1、正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、 正弦定理推导在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1.1-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ，sinaAc，又 , sinbBci1cCA则 b ciisiaA从而在直角三角形 ABC 中， C a BinsiinabcABC思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1.1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=,则 ， C sin
2、iaBbAsiniab同理可得 ， b aiicC从而 A D Bsiisi(图 1.1-3)证明二：（等积法）在任意斜ABC 当中SABC =AbcBacCbsin21sisin21两边同除以 即得： = =iiCi证明三：（外接圆法）如图所示， (R 为外接圆的半径)RCDaA2sini同理 =2R， 2RBbici由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即siniabABsincC(1) 理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边
3、与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使， ， ；ikiksinckabcO BCA D(2） 等价于 ， ，siniabABsincCisinabABisincbCiaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；i已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。2、 余弦定理的推导如图 1.1-4，在 ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, C已知 a,b 和 C，求边 c。 b a A c B(图 1.1-4) 如图 11
4、-5，设 ， ， ，那么 c=a-b， BaAbBc=c c=(a-b) (a-b) A2|=a a + b b -2a b b c从而 C a B 22cosabC同理可证 (图 11-5)A22cosbaB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 22csocabC从余弦定理，又可得到以下推论： 22osAccabB22osC(三) 理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理
5、则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若 ABC 中，C= ，则 ，这时09cosC22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。3正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；RCcBbAa2sinisinBacSC sin1i2（2）正弦定理的变形： ；CbRai2,sin,si ；RcBAi,i,2in ss:Cab（3）余弦定理： bcaAc2os,22 4、正余弦定理的应用与三角形中的有关公式(1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性 ,任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个
6、角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径).注意：正弦定理的一些变式：2sinisinabcABC；ibci,sin,si2abABCR； ；已知三角形两边一对角，求解三角形2R2si,s,2iab时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形222co,bcaA状(4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如11sin()2aShbCrr中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形）ABCB22sinsinABC。特别提醒：（1
7、）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的,si()sin,cosAAB问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值） 。【知识点练习】1. 在任一ABC 中求证： .0)sin()sin()sin( BAcCbBa2. 在ABC 中，已知 ， ，B=45 求 A、C 及 c .3a2b3. 在ABC 中，BC=a, AC=b, a, b 是方程 的两个根，且 2cos(A+B)=1 023x求
8、 (1)角 C 的度数 (2)AB 的长度 (3)ABC 的面积 .2.总结解斜三角形的要求和常用方法.（1） 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.（2） 应用余弦定理解以下两类三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角( 或二角一边或三边) ，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例 1. 中， ，BC3 ，则 的周长为（ ）ABCABCA B
9、sin34 36sin4C D3i6i例 2(2005 年全国高考湖北卷) 中，已知 ，AC 边上的中线AC6cos,34BBD= ，求 sinA 的值5二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例 3 在 中，已知 ，那么 一定是（ ）ABCBAsincosi2ABA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断，统一化为边，再判断三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例 4 在 中，若 ， ， ，则 的面积 S_ 奎 屯王 新 敞新 疆ABC1205AB7CAB
10、分析：本题只需由余弦定理，求出边 AC，再运用面积公式 S ABAC sinA 即可解决21四、求值问题例 5 在 中， 所对的边长分别为 ，若 满足条件ABCC、 cba、 c、和 ，求 和 的值22abc31ABtan分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理5、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例 6 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B 两点，望对岸标记物 C，测得CAB=30 ，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇
11、险问题例 7.某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/ 小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15北的方向上；舰艇航行半小时后到达 B 点，测得 S 在东 30北的方向上。 在ABC 中，可知AB=300.5=15，ABS=150 ，ASB=15，由正弦定理得 BS=AB=15，过点S 作 SC直线 AB，垂足为 C，则 SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里，而灯塔周围 10 海里内有暗礁，故继续航行有
12、触礁的危险。（三.）最值问题例 8如图，半圆 的直径为 ， 为直径延长线上的一点， ， 为半圆上任意一点，以O2A2OAB为一边作等边三角形 .问：点 在什么位置时，四边形 面积最大？ABBC分析：四边形的面积由点 的位置唯一确定，而点 由 唯一确定，因此可B设 ，再用 的三角函数来表示四边形 的面积.A本章节知识点易错题分析例题 1 在不等边ABC 中，a 为最大边，如果 ，求 A 的取值范围。abc22错解： 。则bcc2220， ，由于 cosA 在（0，180）上为减函数cosA图 1A BCD西北南东A B C3015图 2且 cos9090， A又A 为ABC 的内角，0A90。辨
13、析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是 为最大边，而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边，a造成解题错误。例题 2 在ABC 中，若 ，试判断ABC 的形状。abB2tn错解：由正弦定理，得sinta2A即sinicosisisin2 0ABBB， ，。 ， 即iniiA22A 2B ，即 AB。故ABC 是等腰三角形。辨析：由 ，得 2A2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，sii2三角变换生疏。例题 3 在ABC 中，A60，b1， ，求 的值。SABC 3abcABCsinisn错解：A60，b1 ， ，又 ，ABC 12bci ，解得 c4 。32csin6
14、0由余弦定理，得 abA21680oscos13又由正弦定理，得 。sininCB39329， 。abcABsiis142396辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。例题 4 在ABC 中， ，C30，求 ab 的最大值。c6错解：C30，AB150，B150 A。由正弦定理，得absini()sin1506230， aA26()sinb150()又 sinsi， 。a2626462()()()故 的最大值为 。b4辨析：错因是未弄清 A 与 150A 之间的关系。这里 A 与 150A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与 sin(150A)不能同时取
15、最大值 1，因此所得的结果也是错误的。例题 5 在ABC 中，已知 a2，b ，C15，求 A。错解：由余弦定理，得 c5cos6482843 。c6又由正弦定理，得siniAaCc12而 。00001835， 或辨析：由题意 ， 。因此 A150 是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。baB在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。例题 6 在ABC 中， ，判断ABC 的形状。cosb错解：在ABC 中， ，由正弦定理得 22RARBsinin 2180A， 且AB 且 AB90故ABC 为等腰直角三角形。辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连
16、结词“或” 、 “且”的意义，导致结论错误。例题 7 若 a，b， c 是三角形的三边长，证明长为 的三条线段能构成锐角三角形。abc， ，错解：不妨设 ，只要考虑最大边的对角 为锐角即可。0。cos()()ccab222由于 a，b，c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有 ，即 。cos0长为 的三条线段能构成锐角三角形。abc， ，辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：三条边满足三角形边长关系；最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。【练习 1】1、 （06 湖北卷）若 的内角 满足 ，则ABC2sin3AsincoAA. B C D5315355
17、32、 （06 安徽卷）如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则1 2BA 和 都是锐角三角形1C2B 和 都是钝角三角形BC 是钝角三角形， 是锐角三角形12ACD 是锐角三角形， 是钝角三角形A3、 （06 辽宁卷）已知等腰 的腰为底的 2 倍，则顶角 的正切值是（ ）B A 231581574、 （06 四川卷）设 分别是 的三个内角 所对的边，则 是,abcABC, 2abc的AB（A）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件5、 （06 上海春）在 中，已知 ，三角形面积为 12，则 .AC5,8ACC2cos6、 （06 全
18、国卷 I） 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得BB、 、B最大值，并求出这个最大值。7、 （06 全国 II）在 ,求2545,10,cosACC中 ，（1） (2)若点?BCDAB是 的 中 点 ， 求 中 线 CD的 长 度 。8、 （07 全国卷 2 理 17）在 中，已知内角 ，边 设内角 ，周长A23BBx为 y（1）求函数 的解析式和定义域；（2）求 的最大值()fxy【练习 2】1已知 的两边 是方程 的两个根，的面积是 ，周长是ABC,bc240xk1032cm，试求 及 的值；0cmk2如图， ， ， ， 3D3ACB75D， ， 求 的长. 45BC3.在ABC 中
19、，求证：0coscoscos222 ACaBbAa4.设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。5.在 ABC 中， 06， 1a， 2bc，判断 ABC 的形状。6.（07 浙江理 18）已知 的周长为 ，且 ABC 1sin2sinABC（I）求边 的长；（II）若 的面积为 ，求角 的度数1sin67.（07 上海理 17）在 中， 分别是三个内角 的对边ABC abc， ， ABC， ，若 ， ，求 的面积 4,2a52cos S8.（07 全国卷 1 理 17）设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，ABC， ， abc， ，2sinabA（）求 的大小；B
20、（）求 的取值范围cosinAC9.（07 北京文理 13）2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 的值等于 cos210.（07 山东理 20）如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航302行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，当甲船航1A151B20行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，问乙20221船每小时航行多少海里？北1B21A205乙 甲
