2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-2）课件：第3章 1.1 导数与函数的单调性（第二课时）.ppt

1、,第三章 导数应用,1 函数的单调性与极值,1.1 导数与函数的单调性(第二课时),1求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域区间 (2)求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根 (3)把函数f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间 (4)确定f(x)在各个小开区间内的符号，由f(x)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性,2利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解

2、决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间 (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内不连续和不可导点 (3)注意在某一区间内f(x)0或f(x)0是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件如f(x)x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x0时，f(x)0.一般地，在判断函数的单调性时，如果出现个别点使f(x)0不影响包含该点的某个区间上的单调性,3如何利用导数讨论函数的单调性 以前我们是根据函数单调性的定义、函数的图像以及复合函数单调性的性质等研究函数的单调性，判断函数的单调区间现在我们学习了导数，就可以

3、利用导数来讨论一般函数的单调性，在利用导数研究函数的单调性时，我们往往应用以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若f(x)0或f(x) 0，则函数f(x)在区间(a，b)内为增函数(或减函数)若函数在区间a，b上连续，则单调区间可扩大为闭区间a，b上 一般地，较为复杂的可导函数用导数来研究单调性较为方便,4已知函数是增函数(或减函数)，如何求参数的取值范围 f(x)0或f(x)0是函数递增(或递减)的充分条件，但这个条件并不是必要的如：yx3在实数集内是严格增函数，但f(0)0.在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件是f(x)0或f(x)0，在x(a

4、，b)时恒成立，且f(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)0，甚至可以在无穷多个点处f(x0)0，只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)的条件下求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定,利用导数比较大小或解不等式,已知函数单调性，求参数的范围，是一种非常重要的题型在某个区间上，f(x)0(f(x)0(

5、f(x)0)是不够的，即f(x)0(f(x)0)也有可能使得f(x)在这个区间上是增加(减少)的因此，对于是否可以取到等号的问题需要单独验证,已知函数单调性，求参数的范围,已知函数f(x)x3ax1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由,解：(1)由已知得f(x)3x2a，由3x2a0在R上恒成立，即a3x2在R上恒成立，易知当a0时，f(x)x3ax1在R上是增函数，a0. (2)存在由题意知3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2.当x(1,1)时，03x23.当a3

6、时，f(x)在(1,1)上单调递减 【点评】 在f(x)0的根有有限个的前提下： f(x)在(a，b)上是增加的f(x)0在(a，b)上恒成立； f(x)在(a，b)上是减少的f(x)0在(a，b)上恒成立,解：由已知得f(x)x2axa1. 令f(x)0，得x1或xa1. 当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数 依题意有4a16，解得5a7.,设a0，讨论函数f(x)ln xa(1a)x22(1a)x的单调性 思路点拨 求f(x)，判断f(x)的符号，注意对a的分类讨

7、论,讨论含参数函数单调性,(2017全国卷)已知函数f(x)ae2x(a2)exx，讨论f(x)的单调性 解：f(x)的定义域为(，)， f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1) 若a0，则f(x)0，则由f(x)0得xln a.,当x(，ln a)时，f(x)0. f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 【点评】 讨论含参数的函数单调性关键是认准分类讨论的标准,4(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x，讨论f(x)的单调性,1利用导数比较大小的关键是构造函数，应用导数研究该函数单调性 2讨论含参数函数的单调性，关键是对参数分类标准的确定 3由导数求函数的单调区间，它与已知区间是包含关系，解题时应把握并应用好这种关系，还要注意以下几点：,(1)若f(x)在某区间上是增(或减)函数，则在这个区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立； (2)由不等式恒成立求参数的取值范围时，要根据不等式的具体特点选择合适的求解方法； (3)要对参数取值范围中的端点值进行检验，看是否符合题意,谢谢观看！,