1、探索轴对称的性质【本讲教育信息】一、教学内容探索轴对称的性质（第七章第三节）1. 轴对称的性质。2. 画各种轴对称图形的对称轴。二、教学目标1. 探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。2. 掌握轴对称的性质，并能够综合运用常见的几类轴对称图形的性质解决一些简单的实际问题。3. 能利用轴对称的性质确定轴对称图形的对称轴。三、知识要点分析知识点 1：轴对称的性质（重点、难点）轴对称是指两个图形的形状、大小、位置之间的关系，它们必须满足两个条件：（1）两个图形的形状、大小完全相同；（2）把其中一个图形沿某一直线翻折后能与另一个图形重合。提示 1：
2、（1 ）关于某条直线对称的图形是全等图形；（2 ）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线；（3 ）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上。提示 2：连接轴对称图形或成轴对称的两个图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 “被对称轴垂直平分”包含两层含义：一是对称轴是一条垂线；二是对应点到对称轴的距离相等。提示 3：轴对称图形或成轴对称的两个图形上的对应线段相等、对应角相等。画出轴对称图形的对称轴，可以看作把一个轴对称图形分成了两个全等图形，原来一个图形中的对应线段和对应角，就成了两个全等图形中的对应线段和对应角，与全等三
3、角形中的对应边相等、对应角相等一样，这里的对应线段和对应角也是相等的。知识点 2：利用轴对称的性质确定对称轴（重点、难点）连接任意一对对应点，得到一条线段，这条线段的垂直平分线就是对称轴。举例说明：下面是成轴对称的两个图案，请画出对称轴。过程：先确定一对对应点，下面图案中，C、C是一对对应点，连接 CC，用测量的方法确定 CC的中点，过该中点作 CC的垂线，这条垂线 l 就是对称轴。【典型例题】考点一：轴对称的性质例 1、如图，ABC 与ABC关于直线 l 对称，且A=78，C=48，则B 的度数为（ ）A. 48 B. 54 C. 74 D. 78【题意分析】本题给出两个成轴对称的三角形以及
4、对称轴，要求求一个角的度数。【思路分析】根据轴对称的性质，若想求B，首先要确定两个三角形各角的对应角。由于B 与B是对应角，C 与C是对应角，A 与A 是对应角，因此C= C=48 ，在ABC 中，B=180AC=180 78 48=54。故本题答案是 B。如果不能正确确定对应角，则有可能错选 A 或 D 或 C 选项。【答案】B反思：本题主要考查的是轴对称性质的应用，即对应线段相等、对应角相等。例 2、如图，RtABC 中，ACB=90，A=50 ，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上的 A处，折痕为 CD，则ADB（ ）A. 40 B. 30 C. 20 D. 10【题意分析】本题给出一个
5、直角三角形通过折叠后的图形，要求根据图形确定某个角的度数。【思路分析】根据轴对称的性质，通过折叠ACD 与ACD 互相重合，即ACD ACD，所以ACD= ACD=45 ，A= CAD=50 ，根据三角形的内角和定理，可求B=40，根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的内角和可知，CAD=ADB+B =50，可求ADB=5040 =10。故选 D。【答案】D反思：解决此类问题的关键是轴对称性质的应用.例 3、矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2 。将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，此时 CF=12，折叠后在其一面着色（如图） ，则着色部分的面积为_ 。【题意分析】
6、本题所给的是将矩形折叠后的图形，要求确定折叠后部分图形的面积.【思路分析】如下图所示，连接 AF，将矩形纸片沿 EF 折叠，AFD 与CGF 重合，也就是两个三角形全等，说明两个三角形的面积相等；AEF 与CEF 重合，则两个三角形全等，两个三角形的面积相等，所以着色部分的面积矩形的面积AEF 的面积=矩形的面积CEF 的面积 =8 21= 5。【答案】 52反思：本题利用轴对称的性质，即通过折叠，重合部分是全等图形，故面积相等这一性质来解决问题。小结：以上三例均考查的是轴对称的性质，在利用轴对称的性质解决问题时，一定要注意互相重合的图形是全等图形，对应线段相等，对应角相等。考点二：拓展应用例
7、 4、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在着这种图形变换（如图 1） 结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图 2）的对应点所具有的性质是（ ）A. 对应点连线与对称轴垂直B. 对应点连线被对称轴平分C. 对应点连线被对称轴垂直平分D. 对应点连线互相平行【题意分析】本题给出滑动对称变换的概念，要求根据滑动对称变换的概念来解决问题。【思路分析】这个题目属于阅读理解题，平移是将某个图形沿某一方向平行移动，这种变换不改变图形的形状与大小。如下图，A，A
8、是一对对应点，连接 AA与所给直线交于点 O，通过测量，可以发现 OA=OA，但是 AA与所给直线并不垂直。连接其他对应点，也会发现这样的结论。连接 BB，可以发现 AA与 BB两线段所在的直线并不平行，所以本题答案是 B。【答案】B反思：解决此类问题时，除了要理解题目所给的概念外，还要通过动手操作来探索对应点的连线与所给直线之间的关系。例 5、如图，AOB 内一点 P，分别画出 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P 2，连 P1P2 交 OA于 M，交 OB 于 N，若 P1P2=5cm，则PMN 的周长为多少 ?【题意分析】本题给出一个角和角内一点，以及该点关于角的两边对称的对应点，要
9、求确定三角形的周长。【思路分析】由于 OA 是 P，P 1 的对称轴，故 OA 垂直平分 PP1，所以 P1M=PM，同理PN=P2N，根据这一结论即可解决问题.【答案】 P、P 1，P、P 2 关于 OA、OB 对称，PM=P 1M，PN=P 2N， PMN 的周长P 1P2PMN 的周长是 5cm。反思：解决此类问题的关键是根据轴对称的性质把三角形的周长问题转化成一条线段的长度问题进行求解。例 6、如下图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 处到河岸的距离分别为 AC、BD ，且 ACBD，若 A 处到河岸 CD 的中点的距离为 500m。（1 ）牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再
10、回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；（2 ）最短路程是多少米？【题意分析】本题已知直线 CD 和 CD 同侧两点 A、B ，求作 CD 上一点 M，使 AMBM最小。【思路分析】我们仍要把这个问题转化成轴对称的性质应用的题目来进行求解。先确定点 A 关于河对称的点 A，连结 AB，交 CD 于点 M，则该点就是所要求作的点.说明最短原因时，可利用三角形的三边关系解答。【解】（1 ）作法：作点 A 关于 CD 的对称点 A，连结 AB 交 CD 于点 M，则点 M 即为所求的点。理由如下：在 CD 上任取一点 M，连结 A M、AM、B M、AM，直线 CD 是 A、
11、A的对称轴，M、M 在 CD 上，AM A M， A MA M ，AM BMAMBMAB，在AMB 中，AM+ B M AB（三角形任意两边之和大于第三边）AM B M AMBM ，即 AMBM 最小。（2 ）由（1 ）可得：AMA M ，A CACBD，ACMBDM，AMBM，CMDM，即 M 为 CD 的中点，且 AB2AM，AM 500m ， BAMBM2AM1000m。答：最短路程为 1000m。反思：本题考查轴对称的实际应用，其关键是理解实际应用问题的理论依据，建立轴对称的数学模型。小结：以上几例是轴对称性质的拓展应用，我们在解决此类问题时，注意数学思想的转化。【本讲涉及的数学思想和
12、方法】 本讲主要涉及轴对称的性质及其应用.轴对称的主要性质有二：一是对应点所连的线段被对称轴垂直平分；二是对应线段相等，对应角相等.在学习过程中主要体会数学思想的转化，就是把线段和的最小值问题转化成轴对称的问题进行求解。预习导学案（第七章 第 46 节 利用轴对称设计图案、镜子改变了什么、镶边与剪纸）一、预习要点1. 如何利用轴对称设计图案2. 镜子与轴对称的关系3. 利用轴对称如何进行镶边与剪纸二、预习导学探究与反思探究任务 1：利用轴对称设计图案【反思】已知一个点与一条直线，如何确定该点关于该直线的对称点？探究任务 2：镜子改变了什么【反思】镜子里的图形与原来的图形_。三、牛刀小试1. 在
13、“工、木、口、民、公、晶、离”这几个汉字中，是轴对称的有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个2. 如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ）3. 从平面镜里看到背后墙上电子钟显示数如图所示，这时的时间应是（ ）A. 21：05 B. 21：15 C. 20：15 D. 20：054. 如图，镜子中号码所显示的实际号码是_。5. 画出图中四边形 ABCD 关于直线 l的轴对称图形，找出它的对应点、对应角和对应线段。【模拟试题】 （满分 100 分，答题时间：90 分钟）一、认认
14、真真选（每题 4 分，共 32 分）1. 两个图形关于某直线对称，对称点一定在（ ）A. 这条直线的两旁 B. 这条直线的同旁C. 这条直线上 D. 这条直线两旁或这条直线上2. 以下结论正确的是（ ）A. 两个全等的图形一定成轴对称 B. 两个全等的图形一定是轴对称图形C. 两个成轴对称的图形一定全等 D. 两个成轴对称的图形一定不全等3. 下列说法中正确的有（ ）角的两边关于角平分线对称两点关于连接它的线段的中垂线对称成轴对称的两个三角形的对应点，或对应线段，或对应角也分别成轴对称到直线 l 距离相等的点关于 l 对称A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4. 下列说法错误
15、的是（ ）A. 等边三角形是轴对称图形B. 轴对称图形的对应边相等，对应角相等C. 成轴对称的两条线段必在对称轴一侧D. 成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分5. 如下所示的 4 组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的有（ ）A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组6. 下列说法正确的是（ ）A. 等腰三角形顶角可以是锐角，则底角可以是钝角B. 两个点一定成轴对称C. 两条相交直线不会是轴对称图形D. 两条平行直线不会是轴对称图形7. 下列描述正确的有（ ）任何图形都有对称轴；等腰三角形是轴对称图形；ABC 与A BC关于直线 l 对称，则 ABC A BC；角都是轴对
16、称图形。A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个8. 已知互不平行的两条线段 AB、AB关于直线 l 对称，AB 和 AB所在的直线交于一点 P，下列结论：（ 1）AB=AB；（2）点 P 在直线 l 上；（3 ）若 A、A是对称点，则直线 l 垂直平分线段 AA；（4 ）若 B、B是对称点，则 PB=PB。其中正确的结论有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个二、仔仔细细填（每小题 4 分，共 28 分）9. 轴对称图形对应点连线被_，对应角、对应线段都 _。10. 设 A、B 两点关于直线 MN 成轴对称，则_垂直平分_ 。11. 过 MN 直线外一点
17、A 作 AOMN 于 O，延长 AO 到 A，使 AO=AO，则_ 关于_对称。12. 如图，矩形纸片 ABCD 中，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，AEB=30，那么EFB=_。 13. 图中三角形 1 与_成轴对称图形，整个图形中共有_条对称轴。*14. 请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形。15. 如图，两个三角形关于直线 l 成轴对称，根据图中的数据，你认为 a 的度数应是_。三、解答题（40 分）16. （本题 12 分）找出图中是轴对称图形的图形，并找出图形中的两对对应点、两对对应线段、 两对对应角。17. （本题
18、12 分）已知直线 l 和点 A，B，试在直线 l 上找一点 P，使PAB 的周长最小，并说明理由。*18. （本题 16 分）如图，AD 为ABC 的高，B=2C，利用轴对称图形说明CD=AB+BD。【试题答案】一、1. D2. C【思路分析】根据轴对称的性质，成轴对称的图形是全等图形。3. C【思路分析】对于，到直线 l 距离相等的点可能在直线 l 的同侧，也可能在直线 l的异侧，在异侧时，关于直线 l 对称；在同侧时，不对称.所以错误。4. C【思路分析】成轴对称的两条线段至少有一部分分布在对称轴的一侧。5. A【思路分析】只有第 4 组图形的两个图形成轴对称。6. B【思路分析】两个点
19、一定成轴对称，对称轴是连接两点的线段的垂直平分线。7. C【思路分析】的结论是正确的。8. D【思路分析】利用轴对称的性质可以判断四个结论都正确。二、9. 对称轴垂直平分；相等10. MN；AB【思路分析】对应点连成的线段被对称轴垂直平分。11. AO 与 AO；MN【思路分析】根据轴对称的性质求解。12. 75【思路分析】由AEB=30可求得BED=150。通过折叠，四边形 BEFC与四边形 DEFC 成轴对称，所以BEF=DEF=75 ，根据两直线平行，内错角相等，可求得EFB= DEF=75。13. 2，4；两14. ， 【思路分析】仔细观察可以发现，这些图形是由连续的自然数构成的，根据
20、这一规律可以确定答案。15. 20【 思路分析 】根据轴对称的性质，可以确定一个三角形的两个内角分别是 110，50，根据三角形的内角和等于 180，可求得a=20。三、16. 图 A 是轴对称图形如下图，点 A 与点 D 是一对对应点，点 B 与点 C 是一对对应点；AB 与 CD 是对应线段，BE 与 CE 是对应线段；A 与D 是一对对应角，E 与F 是一对对应角。 （答案不唯一）【思路分析】先确定对称轴，再解决问题。17. 解：如下图，点 P 即为所求。作法：作 A（或 B）关于直线 l 的对应点 A（或 B） ，连接 AB（或 BA ）交 l 于点 P，则点 P 即为所求使得 PAB
21、 周长最小的点.理由：在直线 l 上任取一点 P（异于 P 点），连接 AP、A P 、BP ，由轴对称的性质知 AP=AP，AP=AP ，所以 AP+BP=AP+BP=AB。在 ABP 中，AP+BPAB ，即 AP+BP AP+BP，所以 AP+BP 最小，此时PAB 的周长最小。【思路分析】利用轴对称的性质进行分析。18. 解：作点 B 关于 AD 对称的点 B，则ABD 与ABD 关于 AD 对称，有ABDABD，所以 AB=AB，B=B=2C，而B=C+CAB，所以C+CAB =2C，所以CAB=C，所以 AB=BC，所以 AB=BC.又 BD=BD，所以 CD=BC+ BD=AB+BD。【思路分析】利用轴对称的性质确定点 B 关于 AD 对称的对称点是解决问题的关键。
