1、三角形的外接圆与内切圆半径的求法江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例 1 已知：在ABC 中，AB13，BC12，AC5求ABC 的外接圆的半径.解：AB13，BC12，AC5，AB 2BC 2AC 2，C90，AB 为ABC 的外接圆的直径，ABC 的外接圆的半径为 6.5.2、一般三角形已知一角和它的对边例 2 如图，在ABC 中，AB10，C100，求ABC 外接圆O 的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边 AB 的直角三角形.解：作直径 BD，连结 AD
2、.则D180C80，BAD90BD DsinAB80i1ABC 外接圆O 的半径为 .80sin5ABCOABCOD注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在ABC 中，AB10，A70，B50求ABC 外接圆O 的半径.分析：可转化为的情形解题.解：作直径 AD，连结 BD.则DC180CABBAC60，DBA90AD DsinAB60i132ABC 外接圆O 的半径为 .10已知两边夹一角例 4 如图，已知，在ABC 中，AC2，BC3，C60求ABC 外接圆O 的半径.分析：考虑求出 AB，然后转化为的情形解题.
3、解：作直径 AD，连结 BD.作 AEBC，垂足为 E.则DBA90，DC60，CE AC1，AE ，23BEBCCE2，AB 2BEA7AD DsinAB60i713ABC 外接圆O 的半径为 .2已知三边例 5 如图，已知，在ABC 中，AC13，BC14，AB15求ABC 外接圆O 的半径.分析：作出直径 AD，构造 RtABD.只要求出ABC 中 BC边上的高 AE，利用相似三角形就可以求出直径 AD.解：作直径 AD，连结 BD.作 AEBC，垂足为 E.则DBACEA90，DCADBACE ABEDC设 CEx, AC 2-CE2AE 2AB 2-BE2 13 2-x215 2-(
4、14-x)2 x=5,即 CE5AE12 AD ABC 外接圆O 的半径为 .153465 86ABCODABCODEABCODE二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例 6 已知：在ABC 中，C90，ACb，BCa，ABc求ABC 外接圆O 的半径.解：可证四边形 ODCE 为正方形.设O 的半径为 r，则 CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， (a-r)+(b-r)=c, r= ,即ABC 外接圆O 的半径为 .2cba 2cba2、一般三角形已知三边例 7 已知：如图，在ABC 中，AC13，BC14，AB15求ABC 内切圆O 的半径 r.分析：考虑先求出ABC 的面积，再
5、利用“面积桥” ，从而求出内切圆的半径.解：利用例 5 的方法，或利用海伦公式 S (其中 s= )csb)(as2cba可求出 SABC 84，从而 ABr+ BCr+ ACr=84, r=42121已知两边夹一角例 8 已知：如图，在ABC 中，cotB ,AB5，BC634求ABC 内切圆O 的半径 r.分析：考虑先通过解三角形，求出ABC 的面积及 AC 的长，再利用“面积桥” ，从而求出内切圆的半径.解：作ABC 的高 AD.解直角三角形可得 AD3，CD2，AC ，13因为 ABr+ BCr+ ACr= BCAD, 可求得 r=212161已知两角夹一边例 9 已知：如图，在ABC 中，B60，C45,BC6求ABC 内切圆O 的半径 r.(精确到 0.1)分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.ABCOEDbcaABCOEFDABCODABCOD
