1、mst1 / 10直角三角形的边角关系专题专练专题一：锐角三角函数考点分析：在理解三角函数定义的基础上，理解并掌握三角函数有关的概念及性质；典例剖析例 1 （2009 年湖北省孝感市）如图 1，角 的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（3，4） ，则 sin分析：先用勾股定理求出第三边，再利用三角函数的定义求解解：根据点 P 的坐标利用勾股定理可以求得 OP= =5.243所以 sin = .54斜 边的 对 边点评：过已知点向坐标轴引垂线构造直角三角形，利用这点的坐标求出对应线段的长度，便可计算要求的锐角的三角函数值.例 2在 中， ， 分别是 的对边，若R
2、tABC 90abc， ， ABC， ，则 ban分析：由于正切与两条直角边有关，故直接利用三角函数的定义求解解：因为 t12ab=点评：本题重点考查学生对正切定义的理解和运用情况，只要记住定义，就可以把边的比转化为正切了专练一：1、在ABC 中, C=90,sinA= ,则 cosB 的值为( )32A.1 B. C. D. 12、若 tana= ,且 为锐角,则 cos 等于( )3A. B. C. D.1233、在ABC 中,若 ,则C 的度数为( )21sintan0ABA.30 B.60 C.90 D.120图 1mst2 / 104、把 RtABC 的三边都扩大十倍，关于锐角 A
3、的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是A.甲 B.乙 C.丙 D.都不正确5、 （1）已知 ,则锐角 的度数为_;tan3（2）若 ,则锐角 的度数为_.1cos026、在 RtABC 中，C90 0，AC12，BC 15。（1）求 AB 的长；（2）求 sinA、cosA 的值；（3）求 的值；A22cossin（4）比较 sinA、cosB 的大小。7、要求 tan30的值,可构造如图 1 所示的直角三角形进行计算 .作 RtABC,使 C=90,斜边 AB=2,直角边 AC=1,那么 BC= , ABC= 30 , tan30= .33ACB
4、在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出 tan15的值 , 请简要写出你添加的辅助线和求出的 tan15的值.专题二：锐角的三角函数值考点分析：熟记特殊角的三角函数值，正确使用计算器解答锐角三角函数值和由锐角三角函数值求角的问题；典例剖析例 1.（2009 年浙江省湖州市）如图 4，在 中， ， ，RtABC Rt1BC，则下列结论正确的是（ ）2ABA B 3sin1tan2C Dco2t3B图 1B2 1A30 CBCA图 4mst3 / 10【分析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知A=30，B=60，对照 30、60的三角函数值选择正确答案.【解】根据以上分析应选 D.【点
5、评】熟记特殊角 30、45、60的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出 AC，然后根据锐角三角函数定义判断.例 2 （2009四川省遂宁市）如图 3，已知ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 cm. 分析：本题可以根据定义转化为边的比，也可以利用特殊角的三角函数值求解解：由勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由 52+122=132知ABC 是直角三角形，AC 是斜边，所以 BD= AC= cm.213点评：由数量关系判断三角形的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达
6、到综合运用知识的能力.专练二：1、在 RtABC 中，C90 0，若 ，则 sinA（ ）43tanAA、 B、 C、 D、34 5532、若 ，则锐角 的度数是（ ）1)0tan(A、20 0 B、30 0 C、40 0 D、50 0A、6 B、5 C、4 D、23、如图 2，两条宽度都是 1 的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）A、 B、sin1cosC、 D、14、在 RtABC 中，C90 0，A 、B 的对边分别是 、a，且满足 ，则 tanA 等于（ ）b22baA、1 B、 C、 D、51251251图 2图 3mst4 / 10O
7、DCBA5、李红同学遇到了这样一道题： tan( +20)=1，你猜想锐角 的度数应是3A.40 B.30 C.20 D.106、在ABC 中，若 tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是2A.ABC 是等腰三角形 B.ABC 是等腰直角三角形C.ABC 是直角三角形 D.ABC 是一般锐角三角形7、在 RtABC 中，C90 0，若 ACAB13，则 cotB 。8、等腰三角形的底边长 20 cm，面积为 cm2，求它的各内角.9、如图 2，菱形的一个内角为 500，较短的对角线长为 8cm，求：（1）较长的对角线长；（精确到 0.1cm） ；（2）菱形的面积（精确到 1cm2） （
8、其中 0.4663）5tan10、已知如图 4，ABDC，D90 0，BC ，AB4，1 ，求梯形 ABCD 的面积。Ctan31图 3D CBA图 4mst5 / 10专题三：解直角三角形及应用考点分析：理解掌握解直角三角形的基本知识、熟悉直角三角形中的边角关系，具有构造直角三角形解决问题的意识和能力；能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，培养数学应用意识和能典例剖析例 1.（2009 年山东省德州市、广东省深圳市）如图 5，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1:，AC10 米坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB143米试
9、求旗杆 BC 的高度 分析：BC 所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点 C 作 AD 的垂线，结合坡比这个条件计算 CE、AE，再计算 BE，从而通过 BE、CE 的差求 BC.解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD在 RtAEC 中，AC10， 由坡比为 1 可知：CAE30，3 CEACsin3010 5，AEACcos3010 12325在 RtABE 中，BE 11ABE224(53) BEBCCE， BCBECE11-56（米） 答：旗杆的高度为 6 米点评：过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长度.例 2. （2
10、009 年山东省威海市）如图 6，一巡逻艇航行至海面 处时，得知其正北方向上B处一渔船发生故障已知港口 处在 处的北偏西 方向上，距 处 20 海里； 处在CAB37 CA 处的北偏东 方向上求 之间的距离（结果精确到 0.1 海里） 65,C参考数据： sin370.cos370.8tan0.5， ， ，si.9142t6514， ，分析：过点 A 作 ADBC 于 D，在 RtABD 中利用正弦、余弦函数计算 BD、AD，在 RtACD 中利用正切求 CD，即可计算 BC 的长.ABCD E图 5图 637北北ACBmst6 / 10解：过点 A 作 ，垂足为 D在 中， ， ，BCRtA
11、B 2037B sin3720si12D cos37cs16在 中， ， ，Rt 6515.tan65.4 （海里）.B 答： 之间的距离约为 21.6 海里C，点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。第二步，根据所给条件运用解直角三角形的知识正确解答专练三：1、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图 8 所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价 元，则购买这种草皮至少需要（ ）aA、 元 B、 元 C、 元 D、 元a45025a150a302、如图 9，某地夏季中午，当太阳移至
12、房顶上方偏南时，光线与地面成 80角，房屋朝南的窗子高 AB=1.8 m，要在窗子外面上方安装水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度 AC 为A.1.8tan80m B.1.8cos80m C. m D. m80sin.1 80tan.13、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为 300 m，250 m，200 m；线与地面所成的角度分别为 30，45，60(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高4、如图 10，某建筑物 BC 直立于水平地面， AC=9 米，要建造阶梯 AB，使每阶高不超过 20
13、 cm，则此阶梯最少要建_阶.(最后一阶的高度不足 20 cm 时，按一阶算， 取 1.732)35、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图 11，图 8 图 9图 10mst7 / 10某学生在点 A 处观测到河对岸水边处有一点 C，并测得CAD45 0，在距离 A 点 30 米的 B 处测得CBD30 0，求河宽 CD（结果可带根号） 。6、如图 12：在小山的东侧 A 处有一热气球，以每分钟 28 米的速度沿着与垂直方向夹角为 300 的方向飞行，半小时后到达 C 处，这时气球上的人发现，在 A 处的正西方向有一处着火点 B，5 分钟后，在 D 处测得着火点 B 的府角是 150，求
14、热气球升空点 A 与着火点 B的距离。 （结果保留根号，参考数据： ，42615sin0， ， ）42615cos03215tan03cot07、一艘轮船从西向东航行，上午 10 时航行到点 A 处，此时测得在船北偏东 30上有一灯塔 B，到 11 时测得灯塔 B 正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为 C 点 (如图 13)，若该船的航行速度为每小时 20 海里，那么船在 C 点时距离灯塔 B 多远？( 取 1.73)38、如图 14，河岸护堤 AD、 BC 互相平行，要测量河两岸相对两树 A、B 的距离，小赵从 B 点沿垂直 AB 的 BC 方向前进，他手中有足够长的米尺和含有 30角的一
15、块三角板.(1)请你帮小赵设计一下测量 AB 长的具体方案;(2)给出具体的数值，求出 AB 的长.图 12图 13图 14图 11mst8 / 10参考答案：专练一：1、B ；2、A ；3、D；4、B；5、 （1）60；（2）30；6、分析：在 RtABC 中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出 sinA、cosA 的大小，从而便可以计算出 的大小，即可A22cossin比较 sinA 与 cosB 的大小。答案：（1）AB13； （2）sinA ，cosA ；135（3） ； （4）sinAcosB1cossin22A7、延长 CB 到 D,使 BD
16、=BA,则D=DAB.又D+ DAB=30,故 D=15.DC=BD+ BC=2+ ,故 tan15= .123ACD专练二：1、D；2、A；3、A；4、B；5、D ；6、B ；7、 ；28、解：设等腰三角形底边上的高为 x cm，底角为 ，则有 x20= ,130x= .30tan = = , 30.13顶角为 180230=120.该等腰三角形三个内角为 30，30，120.9、解：如图，设 BD8cm，BCD50 0，由菱形的性质知：BCO25 0，BO 4cm在 RtBCO 中， COBtanCO BOt025t4 8.578（cm）263.04AC2CO17.2（cm）mst9 /
17、10 69（cm 2）菱 形SBDAC2110、解：过 B 作 BEDC 于 E，在 RtBCE 中 3tanEC3BE又 22BCE )10()3(解得 BE1，故 EC3又DCDEECABECDC7 梯 形SBEDCA)(211)74(22专练二：1、C；2、D；3、D；4、26；5、 米；)(6、 米；9807、解：由题意知BAC=60 ，C =90,AC=20(1110)=20(海里).tanBAC = ,即 tan60= .AB20BBC=20tan60=20 34.6( 海里).38、(1)方案：至某点 C 时，三角板 60角一直角边与 BC 重合，另一边与 AC 重合，然后用米尺量出 BC 的长度，此法就可求出 AB 的长.(2)设 BC=10 米，C=60,则在 RtABC 中，tanC= ,BAAB=BCtan60 =10 =10 (米).3ED CBAmst10 / 10育星教育网
