望 X)(XE解：(1)恰有一个偶数的概率为1245390C（2） 的所有可能取值为 0，1，21739()P26.5CX5(0)1()(2)1PX故 23E8. 某学生在上学路上要经过 4
13、 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及数学期望.X解： 的分布列为X4412()()(0,1234)3kkPC8minE9. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q 2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示X该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
14、X0 2 3 4 5P0.03 P1 P2 P3 P411（1）求 q 2的值； （2）求随机变量 的数学期望 ;X)(XE（3）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小解：（1）设 表第 次投篮命中，显然 相互独立(1,23)iAiiA由于 0).PX故 2123123()(10.5)(0.3PAq解得 0.8q（2） ().3X4410.25(1)0.25)(10.2P(3)24(10.5).804X()2P故 2.315043.6E（3）上述投篮方式得分超过 3 分的概率为0.58.0.84都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 2
15、22121212314()()()()()0.89655PPB10. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，12各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列XX及数学期望解：（1）设 分别表示第 局甲乙胜，则在前两局中甲乙各胜 1 局,iABi的已知情况下，谁先获胜两局即胜出。则甲获得这次比赛胜利的概率为 34534534345345()()()()PPABPA220.6.0.68（
16、2） 所有可能的取值为 2，3X2344()()().0.5AB5353434522()()0.6.6.8PPABPA或 (3)1()0.X则 2.5.482E11. 某地有 A，B，C，D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感，其中只有 A 到过疫区.B 肯定是受 A 感染的.对于 C，因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 12.同样也假定 D 受 A，B 和 C 感染的概率都是 13.在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A 感染的人数 就是一个随X机变量.写出 的分布列,并求 的数学期望.XX解： 所有可能的取值为 1，2，3(1)P2()
17、32131(3)26PX1E12. 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 12.若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ，则不予资助，令 表X示该公司的资助总额 (1) 写出 的分布列； (2) 求 数学期望X解：（1）设 表示两位专家给三位大学生的支持数，则Y(6,0.5)YB=5 （万元）X的分布列为 61(5)()0,234,)kPC（2） （万元）162E13. 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标
18、有数2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 ；再从另一X盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 ，记随机变量 ，求 的YYZZ分布列和数学期望 解： 所有可能的取值为 5，6，7， ，9，10，11 且Z1(5)(2,3)4PX16,(,3)8YPXY3(7)(2,5),(4,)16ZPXY14(8)(2,6)(3,5)(4,)154PZXYPXYPXY 3(9)(3,)(,)(,)16110,65,8PZXYPXY1()(5,)33156789014686E14. 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用
19、表示，.椐统计，随机X变量 的概率分布如下：X0 1 2 3P0.1 0.3 2a(1)求 的值和 的数学期望；a（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率解：15. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 12， 3， 6，现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设 记 为X3 人中选择的项目属于基础设施工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望15解：16. 为振兴旅游业，某省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠
20、卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中 34是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 13持金卡，在省内游客中有 2持银卡在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望X解：17. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 23和 1，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4 株大树中，成活的株数 的分布列与期望X解：18.据统计，一位 60 岁的健康（一般体检未发生病症）者，在 5 年之内仍然活着和
21、自杀死亡的概率为 ( ， 为已知)，在 5 年之内非自杀p10p死亡的概率为 . 保险公司开办 5 年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿1保险 元（ 已知） ，若 5 年内死亡，公司赔偿 元（ ） ，应如何确定aba才能使公司可期望获益若有 人参加保险，公司可期望从中收益多少？bm解：令 “从一个参保人身上所得的收益” ，则X的概率分布为：abPp10)1()()( pbapE即 对于 个人，有m)()()(mXE1619.设连续型随机变量 的概率密度X,01)(其 他xkxf其中 . 又已知 ，求 的值0,k75.E解： .)(,1)(dxfdxf75.0,kk即.21100xx即75.02k
22、,3k20.设连续型随机变量 的概率密度X.,0,212,)(其 他xxf试求 和 .)(XED解： 2110)()()( dxxdxf171331220xx1321022 )()()( dxdfXE67434211x67)()()2XED21.设连续型随机变量 与 独立，其概率密度分别为Y,0)(xexfX， ，21yYyfy其中 . 记 ，试求 和 .032Z)(ZED解： 2111)()() YXXE24294)()3()DYDZ22. 设随机变量 服从参数为 的指数分布，随机变量 的概率1X12X密度函数 .0,)(2xcexf试求：（1） 和 ；)(1XE1D（2）通过 和 计算 和
23、 的值)(c)(2XE18解：（1） 4)(,2)(11XDE（2） ，即)(dxf12dxce又 )(1102XEex)(1c4c4)(21)()(21112002XEDXEdxedxe23. 设 ， 服从参数为 3 的 Poisson 分布，且 与 独立，,NYXY求 .)(XYD解： )()()()( 222 EYXEE又 dxyfyxY,(22)()()( 222 YEXdyfdxfYX)()()( 22ED1927132)()()( 222XEYDXYDE24.已知 ，且 ， ，试求 的全部可能),(pnB3)(2)(X取值，并计算 .8XP解： )1()()( pnDnpE即2)1
24、(339的取值为：X,0 9)31()(1)8(P25.对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间 ,ba上，试求球的体积的数学期望解： 3361)2(4DV)(241233 badxabEa 26.设连续型随机变量 的概率密度X20,01)(2其 他xcbaxf且 ， ，求系数 .5.0)(XE15.D,解：因为 2102102 15.0)(.)(dxcbaxdxcbax3解：27.设 与 相互独立，其概率密度分别为XY其 他 ，,0,12)(xxf .,05)()5(其 他 ，yeyfY求 .E解： 415322)()( 5)()(1035)(10dyeyexxYXy28.设连续型随机变量
25、在区间 上服从均匀分布，随机变量X2,1.0,Y，求方差 .)(YD解：因为21其 它,0213)(xxf于是, ， ，3)0()(XPY 31)0()1(XPYP1)(321)(E10322Y98)()2YED29.已知 ， ，且 相互独立，令 ，)1,0(NXi 3,2iiX31iiX，求 .312(iiYYE解：， ，312)()(iiXE0)(31)(XD3122)()(iiiY2)(3)( )()(3 231312XDXEEi iiiiii30.一辆飞机场的交通车，送 25 名乘客到 9 个站，假设每个乘客都等22可能地在任一车站下车，并且他们下车与否相互独立又知交通车只在有人下车时
26、才停车求该交通车停车次数的数学期望解：令 “交通车停车次数”X记 9,21,01iii 否 则个 车 站 有 旅 客 下 车在 第则 921依题意，任一旅客在第 个车站不下车的概率为 ，又旅客下车与否是彼此独i 98立的，因此 25 名旅客在第 个车站都不下车的概率为 ，25)(即 25981)()98(0( ii XPXP,1Ei所以 )()92.8(125习题 4.1（B）1. 设随机变量 服从参数为 的指数分布，则 =_.XDXP解：因 服从参数为 的指数分布，故 21X11/xPDPed2掷一颗骰子 1620 次，则“六点”出现的次数 的期望和方差为多少？23解：因每次出现六点的可能性
27、为 1/6，若令10iiX第 次 出 现 六 点第 次 未 出 现 六 点则 ，162ii(1620,/)B故 1507, 26EDX3. 设随机变量 的分布函数为 ，其中217.0)(3.)(xxF为标准正态分布函数，求)(x.E解： 12()0.3()7.xfFx所以 12.0.7.0.3.7(201)xEXfddd4.设某产品每周需求量为 ， 的可能取值为 1，2，3，4，5（等可能Q取各值） ，生产每件产品成本是 元，每件产品售价 元，没有售出31c9c的产品以每件 元的费用存入仓库问生产者每周生产多少件产品可使3c所期望的利润最大？解：设每周的产量为 ，显然 ，每周利润N5213()
28、,(,)6,104.cNLQQ5511(,)(,)(04)(,)i iELNPi PQiN因为 ,234Q分别计算可得：24当 时，1N(,)6ELQ当 时， 210当 时， ,3当 时， (4)当 时，1,5故当生产者每周生产 3 或 4 件产品可使所期望的利润最大。5.在每次实验中事件 发生的概率为 0.5，利用切比雪夫不等式估计，A在 1000 次独立重复实验中，事件 发生的次数在 之间的概率604解：设 10iiX第 次 试 验 中 事 件 发 生第 次 试 验 中 事 件 未 发 生则 ，令()(.5iPA10iiX则 10,.B,10.520EXD利用切比雪夫不等式得： 2(406
29、)(|).9751DXPPX6.电视台举办智力竞猜，有两种类型的题目：A 类为历史题，B 类为地理题竞猜者可以自己选择顺序，只有猜对了第一题后猜才有权猜第二题猜对 A 类题得 a 分，猜对 B 类题得 b 分现假定某人猜对 A 类题和 B类题的概率分别为 p 和 q，且此事件是独立的试问他应当先猜哪类题，可使他的期望得分最高？解：若先猜 ，则得分的分布为0ab0Pp1q(1)p故对应的数学期望为 EAaq若先猜 ，则得分的分布为B0ab025P 1qp(1)qp故对应的数学期望为 ，两者第一项相同。()EBab故比较 两者大小关键看,A和所以若 ，则应先猜 类题，否则先猜 类题。(1)()ap
30、qbpAB7假设一设备开机后无故障工作的时间 服从指数分布，平均无故障X工作的时间（ ）为 5 小时设备定时开机，出现故障时自动关机而)(XE在无故障的情况下工作 2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 的分布函数Y).(yF解：因为 服从指数分布，且 ，故X()5EX15,由题意，当 时02y11255502()(,0)(,),)(,| |(2)y yxxFPYPYXXPedee当 时，()0Fy当 时，y18. 设随机变量 的概率密度X.,0,cos)(21其 他 xxfx对 独立地重复观测 4 次，用 表示观测值大于 的次数，求 的数学XY32Y26期望解： 311()cos(
31、)22xPXd故 从而(4,)YB14,42EYDY故 2215ED9某市出租车的起步价为6元，即行驶路程不超过3km时，租车费为6元若行驶路程超过3km时，则按每超过1km（不足1km也按1km计程）收费3元计算设出租车一天行驶的路程数 （按整千米数计算，不足1km的自动计X为1km）是一个随机变量，则其收费数 也是一个随机变量已知一个司机在Y某个月中每次出车都超过了3km，且一天的总路程（单位：km）可能的取值是200，220，240，260，280，300，它们出现的概率依次是, , , , , ,12.080.2a3124求：(1)这个月中一天行驶路程 的分布列、期望和方差；X(2)
32、这个月中一天所收租车费 的期望和方差Y解：由概率的正则性知+ + + + + =112.080.2a3124解得 3a（1）故这个月中一天行驶路程 的分布列为X取值是200，220，240，260，280，300，它们出现的概率依次是, , , ,0.18，0.122.080.21.840.260315EX222222()0800964D（2）由于假定每次出车都超过了3km,故 (3)YX27从而 6(3)74EYX28D10某城市有甲、乙、丙三个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为 ， ， ，且客人是否游览哪个景点互不影响设 为客人4.05. X离开该城市时游览的景点数与没有游览的景
33、点数之差的绝对值（1）求 的分布列及数学期望；X（2）记“函数 在区间 上单调增加”为事件13)(2Xxxf ),2，求事件 的概率A解：设 为客人离开该城市时游览的景点数，则 的所有可能取值为YY0，1，2，3。设 分别为客人游览三个景点的随机事件，则(1,23)i 123123()()()0.45.06.540.65.38PAPA12123123()()()().8Y 30.PA12(0)().|XY故 的所有可能取值为1，3且 ()(1)(2)0.76PPY410.763.48EX（2）为使“函数 在区间 上单调增加” ，需13)(2Xxxf ),228YX()230fxX即 ,当 时根
34、据 的取值范围，该事件等价于 1X故 ()1)0.76PA习题 4.2（A）1.设 的联合概率分布),(-1 0 1-1 8180 01求：(1) 的期望与方差； (2) 与 ；),(YX),(YXCovX（3）问 与 是否相关，是否独立？解：（1） 的边缘分布为-1 0 1P3/8 2/8 3/8故 2230,()4EXDEX与 具有完全相同的分布，从而有Y 30,4YD故 的期望与方差分别为（0，0） ，),( ()（2） 1,() 08CovXEXY29（3）因为 ，故 与 不相关。0XYY又因为 139(,)()(1)8864PPXY故 与 不独立。2.设 的联合密度),(Y.00,1
35、),(其 他， ， xyxCyxf求：(1) 常数 ； (2) 的期望与方差；),(YX(3) 与 ； (4) 判断 与 是否相关，是否独立？),(XCovXY解：（1） 1),(dxyf即110dxcyx即得12103dxc8c（2） 而fXEX)()( dyxffX),()()10(,4|8)( 3020 xydxfX5|4)(10103E30同理可得： ， ，158)(YE752)(XD251)(Y；,4,(X),（3） dxyfY),()(94613880310210xdxx25)()(),(YEXEYXCOV3)(,DY（4） ， 与 相关， 与 不独立。0,(XCVYXY3.设 ， ， ，求 和25)36)(4.0)(D.(YD解： ),(2YCOVYD8564.0365)()(XX同理： 7)(4.设 为常数， 与 的相关系数为 ，试求 ，dcba,YXYbaZ1的相关系数 .YZ2
