1、第 5 讲 解三角形【要点精讲】1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC 中，C90，ABc，ACb，BC a。（1 ）三边之间的关系：a 2b 2c 2。 （勾股定理）（2 ）锐角之间的关系：A B90；（3 ）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB c，cosAsin B c，tanA b。2斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29，在ABC 中，A、B、C 为其内角，a 、b、c 分别表示A、 B、C 的对边。（1 ）三角形内角和：A BC 。（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 Rcba2sinisin。（R 为外接圆半径）（3 ）余弦定理：
2、三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c22bccosA；b 2c 2a 22cacosB；c 2a 2b 22abcosC。3三角形的面积公式：（1 ） aha 1bhb chc（h a、h b、h c 分别表示 a、b 、c 上的高） ；（2 ） absinC 2bcsinA 1acsinB；（3 ） )sin(2B )sin( )sin(2AB；（4 ） 2 R2sinAsinBsinC。 （R 为外接圆半径）（5 ） abc；（6 ） )()(css； )(21cba；（7 ） r s。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角
3、）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设ABC 的三边为 a、b、c ，对应的三个角为 A、B、C。（1 ）角与角关系：A +B+C = ；（2 ）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，a b b；（3 ）边与角关系：正弦定理 R2sinisin（R 为外接圆半径） ；余弦定理 c2 = a2+b22
4、bc cosC，b 2 = a2+c22accosB，a 2 = b2+c22bccos A；它们的变形形式有：a = 2R sinA， baBsin， bcaA2cos。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1 ）角的变换因为在ABC 中，A+B+C= ，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC ；tan(A+B)=tanC 。2sinco,2ssinCBACBA；（2 ）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3 ）在ABC 中，熟记并会证明：A，B ，
5、C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列。【典例解析】题型 1：正、余弦定理例 1 已知 中， a， b， 0a， 154ABCS， 3,5b，则 BAC（ ） A. 30 B 150 C 015 D 0或 0例 2 （1 ）在 ABC 中，已知 23a， 62c， 0B，求 b 及 A；（2）在 ABC 中，已知 4.m， 87.b， 16.7cm，解三角形点评：应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。题型 2：三角形面积例 4在锐角 ABC中， 1,2,则 cosC的值等于 ， AC的取值范围为 .
6、例 5在 中，角 ,所对的边分别为 ,ab，且满足 25cos， 3B （I）求 ABC的面积； （II）若 6c，求 的值例 6在 ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、 b、 c，已知 2acb，且sinco3sin,求 b 题型 4：三角形中求值问题例 7 ABC的三个内角为 ABC、 、 ，求当 A 为何值时， cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。题型 5：三角形中的三角恒等变换问题例 9在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，
7、且a2c 2=acbc，求A 的大小及 csin的值。分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理。由 b2=ac 可变形为2=a，再用正弦定理可求 cBbsin的值。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例 10在 ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，求 2tan32tant CAA的值。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型 6：正、余弦定理判断三角形形状例 11在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则A
8、BC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例 12 在 ABC中， 、 为锐角，角 ABC、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，且510sin,si（I）求 的值；（II）若 21ab，求 abc、 、 的值。 题型 7：正余弦定理的实际应用例 13如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 075， 3，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为
9、06，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到0.01km， 21.414， 62.449） 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1 ）已知两角和一边（如 A、B、C） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求 a、b ；（2 ）已知两边和夹角（如 a、b、c ） ，应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角；（3 ）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A ） ，应用正弦定理求 B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4 ）已知三边 a、b、c ，应余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角形内切圆的半径： 2Srabc，特别地， 2abcr斜直 ；3三角学中的射影定理：在ABC 中， os，4两内角与其正弦值：在 ABC 中， BABinsi，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 。
