1、二面角的几何求法,学习目标：1、知道二面角和二面角的平面角定义以及二面角平面角的范围。2、熟悉二面角的常见作法：定义法、垂面法、三垂线法3、掌握求二面角的一般步骤,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,二面角的定义:,复 习:,2、二面角的表示方法,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,二面角CAB E,1、定义,二面角的平面角:,二面角的平面角必须满足：,二面角的平面角的范围: 00 ，1800,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所
2、成的角叫做二面角的平面角。,注意:,(与顶点位置无关),APB= A1P1B1,例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。,例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。,例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。,例1、已知正三棱锥V-ABC所有的棱长均相等，求二面角 A-VC-B的大小。,O,解：过B点作BOVC于O,连接AO.,因为在正三棱锥中VA=VB,VO=VO,BVO=AVO.所以,所以AOVC。所以BOA即为所求二面角的平面角。,在AOB中，设AB=1，则AO=BO=,作角,证角,求
3、角,定义法,探究准备,想一想：1、还能用什么方法作出二面角的平面角？,（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则ACB即为该二面角的平面角。,A,B,C,例2、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小
4、。,S,A,E,C,B,D,分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直； 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。,解：如图：SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD; 于是SB= = a 又BC= a ， SB=BC;E为SC的中点，BESC又DESC 故SC平面BDE 可得BDSC 又BDSA BD平面SACCDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = a在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ，CDE=900-SCA=600解毕。,S,E,C,A,D,议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？
5、,垂面法,P,A,B,C,则BDE就是此二面角的平面角。,ABC为正， BE=,在RtPAC中，E为AC中点，则DE=在RtDEB中,tan BDE=,例3:已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的正切值。,三垂线法,课堂小结：,1、二面角以及二面角的平面角的定义、范围。,2、二面角平面角的作法：定义法、垂面法、三垂线法,3、求二面角的步骤：作角-证角-求角,预习探究,如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。 （1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。 （2）求：平面BF
6、D1与平面B1FD1所成的二面角的大小。,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,F,谢 谢 指 导！,预习探究,如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。 （1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。 （2）求：平面BFD1与平面B1FD1所成的二面角的大小。,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,F,A1,D1,C1,C,B1,B,D,A,P,F,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB,又 DAB
7、=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故 DBA=600, P=ABP=300, DBP=900,即PBDB；又因为是直棱柱，DD1 PB, PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1, DBD1=450。即为所求.解毕。,解法一：,A1,D1,C1,B1,F,A,D,C,B,P,E,解法二：,如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1 底面ABCD,过A做AEPB,垂足为E,连接EF, 由三垂线定理可知，EFPB, AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰APB, P=300， RtAPB中，可求得AE= 1 ，（设四棱柱的棱长为2）又AF= 1, AEF=450，即为所求。,思考：这种解法同解法一有什么异同？,
