1、1第 24课 三角形的基本知识和比例变换考点透视已知三角形两边求第三边的取值范围及其简单的实际应用.利用三角形的内角和定理及推论.求角的度数或证角相等.利用三角形三等边的不等关系和外角与内角的关系证明线段和角的不等关系.求多个角的度数；利用比例性质，求代数式的 值.或证明三角形中的线段比例问题.课前回顾1.三角形的三条边之间的不等关系定理：三角形两边的和大于第三边;推论：三角形两边的差小于第三边.2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180.推论 1：直角三角形的两个锐角互余.推论 2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论 3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
2、.3.比例变换：（1）比例的基本性质：如果 ，dcba:那么 .bcad（2）合比性质：如果 ，那么.db（3）等比性质：如果，)0(nmca那么 .badb课堂选例例 1 如图所示， 中， 的度数一ABC定， （1）试证另两个角的外角平分线的夹角为定值；（2）当 等于90，求 的度数.D分析 题(1)就是要证D 的度数为定值.根据已知条件，运用三角形内角和定理及推论 2，用含有 的代数式表C示D.即可证明 D 的度数一定.A DC B F 证明：（1） , 为 的EABC两个外角, A（三角形内角和定理推论 2）,BD 分别平分 ,DEABF)(12CAB)(21BACD（三角形80BA内角
3、和定理） 921又 80DC21)90(18的度数一定C一定2解: （2）当 时，90451D例 2 已知ABC 的三条边长的长分别是5，12， .周长是偶数，求整23x数 x 和ABC 的周长.分析 要求整数 x，其关键是求 的取12x2值范围，还要利用三角形三条 边之间的不等式关系定理： ，bac即 .解连不等式5123512x可得 x 的取值范围，再求整数 x.问题即可解决.解：在 中，由三角形三条边的不ABC等关系定理得： 5123512x解得： 是整数，35x或 4,2又 为偶数.191x 只能为奇数.即 .3的周长为 28.ABC例 3 已知： 中，AN 是 的外角A平分线，P 为
4、 AN 上任意一点，求证： PC分析 要证线段的不等关系.自然联想到运用三角形的三条边之间的不等关系定理，但所给线段不在同一三角形中，则要添设辅助线构造三角形将不等关系转化. EA P NB C证明：延长 BA 到 E，使 AE=AC 并连结PE，平分AN在EAP 和CAP 中，AP 公共CAE,P在BPE 中， （三角B形两边的和大于第三边）而 AEBPCPCBA例 4 如图，D 是 的 的外角平分线与 BA 的延长线的交点，求证：DCAB C E分析 在ADC 中，BAC 为外角， DCA为内角，可以得到BAC DCA.在BCD 中， DCE 为外角, 为内B角，有 ，如有DEDCA=DC
5、E,即可得证;事实上，CD 平分 .AC证明： 平分 ,在ACD 中，BAC 为外角，DCA 为内角.（三角形内角和定DCAB理推论 3）又在 中， 为外角.E为内角. EBAC课堂小结1.三角形的三条边之间的不等关系定理与内角和定理是解决三角形边角问题基础.2.证明线段和角的不等关系时，如果线段与线段之间，角与角之间 没有联系，也就不能直接证明.应该设辅助线构造适当的三角形把分散的角和边集中到一个三角形中，从而将不等关系转化 .3.例 3 运用了转化的数学思想，并且运用了构造三角形的方法.3课后测评一.选择题1.已知三角形三条边的长分别是 2，3 和 ，则 的取值范围是( )aA B C D
6、32a502a51a2.已知 的三个内角 满足关系式 ，则此三角形( )BCCA, AB3A一定有一个内角为 45 B一定有一个内角为 60C一定是直角三角形 D一定是钝角三角形3.若 ，则 k 的值为( ) cbadcdabcb A B 或 C D A F11331411B E二.填空题4.如图，已知 = . FEA,6015.在 中， ，并且 AC 为奇数，那么 的周长是 . ABC29BAC三.解答题6.已知 ,b,c 为 的三边.且 ， ，判a 1:72)()()(bcac 24cba断 的形状.7.等腰三角形的周长为 20,一腰上的中线分等腰三角形为两三角形的周长差是 2，求它的腰长.CD48.已知：D 是 中 AC 边上一点，E 是 BC 边延长线上一点，求证：ABC.AADB C E 9.如图，已知在 中， AD 是 的平分线，点 P 为 AD 上任意一点.求ABC,A证： . APABPB D C
