1、第3章 单相交流电路,（时间：6次课，12学时）,第3章单相交流电路,3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 单一参数的交流电路 3.4 电阻、电感和电容串联的交流电路 3.5阻抗的串联和并联 3.6 功率因数的提高 3.7 电路的谐振 3.8 非正弦周期信号电路分析,3.1 正弦交流电的基本概念,3.1 正弦交流电的基本概念 3.1.2 正弦量的相位差 3.1.3 正弦量的有效量,3.1 正弦交流电的基本概念,基本概念:所谓正弦交流电，是指大小和方向都随时 间按正弦规律作周期性变化的电流、电压或电动 势，简称交流电。,3.1.1 正弦量的三要素,大小和方向随时间按正
2、弦规律变化的正弦电流、正弦电压、正弦电动势等物理量统称为正弦量。 正弦量的三要素：幅值、频率和初相位。 一个正弦交流电压的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示， 即u(t) = Umsin( t ) 同理,电流和电动势分别为 i(t) = Imsin( t ) e(t) = Emsin( t ),图3.1 正弦交流电压,3.1.1 正弦量的三要素,1.幅值(或有效值) Im、Um、Em分别叫做正弦电流、电压、电动势的幅值(也叫做峰值或最大值)，它们反映了正弦量变化的大小。 2.频率(或角频率、或周期) (1)周期：正弦交流电完成一次循环变化所用的时间，用字母T表示，单位为秒(s)。 (2)频率
3、：正弦量在单位时间内作周期性循环变化的次数用字母f表示，单位为赫兹(Hz)。,3.1.1 正弦量的三要素,(3)角频率：表示单位时间内正弦量变化的弧度数，用字母表示，单位为弧度/秒(rad/s)。 = 2f=注意：角频率与角速度是两不同的概念，角速度是机械上的空间的旋转角速度，而角频率泛指任何随时间作正弦变化量的频率f与2的乘积。,3.1.1 正弦量的三要素,例3-1 已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。 解：角频率为=2f=250=100=314rad/s 周期为T=0.02s,3.1.1 正弦量的三要素,3.初相位 前面式中( t )、( t )、( t )分别叫做正弦电压
4、、电流、电动势的相位角，简称相位或相，单位为弧度rad或度()，用字母表示。 相位反映出正弦量变化的进程。当相位角随时间作连续变化时，正弦量的瞬时值也随之作相应变化。,3.1.1 正弦量的三要素,t=0时的相位角称为初相位角，简称初相位或初相，用字母表示。、 、 分别为正弦电流、电压、电动势的初相位，表示初始时刻(t = 0时)正弦交流电所处的电角度。 通常，选择初相位的绝对值小于，可正，也可负。,3.1.1 正弦量的三要素,例3-2 已知u = 311sin(314t60)V，求幅值Em、频率f、角频率、初相位。 解：根据式(3-1) u(t) = Umsin( t )，可知 幅值为 Um
5、= 311V 频率为f = = 50Hz 角频率为 = 314rad/s 初相位为=-60=-1/3,3.1.2 正弦量的相位差,两个同频率正弦量的相位角之差，称为相位差，用表示。并规定180 例如，i1和i2为两个同频率电流， i1 = Im1sin( t ) i2 = Im2sin( t ) 则这两个正弦量的相位差为12 = ( t ) ( t ) = (3-7) 可见，两个同频率正弦量的相位差即为初相位之差。相位差实质上反映了两个同频率正弦量变化进程的差异，表明在时间上的先后关系。,3.1.2 正弦量的相位差,图3.2 两同频率正弦量的相位关系,3.1.2 正弦量的相位差,(1)当 12
6、 0时，i1比i2先到达正最大值，此时称第1个正弦量比第2个正弦量的相位超前角12，如图3.2 (a)所示； (2) 当 12 0时，i1比i2后到达正最大值，此时称第1个正弦量比第2个正弦量的相位滞后12角 ；此时相位差须用绝对值不大于的角度来描述。 (3) 当 12 = 0时，i1和i2同时到达正最大值，此时称第1个正弦量与第2个正弦量同相，如图3.2 (b)所示； (4) 当 12 = 或时，一个正弦量到达正最大值时，另一个正弦量到达负最大值，此时称第1个正弦量与第2个正弦量反相，如图3.2 (c)所示； (5) 当 或时，一个正弦量到达零时，另一个正弦量到达正最大值(或负最大值)，此时
7、称第1个正弦量与第2个正弦量正交。如图3.2 (d)所示。,3.1.2 正弦量的相位差,例3-3 已知两正弦量u = 311sin(314t 30) V，i= 5sin(314t 90) A，请指出两者的相位关系，并求当计时起点改为t = 0.00333s时，u和i的初相位、瞬时值及其相位关系。 解：相位差为 相位关系为，u比i滞后，或i比u超前。 当计时起点改为t = 0.00333s时， u和i的初相位分别为,3.1.2 正弦量的相位差,相位关系为则u和i的瞬时值分别为 u = 311sin(314t 30) = 311sin(3140.0033330) = 311sin(30)= 115
8、.5V i= 5sin(314t 90) = 5sin(3140.00333 90) = 5sin(150)= 2.5A 可见，当两个同频率正弦量的计时起点变化时，各自的初相位将发生变化，但其相位差不变。说明初相位的大小与计时起点的选择有关，而相位差与计时起点的选择无关。,3.1.3 正弦量的有效量,利用电流的热效应来确定电流的大小。 在热效应方面，交流电流与直流电流(i与I)是等效的，直流电流I的数值可以表示交流电流i的大小，于是把这一特定的数值I称为交流电流i的有效值。用大写英文字母I表示交流电流的有效值，和直流电流的表示一样。 根据交流电流有效值的定义，交流电流i的有效值为I= (3-8
9、)可见，交流电流的有效值也称为方均根值。其适用于周期性变化的物理量，但不能用于非周期性物理量。,3.1.3 正弦量的有效量,若i为正弦交流电流，即 i = Imsin t，则可见，正弦交流电流的有效值等于最大值的 倍或0.707倍。同理，正弦交流电压、正弦交流电动势的有效值均为各自最大值的0.707倍 。 一般所指的正弦电流、电压或电动势的大小，都是指的有效值。例如，交流电流表和电压表测出的值是有效值，电气设备铭牌上标注的额定值也是有效值。 我国的交流电源电压称为工频电压，它的有效值为220 V、频率为50Hz。 有效值、频率、初相这3个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三要素 。,3.2 正
10、弦量的相量表示法,基本概念：正弦量的相量表示法是线性电路正弦稳态分析的一种简便而又有效的方法。该方法可以将繁琐的三角函数运算进行简化，从而能够方便正弦电流电路的分析运算，这需要运用复数来实现。,3.2 正弦量的相量表示法,3.2.1 复数及其运算 3.2.2 正弦量的相量表示法,3.2.1 复数及其运算,复数的概念在直角坐标系中，以横轴为实数轴，用+1表示，纵轴为虚数轴，用+j表示，这样就组成了复平面，复数可以作为一个点A(a，b)表示在复平面上 ，如图的复数为A = a + jb。,图3.3 复数在复平面上的表示,3.2.1 复数及其运算,一个复数A有以下4种表达式。 1) 代数形式A =
11、a + jb 式中， a叫做复数A的实部，b叫做复数A的虚部。 2）三角函数式A=a+jb = (cos jsin) 式中，叫做复数A的模，又称为A的绝对值， 叫做复数A的辐角 。 3）指数形式A =(cos jsin) = 4）极坐标形式A=,3.2.1 复数及其运算,从图中可以看出，复数A的实部a、虚部b与模 成一个直角三角形。三者之间的关系为 a= cosb= sin 注意：复数的4种形式均可以相互转换 。,3.2.1 复数及其运算,例3-5 将下列复数转化为极坐标形式： (1)Z1 = 5； (2) Z 2 = j3； (3) Z3 = 16 j12 解：利用复数的代数形式,计算结果如
12、下： (1) Z1= 5 = 50 (2) Z2= j3 = 390 (3) Z3= 16 j12 = 2036.9,3.2.1 复数及其运算,例3-6 将下列复数转化为代数形式： (1)Z1= 5053.1；(2) Z2 = 10 120。 解：利用复数的三角形式,计算如下： (1) Z1= 5053.1 = 50(cos53.1 + jsin53.1) = 50(0.6 + j0.8)= 30 + j40 (2) Z2 = 10 120 = 10(cos120 jsin120) = 10( 0.5 j0.866) = 5 j8.66,3.2.1 复数及其运算,2. 复数的运算 （1）复数的
13、加、减法运算。复数的加、减法运算须采用代数形式进行。运算时，应该把复数的实数部分与实数部分相加、减，虚数部分与虚数部分相加、减。 （2）复数的乘法运算复数的乘法运算既可以采用代数形式，也可以采用指数形式(或极坐标形式)。用指数形式比较方便 ，两个复数乘积的模值等于这两个复数的模值的乘积，而其辐角等于这两个复数辐角的和。,3.2.1 复数及其运算,（3）复数的除法运算。除法运算也有两种方法。当用代数形式运算时，由于分母里出现了复数，为了使分母为实数，必须在分子分母同乘上分母的共轭复数a2-jb2。采用指数形式进行除法运算更具优越性。两个复数相除的模值等于这两个复数的模值的相除，而其辐角等于这两个
14、复数辐角的差。 （4）复数的乘方运算。类似于乘法运算，采用指数形式(或极坐标形式)运算才方便。复数的乘方的模值等于这n个复数的模值的乘积，而其辐角等于这n个复数辐角的和。,3.2.1 复数及其运算,例3-7 已知 Z1= 4 +j3， Z2 = 6 j8。 试求：(1) Z1 Z2； (2) Z1 Z2； (3) Z1 Z2；(4)Z1 / Z2；(5) (Z1) 。 解：(1) Z1 + Z2 = (4+ j3) + (6 j8) = 10 j5 = 11.18-26.6 (2) Z1 Z2 = (4+ j3) (6 j8) = 2 + j11 = 11.18100.3 (3) Z1 Z2
15、= (536.9) (10-53.1 ) = 50-16.2 (4) Z1 / Z2 = (536.9) (10-53.1) = 0.590 (5) (Z1)2 =(536.9)2 = 2573.8,2,3.2.2 正弦量的相量表示法,复指数函数 A(t)= 和一般复数不同，不仅是复数，而且辐角还是时间的函数。 根据欧拉公式，一个复指数函数的虚数部分是一个正弦函数，所以正弦量可以用上述复指数函数来描述，使正弦量与其虚数部分一一对应起来。 有效值相量是以正弦量的有效值为模、初相角为辐角，记为,3.2.2 正弦量的相量表示法,在大写字母I上加小圆点来表示相量，既可以区分有效值的表示，也可以与一般复
16、数区分开来。 类似的，设正弦电压 则其振幅相量和有效值相量分别为通常简称的相量表示法都是指有效值相量的表示方法，因为在实际应用中较多涉及的是正弦量的有效值。,3.2.2 正弦量的相量表示法,例3-8 请写出正弦量u = 311sin(314t 30 ) V，i = 4.24sin(314t 45) A 相量形式。 解：(1) 正弦电压u的有效值为U = 0.7071 311 = 220 V初相=30 所以其相量为(2) 正弦电流i的有效值为I = 0.7071 4.24 = 3 A初相=-45所以其相量为,3.2.2 正弦量的相量表示法,例3-9 请写出下列正弦相量的瞬时值表达式，设角频率为：
17、 (1) ； (2) 。 解：(1) (2),3.2.2 正弦量的相量表示法,例3-10 已知 ， 。 试求： 解：电流i1、i2对应的相量形式为复数的加法运算为总电流的瞬时表达式为相量图如图3.4所示。,图3.4 例3-10相量图,3.3 单一参数的交流电路,3.3.1 电阻元件电路 3.3.2 电感元件电路 3.3.3 电容元件电路,3.3 单一参数的交流电路,电阻元件、电感元件和电容元件都是构成电路模型的理想元件，前者是耗能元件，后两者是储能元件。 在直流稳态电路中，电感元件可视为短路，电容元件可视为开路，只讨论电阻对电路的阻碍作用。 但在正弦交流电路中，这3种元件将显现它们各自不同的电
18、路特性，所以必须先讨论单一元件在正弦电路中的特性。,3.3.1 电阻元件电路,只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路，如含有白炽灯、电炉、电烙铁等的电路。 1. 交流电路中的电阻元件电阻就是表征导体对电流呈现阻碍作用的电路参数。对于金属导体，可用下式计算：R=,3.3.1 电阻元件电路,2. 电阻电流与电压的关系 1) 电阻电流与电压的瞬时值关系如图3.5，电阻与电压、电流的瞬时值之间的关系服从欧姆定律 。设加在电阻R上的正弦交流电压瞬时值为 则,图3.5 纯电阻电路,3.3.1 电阻元件电路,2）电阻电流与电压的有效值关系电压、电流的有效值关系又叫做大小关系 。正弦交流电压和电流的振幅之间满
19、足欧姆定律 ，为：两边同时除以，即得到有效值关系：可见，电阻元件上电压和电流成线性关系。 3）电阻电流与电压的相位关系为同相 4）电阻电压与电流的相量关系 上式又叫做欧姆定律的相量形式 。其波形图和相量图分别如图3.6(a)、3.6(b)所示。,图3.6 电阻电压与电流的 波形图与相量图,3.3.1 电阻元件电路,3. 功率 1) 瞬时功率瞬时功率是电路在任一瞬间所吸收或发出的功率，用小写字母p表示。在关联参考方向下，瞬时功率为正，表明外电路从电源取用电能，电路在消耗电能。在纯电阻电路中，由于电压与电流同相，即相位差 = 0，则瞬时功率可见，电阻的瞬时功率由两部分组成，第1部分是常数UI，第2
20、部分是幅值为UI，并以角频率2 随时间变化的交变量,3.3.1 电阻元件电路,2) 有功功率有功功率即平均功率，是瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示。有功功率反映了电路在一个周期内消耗电能的平均速率。可见，纯电阻电路消耗的平均功率的计算公式与直流电路中功率的计算公式相同，表明了电阻元件上实际消耗的功率。其SI单位为瓦特(Wt)或简写为(W)。电阻元件又称为耗能元件。,3.3.1 电阻元件电路,例3-11 在纯电阻电路中，已知电阻R = 22 ，正弦交流电压u = 311sin(314t +60 ) V，求通过该电阻的电流大小及功率，并写出电流的解析式。 解：大小即有效值为功率为电流
21、的解析式为,3.3.2 电感元件电路,只含有电感元件的交流电路叫做纯电感电路，如只含有理想线圈的电路。 1. 交流电路中的电感元件 1) 感抗的概念反映电感对交流电流阻碍作用程度的电路参数叫做电感电抗，简称感抗，用 表示。 2) 感抗的因素纯电感电路中通过正弦交流电流时，呈现的感抗为式中，L是线圈的自感系数，简称自感或电感，电感的SI单位是亨利(H)或简写为亨(H),3.3.2 电感元件电路,线性电感：又叫作空心电感，线圈中不含有导磁介质，电感L是一常数，与外加电压或通电电流无关。 非线性电感：线圈中含有导磁介质，电感L不是常数，是与外加电压或通电电流有关的量，例如铁芯电感。本书中只讨论线性电
22、感元件。 3）电感线圈在电路中的作用低频扼流圈： “通直流、阻交流”高频扼流圈： “通低频、阻高频”,3.3.2 电感元件电路,2. 电感电流与电压的关系 1)电感电流与电压的瞬时值关系 如图3.7所示的纯电感电路， 设正弦电流为 根据电磁感应定律及基尔霍夫定律 得出则,图3.7 纯电感电路,3.3.2 电感元件电路,2) 电感电流与电压的有效值关系由上式可知，电感电流与电压的大小关系为或者 显然，感抗与电阻的单位相同，都是欧姆()。感抗只是电感上电压与电流的幅值或有效值之比，而不是其瞬时值之比，瞬时电压与瞬时电流不是线性比例关系。,3.3.2 电感元件电路,3) 电感电流与电压的相位关系在相
23、位上，电感电压比电流超前90(或 /2)，即电感电流比电压滞后90。 4) 电感电压与电流的相量关系可见，电感电压的有效值等于电流有效值与感抗的乘积，在电流相量上乘以算子j，即向空间逆时针方向旋转，表示电压比电流超前 90。,3.3.2 电感元件电路,3. 功率 1) 瞬时功率在纯电感电路中，由于电压比电流超前，即电压与电流的相位差 =90 则可见，电感瞬时功率的幅值为 ，角频率为 。 2) 有功功率可见，电感在一个周期内的平均功率为零，表明电感元件是一个储能元件，在电路中不消耗功率(能量)。,3.3.2 电感元件电路,3) 无功功率电感上瞬时功率的最大值称为无功功率，即电感的无功功率用字母
24、表示，单位为乏(var)或千乏(kvar)。电感在电路中只与电源之间进行着可逆的能量交换，用无功功率来表示这种能量交换的大小。,3.3.2 电感元件电路,例3-12 已知电感L = 80mH，外加 。 试求：(1) 感抗 ；(2) 电感上的电流I；(3) 电流瞬时值i。 解：(1)电路中的感抗为(2)电感上的电流为(3)电流瞬时值为 由于电感电流i比电压 滞后90，所以,3.3.3 电容元件电路,只含有电容元件的交流电路叫做纯电容电路，如只含有电容器的电路。 1. 交流电路中的电容元件 1) 容抗的概念反映电容对交流电流阻碍作用程度的电路参数叫做电容电抗，简称容抗。用 表示。容抗按下式计算式中
25、，C是电容器的电容量，简称电容，电容的SI单位是法拉(FL)或简写为法(F)。 2) 电容在电路中的作用隔直电容器：用于“通交流、隔直流”，高频旁路电容器：用于“通高频、阻低频”，将高频电流成分滤除。,3.3.3 电容元件电路,2. 电容电流与电压的关系 1)电容电流与电压的瞬时值关系 如图3.9所示为纯电容电路 设正弦电压为 根据得出,图3.9 纯电容电路,3.3.3 电容元件电路,2) 电容电流与电压的有效值关系由上式可知，电容电流与电压的大小关系为或者 显然，容抗与电阻的单位相同，都是欧姆()。容抗只是电容上电压与电流的幅值或有效值之比，而不是其瞬时值之比，瞬时电压与瞬时电流不是线性比例
26、关系。 3) 电容电流与电压的相位关系在相位上，电容电流比电压超前90(或 /2)，即电容电压比电流滞后90。,3.3.3 电容元件电路,4) 电容电压与电流的相量关系可见，电容电压的有效值等于电流有效值与容抗的乘积，在电流相量上乘以算子(-j)，即向空间顺时针方向旋转，表示电压比电流滞后90。,3.3.3 电容元件电路,3. 功率 1) 瞬时功率在纯电容电路中，由于电流比电压超前，即电流与电压的相位差 =90 则可见，电感瞬时功率的幅值为 ，角频率为 。 2) 有功功率可见，电容在一个周期内的平均功率为零，表明电容元件是一个储能元件，在电路中不消耗功率(能量)。,3.3.3 电容元件电路,3
27、) 无功功率电容上瞬时功率的最大值称为无功功率，即电容的无功功率用字母 表示，单位为乏(var)或千乏(kvar)。电容在电路中只与电源之间进行着可逆的能量交换，用无功功率来表示这种能量交换的大小。,3.3.3 电容元件电路,例3-13 已知一12.7F的电容，外加交流电压 V，试求：(1) 容抗 ；(2) 电容上的电流大小 ；(3) 电流瞬时值 。 解：(1) 电路的容抗为(2) 电容上的电流为(3) 电流的瞬时值 由于电容电流比电压超前90，则,3.4 电阻、电感和电容串联的交流电路,3.4.1 电压和电流的关系3.4.2 功率关系,3.4.1 电压和电流的关系,1. RLC串联电路的电压
28、和电流关系由电阻、电感、电容相串联构成的电路叫做RLC串联电路。如图3.11(a)所示，电路中的各个元件经过相同电流。选取电压电流为关联参考方向，设电路中电流为参考正弦量，则根据R、L、C的基本特性，可得各元件的两端电压依次为,3.4.1 电压和电流的关系,图3.11 RLC串联电路及相量图,3.4.1 电压和电流的关系,根据基尔霍夫电压定律(KVL)，在任一时刻总电压u的瞬时值为则相量形式为从相量图3.11(c)中可以看出，电压相量 、 以及 正好形成一个直角三角形，这个直角三角形被称为电压三角形。式中， 称为电抗电压，表示电感与电容串联后的总压降，其正、负以及零值反映电路的不同工作性质。,
29、3.4.1 电压和电流的关系,从电压三角形中还可以得出总电压与电流之间的相位差，即角的正负表示总电压与电流的相位关系。和电抗电压一样，都能反映电路的不同工作性质。 2. RLC串联电路的阻抗 根据各元件的电压与电流的相量关系，可得右式就是正弦交流电路相量形式的欧姆定律,3.4.1 电压和电流的关系,其中式中， Z 称为电路的复阻抗，单位为欧姆()。称为电抗，单位也是欧姆()。为复阻抗的模值，包含了电阻和电抗，又称为阻抗。为复阻抗Z的辐角，又称阻抗角，其大小只决定于电路参数即电阻和电抗，而与电路的电压和电流无关。可以看出，R、X 和 也组成直角三角形，称其为阻抗三角形。比较图3.13所示阻抗三角
30、形和图3.14电压三角形，不难发现，阻抗三角形与电压三角形互为相似三角形。,3.4.1 电压和电流的关系,从复阻抗的表达式中可以看出，R、X和 也组成直角三角形，称其为阻抗三角形。比较图3.13所示阻抗三角形和图3.14电压三角形，不难发现，阻抗三角形与电压三角形互为相似三角形。对应边之间的倍数关系正好为电流I的大小。即图3.13RLC串联电路的阻抗三角形 图3.14 RLC串联电路的电压三角形,3.4.1 电压和电流的关系,由阻抗三角形和电压三角形，可以求出总电压与电流的相位差为3. RLC串联电路的性质从上式可以看出，电抗X的正负决定阻抗角的正负，而阻抗角的正负反映了总电压与电流的相位关系
31、。因此可以根据阻抗角 为正、为负、为零的3种情况，将电路分为3种性质。,3.4.1 电压和电流的关系,(1) 感性电路：当X 0时，即X L X C， 0，UL UC，总电压u比电流i超前，表明电感的作用大于电容的作用，电抗是电感性的，称感性电路； (2) 容性电路：当X 0时，即X L X C， 0，UL UC，总电压u比电流i滞后|，电抗是电容性的，称容性电路； (3) 电阻性电路：当X = 0时，即X L = X C， = 0，UL = UC，总电压u与电流i同相，表明电感的作用等于电容的作用，达到平衡，电路阻抗是电阻性的，称电阻性电路。当电路处于这种状态时，又叫做谐振状态(3.7节)。
32、需要注意的是，复阻抗不是相量，不是时间的正弦函数。,3.4.1 电压和电流的关系,例3-14 已知RLC串联电路中， 交流电源电压u= 311sin(314t -30)V， R = 30 ， L = 445 mH，C = 32F。试求：(1) 电路中电流的瞬时表达i；(2) 电路中电压与电流的相位关系，并分析性质；(3) 各元件上的电压UR、UL、UC。 解：(1)求电路中的电流I 因为 所以,3.4.1 电压和电流的关系,(2) 电路中电压与电流的相位关系即总电压比电流超前53.1，电路呈感性。 由此，得出电流的瞬时表达式为(3) 各元件电压的有效值UR = RI = 304.4 = 132
33、VUL = X LI = 1404.4 = 616VUC = X CI = 1004.4 = 440V从计算结果发现，电感电压、电容电压都比电源电压高，在交流电路中各元件上的电压可以比总电压大，这是交流电路与直流电路特性的不同之处。,3.4.1 电压和电流的关系,例3-15 在RL串联电路中，已知：R = 4 ，L = 9.6mH，设外加电压 u = 311sin(314t 60)V。试求：电阻和电感上电压的瞬时值。 解：感抗为电路的等效复阻抗为Z = R + j(XL XC )= R + jXL = 4 + j3 = 536.9 正弦交流电压u的相量为22060 V 电路中电流相量为(603
34、6.9)= 4423.1 A,3.4.1 电压和电流的关系,则电阻和电感上的电压相量分别为44423.1 = 17623.1 V344(23.1+90) = 132113.1 V 电阻和电感上的电压瞬时值分别为sin(314t + 23.1) Vsin(314t + 113.1) V,3.4.2 功率关系,1. 瞬时功率p设正弦交流电路电流i为参考正弦量，正弦交流电路的总电压u与总电流i的相位差(即阻抗角)为 ，则电压与电流的瞬时值表达式为i = Imsin(t) u = Umsin( t )则瞬时功率为 p = ui = UmImsin(t )sin(t)因为 sin(t ) = sin(t
35、)cos cos(t)sin所以,3.4.2 功率关系,可见，正弦交流电路的瞬时功率不再是正弦波形，其第1项和电压电流相位差 的余弦值cos 有关，而第2项和电压电流相位差 的正弦值sin 有关 。 2. 有功功率P前面已经叙述过，有功功率即平均功率，则正弦电路在一个周期内的平均功率为,3.4.2 功率关系,可见，瞬时功率 第1项在一个周期内的平均值为UI cos ； 第2项在一个周期内的平均值为零。 则瞬时功率P在一个周期内的平均值(即有功功率)为P = UI cos 由上式知，正弦交流电路的有功功率与阻抗角的余弦cos有关。cos是计算正弦交流电路功率的重要因子，称为功率因数，用表示。,3
36、.4.2 功率关系,3. 无功功率Q在瞬时功率 中，第2项表示交流电路与电源之间进行能量交换的瞬时功率，|UIsin |是这种能量交换的最大功率，并不代表电路实际消耗的功率。定义正弦交流电路的无功功率为无功功率用大写字母Q表示，单位是乏尔，简称乏(var)。当 0时，Q 0， ，电路呈感性；当 0时，Q 0， ，电路呈容性；当 = 0时，Q = 0， = ，电路呈电阻性。,3.4.2 功率关系,4. 视在功率S 在正弦交流电路中，电源电压有效值与总电流有效值的乘积(UI)叫做视在功率，用大写字母S表示，即S = UI 视在功率的单位是伏安(VA)或千伏安(kVA)，代表了正弦交流电源向电路提供
37、的最大功率，又称为电源的功率容量。因此 P = Scos Q = Ssin 显然，有功功率P、无功功率Q和视在功率S三者之间构成直角三角形关系，这个直角三角形称为功率三角形。即,3.4.2 功率关系,此直角三角形称为功率三角形，如图3.15比较图3.16中的阻抗三角形，电压三角形以及功率三角形可得出：这三个直角三角形之间互为相似三角形，比如，阻抗三角形与功率三角形的对应边之间的倍数关系正好为电流的平方。即,图3.15 功率三角形,3.4.2 功率关系,对于正弦交流电路而言，功率总是守恒的，消耗在电路中总的有功功率等于电路各部分有功功率之和，总的无功功率等于电路各部分无功功率的代数和。因为消耗的
38、有功功率总是为正，而电感和电容所储放的能量有正有负。即需要注意的是，总的视在功率并不等于电路各部分视在功率之和。,图3.16 阻抗三角形、电压三角形、功率三角形的比较,3.5阻抗的串联和并联,3.5.1 阻抗的串联 3.5.2 阻抗的并联,3.5.1 阻抗的串联,分析研究的电路常常是若干个复阻抗的串、并、混联起来的，所以搞清 楚复阻抗的串联、并联的特性对于电路的研究分析很有帮助。 如图3.17所示复阻抗串联电路。根据基尔霍夫电压定律KVL，总电压为可见，当n个复阻抗Z1、Z2、Zn串联时， 可以等效为一个复阻抗， 即等效复阻抗Z等于各个复阻抗之和。Z = Z1 Z2 Zn,图3.17 复阻抗串
39、联电路,3.5.2 阻抗的并联,如图3.18所示复阻抗并联电路。根据基尔霍夫电流定律KCL，总电流为可见，当n个复阻抗Z1、Z2、Zn并联时，也可以等效为一个复阻抗，即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。,图3.18 复阻抗并联电路,3.5.2 阻抗的并联,为便于表达和计算阻抗并联电路，定义复阻抗Z的倒数叫做复导纳， 用大写字母Y表示，即可见 即几个并联复导纳的等效导纳Y等于各复导纳之和。 由此，欧姆定律的相量形式可表达为如下两种形式,3.5.2 阻抗的并联,当只有两个复阻抗并联时，如图3.19所示，可以不将复阻抗化为复导纳， 可直接用复阻抗进行运算，其等效复阻抗为此时两支路电流分别
40、为图3.19 两个复阻抗的并联 在正弦交流电路中，求解串联或并联的等效复阻抗的方法与求解串联或并联的等效电阻的方法相似。只不过复阻抗的计算需要按照复数运算法则进行。,3.5.2 阻抗的并联,例3-16 在图3.19中，两个复阻抗分别是Z1 = j10，Z2= (10 j10)，交流电源 ，试求：电路中的总阻抗Z及电流 、 和 。 解：由Z1= j10 可得由Z2 = (10 j10) 可得即可以用两种方法求总电流,3.5.2 阻抗的并联,(1) 直接由 可得并联后的等效复阻抗为于是总电流的相量(2) 利用进行计算,3.5.2 阻抗的并联,于是总电流的相量因此，各分支电流相量分别为,3.6 功率
41、因数的提高,3.6.1 功率因数的概念及功率因数提高的意义 3.6.2 功率因数的提高,3.6.1 功率因数的概念及功率因数提高的意义,1、功率因数的概念 阻抗角的余弦叫做正弦交流电路的功率因数，用字母表示， 即 = cos 从功率三角形中可以得出 = cos = 可见，正弦交流电路的功率因数等于有功功率与视在功率的比值。 因此，电路的功率因数能够表示出电路实际消耗功率占电源功率容量 的百分比。,3.6.1 功率因数的概念及功率因数提高的意义,2、功率因数提高的意义 在交流电力系统中，负载多为感性负载 。在交流电路中，负载从电源接受的有功功率P = UIcos，显然与功率因数有关。功率因数过低
42、会引起不良后果。 负载的功率因数低，使电源设备的容量不能充分利用。 在一定的电压U下，向负载输送一定的有功功率P时，负载的功率因数越低，输电线路的电压降和功率损失越大。 常用的感应电动机在额定负载时约为0.830.85 。应设法提高这类感性负载的功率因数，以降低输电线路电压降和功率损耗。,3.6.2 功率因数的提高,提高感性负载功率因数的最简便的方法，是用适当容量的电容器与感性负载并联。这样就可以使电感中的磁场能量与电容器的电场能量进行交换，从而减少电源与负载间能量的互换。在感性负载两端并联一个适当的电容后，对提高电路的功率因数十分有效。,3.6.2 功率因数的提高,如图3.20所示，线路总电
43、流等于负载电流与电容支路电流的相量和，从图(b)可知，由于电容支路电流超前端电压90，这个超前的无功电流部分抵消了感性负载中滞后的无功分量，从而减小总电流中的无功分量，使总电流比负载电流小，功率因数角也减小了，即 ， ，提高了整个电路的功率因数。,图3.20 提高功率因数的方法,3.6.2 功率因数的提高,借助相量图分析可以得到： 对于额定电压为U、额定功率为P、工作频率为f的感性负载，电容 器补偿的无功功率 ，所需并联的电容为,3.6.2 功率因数的提高,例3-17 已知某单相电动机(感性负载)的额定功率P = 1.2kW，额定电流I = 10A，工频电压U = 220V。试求：把电路功率因
44、数 提高到0.9 时，应并联电容器的容量。 解：(1) 视在功率S = UI = 22010 = 2.2kVA 电动机的功率因数,3.6.2 功率因数的提高,(2) 把电路功率因数提高到 = cos = 0.9时则应并联电容器的电容为,3.7 电路的谐振,3.7.1 串联谐振 3.7.2 并联谐振,3.7 电路的谐振,具有电阻、电感和电容的正弦交流电路，该类电路性质可以是电感性的，也可以是电容性的，还可以是电阻性的，而电阻性的状态就是谐振状态。 谐振现象是正弦交流电路中的一种特殊现象，谐振现象一方面在电子技术与工程技术中有着积极广泛的应用，另一方面在某些系统中若发生谐振可能会带来严重危害，所以
45、有必要分析和研究谐振现象。 工作在谐振状态下的电路称为谐振电路。 谐振电路最为明显的特征是整个电路呈电阻性，即电路的等效阻抗为Z0 = R，总电压u与总电流i同相。 根据发生谐振的电路连接方式的不同，谐振可分为串联谐振和并联谐振两种 。,3.7.1 串联谐振,在RLC串联电路中发生的谐振现象称为串联谐振。如图3.21所示。 1. 谐振条件与谐振频率 在RLC串联电路中，外加正弦交流电压为 ，设电流 为参考正弦量，则电路的复阻抗为发生串联谐振的条件是复阻抗的虚部为零即,图3.21 RLC串联谐振电路,3.7.1 串联谐振,发生谐振时的角频率 为 谐振频率为可见，串联谐振频率fo只决定于电路中的电
46、感L与电容C，与串联 电阻R无关。L和C是电路中的固有结构参数，所以通常又称谐振 频率fo为固有频率。,3.7.1 串联谐振,2. 串联谐振电路的特点 1) 阻抗最小，电路呈电阻性当外加电源的频率 时，电路发生谐振，由于 ，则此时电路的阻抗达到最小值，称为谐振阻抗 ，即 2) 电流达到最大值谐振时电路中的阻抗为最小值，在外加电压不变的情况下，电流将达到最大值，称之为谐振电流 ，即串联谐振电路中的电阻对谐振频率没有影响，但可以调节谐振电流。,3.7.1 串联谐振,3) 谐振时的感抗与容抗电路发生谐振时，感抗与容抗相互抵消，电抗等于零，然而此时的感抗或容抗并不等于零，定义串联谐振时的感抗或容抗为特
47、性阻抗，用符号 表示，单位为欧姆()。可见，与谐振频率无关，和谐振频率一样只决定于电路参数L和C 。,3.7.1 串联谐振,4) 电感L与电容C上的电压串联谐振时，电感L与电容C上的电压相位相反，但大小相等，即串联谐振电路的特性阻抗与串联电阻值之比叫做串联谐振电路的品质因数，用大写字母Q表示(注意不要和无功功率混淆)，即所以有,3.7.1 串联谐振,可见，当RLC串联电路发生谐振时，电感L与电容C上的电压大小都是外加电压U的Q倍，当Q1时，会在电感和电容两端出现远远高于外加电压U的高电压，称为过电压现象，所以串联谐振电路又叫做电压谐振电路。在实际电路中，Q值可以高达几百，例如收音机的磁性天线回路就是一个串联谐振电路，就是利用串联谐振是电压谐振的这一特点来提高微弱信号的幅值。但是在电力系统中，应该避免出现谐振现象，电感和电容两端的高压会破坏系统的正常工作。如右图所示为串联谐振的电压相量图。,
