1、1相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式【知识疏理】一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！若两个相似三角形的对应角的平分线之比是 12，则这两个三角形的对应高线之比是 -，对应中线之比是 -，周长之比是 -，面积之比是 -，若两个相似三角形的面积之比是 12，则这两个三角形的对应的角平分线之比是 -，对应边上的高线之比是 - 对应边上的中线之比是 -， 周长之比是 -。二， 相似三角形证明的变式1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：例 1、 已知：如图 1，BE、DC 交于点 A，E=C。求证：DAAC=BAAE图 2题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：本题找对应角的
2、特殊方法是对顶角相等；要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。2，对特殊图形的认识例 2、已知：如图 3，RtABC 中，ABC=90，BDAC 于点 D。图 3（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？（2） 用语言叙述第（1）题的结论。（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。总结：（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；AB CAB C4图 1AB CEDDBAC2双垂直图形中的BD =ADCD，AB =ADAC，BC =CDCA，BCAB=ACBD 等结论很重要，它们222在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角
3、形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化 为“公边共角” ，讨论、探究， AB CD得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若ABDACB，则 AB =ADAC。2【课堂检测】一选择题1、一个三角形的三边长为 5，5，6，与它相似的三角形最长边为 10，则后一个三角形的面积为（ ）A、 B、20 C、 D、3054251082、如图，梯形 ABCD 中，ABCD，如果 SODC ：S BDC =1：3，那么 SODC ：S ABC的值是（ ）A、 B、 C、 D、5161719D C O A B （第 2 题图） （第 4 题
4、图）3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是 1：4，则两底的比是（ ）A、1：2 B、1：4 C、1：8 D、1：164、已知，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90 0，对角线 ACBD，垂足为 P，已知AD：BC=3：4，则 BD：AC 的值是 （ ）、 ： 、： 、 ： 、：335、如图，已知：BAO=CAE=DCB，则下列关系式中正确的是（ ）A、 B、 C、 D、ECDADAEBABC3A CEBOD C E A D B（第 5 题图） （第 6 题图）6、如图，直角三角形 ABC 中，ACB=90 0，CDAB 于 D，DEAC 于 E，则下列说法中正确
5、的有（ ） 图中有 4 个三角形与ACB 相似； ;2CAA=BCD=CDE； ； 若 AC=4，BC=3，则BCEACD= ； 。316DEA、6 个 B、5 个 C、4 个 D、3 个7两个三角形周长之比为 95，则面积比为（ ）A、95 B、8125 C、3 D、不能确定58RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，那么和 ABC 相似但不全等的三角形共有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个9在 RtABC 中，C=90，CDAB 于 D，下列等式中错误的是（ ）A、AD BD=CD 2 B、ACBD=CBAD C、AC 2=ADAB D、AB 2
6、=AC2+BC210在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 中点，EF 交 AC 于 G，交 AD 于 F， = 则AFFD13的比值是（ ）CGGAA、2 B、3 C、4 D、511在 RtABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则 ABD 与 ACD 的面积的比值是（ ） A、2 B、3 C、4 D、812在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，则 BDAD 等于（ ）A、ab B、a 2b 2 C、 D、不能确定a b4二，填空题1、如图,在ABC 中,DE BC, AD：AC=2 ：1，则ADE ，C= ABC 的面积： ADE 的面积= .C A AE D 1E
7、D G EA D B B C B F C(第 1 题图 ) (第 2 题图) (第 3 题图)2、已知:如图,直线 DE 交ABC 的两边 AB、AC 于点 D、E,且1=B 则.)()()3、如图,DE BC,则 ,若 AD=3,BD=2,AFBC,交 DE 于 G,则AG:AF= ： , AGEAFC, 且它们的相似比为 .4、如图,平行四边形 ABCD 中,P 是 CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形 APB 的面积:平行四边形 ABCD 的面积 = ,SBCP ：S APD ：S APB = ： ： 5、已知：如图,梯形 ABCD 的上底 CD=10cm,下底 AB=28cm,
8、高为 12cm,点 M 为腰 AD、BC 的交点,则点 M 到上底 CD 的距离为 cm,点 M 到下底 AB 的距离为 cm. D P C M D CA B A B（第 4 题图） （第 5 题图） 6、如图，在直角梯形 ABCD 中，BC AB，BDAD，CDAB ，且BD=3，CD=2，则下底 AB 的长是 .7、如图，在ABC 中， DEBC,且ADE 的周长与ABC 的周长之比为是3:7，若 DE=15cm,则 BC= cm, AD:BD= .A A D E （D B C C B(第 7 题图) (第 8 题图)D CA B(第 6 题图)58、如图，在ABC 中， AB=12，AC
9、=15，D 为 AB 上一点，且 AD= ，在AB32AC 上取一点 E，使以 A、D、E 为顶点的三角形和ABC 相似，则 AE 等于.9、若ABCA 1B1C1，AB=3，A 1B1=4.5，且 S +S =78，则 SABC1= 1BA.10、如图，CD 是直角三角形 ABC 斜边上的高， （1）若 AD=9cm,则 BD= ；（2）已知 AB=25cm，BC=15cm，则 BD= .CA D B【强化练习】1、已知：如图，ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC，AC 且BD=CE,AD、 BE 相交于点 M(1)AME BAE; (2)BD2=AD DM.AEMB D C2、已知：如图，AD 是ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线 EF 交 CB 的延长线于点 F, 求证： FCB2AE6F B D C3、已知：如图，四边形 ABCD 中，A=BCD=90 0,过 C 作对角线 BD 的垂线交 BD、AD 于点 E、F。求证： DA2DFAEB C4、如图，在 RtABC 中，ADB=90,CDAB 于 C，AC=20CM,BC=9CM,求 AB 及BD 的长5、如图，已知 ABC 中，AD 为 BC 边中线，E 为 AD 上一点，并且 CE=CD,EAC=B,求证：AECBDA,DC 2=ADAE C
