1、13-4 形函数由前章知，只要有了正确单元位移函数，就能保证有限单元法收敛于正确解答，剩下的工作可按标准步骤和普遍公式进行。单元位移为 eNf其中节点位移 是基本未知量，因此单元位移就决定于形函数N 。因此，在有限单元法e中，形函数的确定是一个关键问题。 为了加深对形函数的理解，并有助于六节点三角形单元形函数的确定，下面对形函数的意义和性质进行一下分析，并介绍一种形函数的简单求法。一、形函数的几何意义由(2-9)式知单元位移为 ijmuNuvv如令 ui=1,vi=uj=vj=um=vm=0，则得u=Ni,v=0。 这时，三角形单元的变形完全决定于 Ni，而 Ni 的变化情况如图 3-2(a)
2、所示。同样，如令 vi=1,ui=uj=vj=um=vm=0 则得ui=0, vi=Ni。这时 Ni的变化情况如图 3-2(b)所示。 由此可见，形函数的几何意义是反映了单元的变形情况即位移形态，这就是“形函数”这个名词的由来。二、形函数的性质 对三节点三角形单元来说，由上节可知节点 i: ， ， ，1iiLN0jjL0mLN即 ， ；iuiv节点 j: ， ， ，0ii 1jj m即 ， ；jjv节点 m: ， ， ，iiLN0jjL1mLN即 ， ；muv2而且 。1mjimji LN 综上所述，如用 r 表示三节点三角形单元节点 i,j,m，则可以发现形函数有两个重要性质：1. (3-8
3、6),(,01),( jisrsyxsr 2. (3-87)mjirN,),( 形函数的这两个性质，具有重要意义。 第一个性质反映了相邻单元在共用节点处位移的连续性，因为它能给出单元的所有节点位移。这也就是我们对形函数的一个基本要求。 第二个性质反映了单元的刚体位移，因为当单元节点位移相等时，单元位移等于节点位移，是一个常量。如设三节点三角形单元的水平节点位移均相等，即 rmji uu则有 。rmjiji NNu )(这时，只有当 时，才有 。1mjiNr 这些也是载荷移置的要求。 由于以上二个性质均有其内在意义，所以，虽然它们是从三节点三角单元导出的，但具有普遍意义。另外，由形函数的导出过程
4、还可以看出：3. 形函数和位移函数是坐标的同次函数。三、求单元形函数的节点连线方法对于一种单元，要求其形函数，一般是根据该种单元的自由度数按2-2 介绍的方法和原则设定位移模式，再利用节点位移推导出形函数。但是随着单元节点数的增加，这一工作变得愈来愈繁琐、困难。 实际上，形函数和位移模式一样，也是一种人为给定的坐标的函数式，用来近似表达单元内的位移。当然它们要满足一定的要求，以保证算法的收敛性。如此，我们可以由形函数的性质直接求出单元形函数。可以设想，如果有一个函数满足（1） 第一个性质；（2） 第三条性质：和位移模式同次；（3） 含有 0 次和 1 次项；（4） 第二条性质。就可能满足收敛准
5、则。3方法如下：1. 求出含有除所求点之外所有节点连线的直线方程，共有若干个，即0),(yxfi ),21(i2. 将连线方程连乘，得到 12(,)FfA并检查 F(x,y)是否和位移模式同次。当 F(x,y)和位移函数不同次时，去掉多余的 fi，但要保证所留之连线方程包含除所求点外的所有节点，并使各坐标对等。这样，除所求点外，其他各点坐标均使 F(x,y)=0，且F(x,y)不偏惠于任一坐标。3. 取 。),(/),rr yxFN 不难证明，利用上述方法求得的各形函数定能满上面给出的三条性质，也会满单元的收敛准则。 例如，对于三节点三角形单元，求 Ni。采用整体坐标，有1. 为 jm 边的直线方程，只此一条；01mjxyxyf2. ,一次式；)(),(1fF3. 。)/(),( mjimjii xyxyxyxN经整理后，得(i,j,m)(21ycbaiiii结果同2-2 完全相同。 如果采用面积坐标，会使上述过程更简单：1. jm 边线方程为 ；0iiLf2. ;imjiLF1),(3. 。),(/FNjii (i,j,m) 2ycxbaiiiii 结果同前。
