1、高二数学 必修 3 第一章 2010-8第 1 页 共 5 页相信自已，我行学案 1-3-1：辗转相除法与更相减损术学习目标：1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。重点与难点：重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。学习过程：预习导航引例：1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出 18与 30的公约数吗？2.如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比
2、如求 8251与 6105的最大公约数？知识导航：辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的_古老有效的算法。更相减损法：我国古代数学专著九章算术中介绍的一种求两个正整数的_算法。名称 辗转相除法 更相减损术区别 以除法为主两个整数差值较大时运算次数较少相除余数为零时得结果以减法为主两个整数的差值较大时，运算次数较多相减，两数相等时得结果相减前要做是否都是偶数的判断。联系 都是求最大公约数的方法都是递归的思想都要用循环结构来实现典型例题：一.辗转相除法例 1 。求两个正数 8251和 6105的最大公约数。（分析：辗转相除余数为零得到结果）解：8251610512146高二数学 必修
3、3 第一章 2010-8第 2 页 共 5 页相信自已，我行显然 8251与 6105的最大公约数也必是 2146的约数，同样 6105与 2146的公约数也必是 8251的约数，所以 8251与 6105的最大公约数也是 6105与 2146的最大公约数。6105214621813214618131333181333351483331482371483740则 37为 8251与 6105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前 300年左右首先提出的。1。为什么用这个算法能得到两个数的最大公约数？练习：利用辗转相除法求两数 4081与
4、 20723的最大公约数。2。辗转相除法包含重复操作的步骤，因此我们可用_结构来构造算法，利用辗转相除法求最大公约数的步骤：3。程序框图如下：当型循环结构框图 直到型循环结构框图 高二数学 必修 3 第一章 2010-8第 3 页 共 5 页相信自已，我行4。程序如下：当型循环结构程序 直到型循环结构程序 二。更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2约简；若不是，执行第二步。第二步：
5、以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例 2。 用更相减损术求 392与 252的最大公约数.解：由于 392与 252都是偶数，需约简，除以 4得：98 与 63由于 63不是偶数，把 98和 63以大数减小数，并辗转相减，即：9863356335283528728721217141477所以，98 与 63的最大公约数是 7。392 与 252的最大公约数为 4*728。1。用更相减损术能求出两个数的最大公约数的原理是什么？练习：用更相减损术求两个正数 576与 246的最大公约数。2
6、。请根据更相减损术设计一个程序，求两个正整数 m，n 的最大公约数？高二数学 必修 3 第一章 2010-8第 4 页 共 5 页相信自已，我行自我评价1、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（ ）A、16 和 12 的最大公约数是 4 B、78 和 36 的最大公约数是 6C、85 和 357 的最大公约数是 34 D、105 和 315 的最大公约数是 1052、用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果：（1）228，1995 （2）5280，121553、用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，需做减法的次数是_.4、求 375 与 85 的最小公倍数，并设计一个程序求正整数 m 与 n 的最小公倍数。5、算法 输入， ， ， 若 （ 表示的整数部分）则执行9，否则执行 高二数学 必修 3 第一章 2010-8第 5 页 共 5 页相信自已，我行 执行 输出上述算法的含义是 。
