1、长沙市 2018 届高三第一次模拟试卷数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ， 在复平面内的对应点关于实轴对称,所以 ,所以,故选 B.2. 设全集 ，函数 的定义域为 ，集合 ，则 的子集个数为（ ）A. 7 B. 3 C. 8 D. 9【答案】C【解析】：由|x+1|-10，得|x+1|1，即 x-2 或 x0，A=x|x-2 或 x0.则 CUA=x|-2x0；由 s
2、inx=0，得 x=k，kZ，x=k，kZ.则 B=x|sinx=0=x|x=k，kZ，则(C UA)B=x|-2x0x|x=k，kZ=-2，-1，0，(C UA)B 中元素个数为 3.故选 C.3. 函数 （ ， ）的图象中相邻对称轴的距离为 ，若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意可得函数的最小正周期为 ,，角 的终边经过点 , , ,，, .故选 A.4. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 ， 分别是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】
3、B【解析】试题分析：分析程序框图可知， 为 50 名学生中成绩在 的人数， 为 50 名学生中成绩在 的人数，而分析茎叶图即可知 ， ，故选 B.考点：1.统计的运用；2.程序框图5. 设不等式组 表示的平面区域为 ，不等式 表示的平面区域为，对于 中的任意一点 和 中的任意一点 ， 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】做出题目中所示的区域 ,由图可以看出的最小值为圆心到原点 O 的长度减去圆的半径，圆心为（-2，2） ，到原点的距离为 ，圆的半径为 .所以 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数
4、所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 若函数 的图象如图所示，则 的范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由图可知， 定义域为 ， ，又 时， ，又 是奇函数， 时， ， 在 上单调递增， 上单调递减， ，综上，实数 的范围是 ，故选 D.考点：函数性质的综合运用7. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为如下图所示的四棱锥 ，其中底面是正方形，平面 平面 ，故 平面
5、 ， ， ， ，故选 C.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积8. 设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，对任意正整数 ，都有 ，则 的值为（ ）A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009【答案】C【解析】试题分析： ,所以 ，,且数列 为等差数列，所以 且，所以 是数列 中的最小值，故选 C考点：等差数列的定义与性质【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和问题解题时可以用等差数列的求和公式表示成二次函数形式，由二次函数的知识求解，得到 与 的关系,求出数列 的最小值，但运算量软大，本题的解法则是利用等差数列的性质得到 与 ，进一步得到 ， ，从而求出数列 的最
6、小值9. 已知非零向量 ， ， 满足 ， ，若对每个确定的 ， 的最大值和最小值分别为 ， ，则 的值（ ）A. 随 增大而增大 B. 随 增大而减小C. 是 2 D. 是 4【答案】D【解析】试题分析： ， ，即， ， ，解得 ， （ ） ，故 ， ， ，故选 D.考点：平面向量数量积10. 已知如图所示的三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上， 和 所在的平面互相垂直， ， ， ，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示， ， 为直角，即过ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点 ， 和 所在的平面互相垂直，则圆心在过 的圆面上，即的外接圆为球的大圆，由等边三角形的
7、重心和外心重合易得球半径 R=2，球的表面积为 ，故选 C11. 已知双曲线 ： （ ， ）的右顶点为 ， 为坐标原点，以 为圆心的圆与双曲线 的某渐近线交于两点 ， ，若 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 且 ，所以 为等边三角形，设 ，则 ，渐近线方程为 ， ，取 的中点 ，则 ，由勾股定理可得 ，所以 ，在 中，所以 ，结合 ，可得 故选：A考点：双曲线的简单性质.12. 已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 成立,计算得出 ,对任意
8、的 ,总存在唯一的 ,使得 成立, ,且 ,计算得出 ,其中 时,y 存在两个不同的实数,因此舍去,a 的取值范围是.故选 B.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ， 展开式的常数项为 15， _【答案】【解析】试题分析：由 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 r=2，故常数项为 ，可得 a=1，因此原式为考点：二项式定理；微积分基本定理14. 设 ， ，关于 ， 的不等式 和 无公共解，则 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：如下图所示，不等式 所表示的平面区域如下图所示，要保证不等式无公共解，只需， 的取值范围是 ，故填： .
9、考点：线性规划.15. 正项数列 的前 项和为 ，且 （ ） ，设 ，则数列的前 2016 项的和为_【答案】【解析】 , ,当 时, ,解得 .当 时, ,可化为: ,数列 是等差数列,公差为 1,首项为 1.，.,则数列 的前 2016 项的和 .16. 已知 是椭圆 ： 的右焦点， 是 上一点， ，当 周长最小时，其面积为_【答案】4【解析】由题设可设左焦点为 ，则 的周长为，由于 （当且仅当 三点共线时取等号） ，此时 ，直线方程为 ，代入椭圆中化简可得，解得 。当 时， ，即 ，此时 ，点 到直线的距离 ，三角形的面积 ；当 时， ，即 ，此时 ，点 到直线 的距离 ，故三角形的面积
10、；故应填答案 。点睛：解答本题的关键是确定三角形面积最小时点的坐标，进而求出直线的方程，运用点到直线的距离公式确定三角形的高，最终求出三角形面积的值。本题求解时遇到的难点是联立直线与椭圆的方程解方程组时，得到两个交点的坐标，然后逐一求出三角形的面积，取出三角形面积最小的三角形的面积。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在 中，已知点 在边 上，且 ， ， ，（1）求 的长；（2）求 【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）通过垂直关系，求出 cosBAD 的值，在ABD 中，由余弦定理求AD 的长；（）在ABD 中，
11、由正弦定理，求出 sinADB，通过三角形是直角三角形，即可求 cosC试题解析：（1）因为 ，所以 ,所以 在 中，由余弦定理可知，即 ,解之得 或 ,由于 ,所以 （2）在 中，由 可知由正弦定理可知， ,所以因为 ，即考点：余弦定理；正弦定理的应用18. 如图，在多面体 中，四边形 为梯形， ， 均为等边三角形， （1）过 作截面与线段 交于点 ，使得 平面 ，试确定点 的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）当 为线段 的中点时，使得 平面 （2）【解析】试题分析：(1) 当 为线段 的中点时， 平面 连结 AC 交 BD 于 M,连结
12、 MN.利用中位线定理即可证明 ,于是 平面 (2)通过线面关系证得 ， 分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，用向量法求解即可.试题解析：（1）当 为线段 的中点时，使得 平面 证法如下：连接 ， ，设 ，四边形 为矩形， 为 的中点，又 为 的中点， 为 的中位线， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 为 的中点时，使得 平面 （2）过 作 分别与 ， 交于 ， ，因为 为 的中点，所以 ， 分别为 ， 的中点， 与 均为等边三角形，且 ， ，连接 ， ，则得 ， ， ， ， ， ，四边形 为等腰梯形取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ， ， ， 平面 ，过 点作
13、 于 ，则 ， ， 分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，不妨设，则由条件可得： ， ， ， ， ， 设 是平面 的法向量，则 即所以可取 ，由 ，可得 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登
14、陆，造成165.17 万人受灾，5.6 万人紧急转移安置，288 间房屋倒塌，46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失 12.99 亿元距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 ， ， ， 五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过 4000 元的居民中随机抽取 2 户进行捐款援助，设抽出损失超过 8000 元的居民为 户，求 的分布列和数学期望；（3）
15、台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求 ， ， ， ， ， ， 的值，并说明是否有 以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？经济损失不超过 4000元经济损失超过 4000元合计捐款超过 500 元捐款不超过 500 元合计0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式： ， 【答案】 （1） （2） （3）有 以上的把握认为捐款数额多于或少于 50
16、0 元和自身经济损失是否到 4000 元有关【解析】试题分析：（）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；（）由频率分布直方图可得，损失不少于 6000 元的居民共有（0.00003+0.00003）200050=6 户，损失为 60008000 元的居民共有 0.00003200050=3 户，损失不少于8000 元的居民共有 0.00003200050=3 户，即可求这两户在同一分组的概率；（）由频率分布直方图及所给 22 列联表得 b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并求出 K2，与临界值比较，即可得出结论试题解析：（1）记每户居民的平均损失为
17、元，则（2）由频率分布直方图，可得超过 4000 元的居民共有户，损失超过 8000 元的居民共有户，因此 的可能值为 0,1,2， ， ，的分布列为：0 1 2（3）解得 ， ， ， ， ， ， ，所以有 以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关 点睛：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.20. 已知抛物线 的顶点在原点，其焦点 （
18、 ）到直线 ： 的距离为 ，设为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点（1）求抛物线 的方程；（2）当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程；（3）当点 在直线 上移动时，求 的最小值【答案】 （1） （2） （3）【解析】试题分析：(1)由焦点为 可知抛物线开口向上，其方程为 ，由点到线的距离可求 的值.从而可得抛物线的方程.(2)由导数的几何意义可得切线 的斜率.从而可得切线 的方程.由两点确定一条直线可得直线 的方程. (3)根据抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离可得 .将直线 的方程与抛物线方程联立消去 整理为关于 的一元二次函数,由韦达定理可得两根
19、之和与两根之积.可用配方法求最值.试题解析：解: (1)依题意知 ， ，解得 .所以抛物线 的方程为 2 分(2)由 得 ，设 ，则切线 的斜率分别为 ，所以切线 的方程为 ，即 ，即 .同理可得切线 的方程为 ，又点 在切线 和 上，所以 ，所以 为方程 的两组解，所以直线 的方程为 . 6 分(3)由抛物线定义知 ，所以 ，联立方程消去 整理得 ， ， 2y 022y 05，当 时， 取得最小值，且最小值为 . 12 分考点：1 抛物线的定义即性质;2 直线与抛物线的位置关系.21. 已知函数 ，点 在曲线 上，且曲线在点 处的切线与直线垂直（1）求 ， 的值；（2）如果当 时，都有 ，求
20、 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线与 2xy=0 垂直，可得 a，b 的方程，解方程可得 a，b 的值；（2）由题意可得 ，即有即 ，可令 g（x）= ，求出导数，判断单调性，可得最值，即可得到 k 的范围试题解析：（1） ，依题意 ， ，解得 （2）由（1）可知 ，代入 得，即 ，因为当 时， ， 时， ，所以 ，所以 ，即 ，令 ，设 ，则 ，又 当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，所以（i）当 时， ，又因为此时 ， ，所以 ，即 成立；（ii）当 时， ，又因为此时 ， ，所以 ，即 成立因此当 时，当 时，都有
21、 成立，符合题意当 ，即 时，由 ，得 ， ，因为 ，所以 ， ，当 时， ，所以 在 上递减，所以 ，又因为此时 ， ，所以 ，即与 矛盾，所以不符合题意综上可知： 的取值范围是 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，正方形 的顶点都在 上，且 ， ， ，依逆时针次序排列，点 的极坐标为 （1）求点 ， ， ， 的直角坐标；（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析
22、：（1）先写出点 四点的极坐标，由直角坐标和极坐标的互化公式直接转化即可；（2）用椭圆的参数方程表示点 ，得用两点间距离公式表示求之即可.试题解析:（1）由已知可得，即 .（2）设 ，令 ，则.因为 ，所以 的取值范围是 .考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.椭圆参数方程的应用；3.同角三角函数基本关系.23. 选修 4-5：不等式选讲设 ，记 的解集为 （1）求集合 ；（2）已知 ，比较 与 的大小【答案】 （1） （2）当 时， ；当 时， ；当时， 【解析】试题分析：（I） 上分别求解，取并集即可得出（）由（）知：0a2，作差可得 ，对 a 分0a1，a=1，1a2 三种情况讨论即可得出试题解析：（1）由 ，得 或 或解得 ，故 （2）由（1）知 ，因为 ，当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 综上所述：当 时， ；当 时， ；当 时，
