1、1.1.2 有约束情况下的拉格朗日方程 讨论：受约束的多个质点在保守力场中的运动方程 出发点：牛顿第二定律 设：N个质点，质量和矢径分别是 。 牛顿运动方程：3N个标量方程 一般情况下，3N个方程并不独立。 方程组不独立的原因：有约束的存在。,约束的定义：力学系统在运动过程中受到的限制(包括对位置和速度的限制) 约束的作用：1使力学系统的坐标之间发生关联而不全部独立；2给力学系统施加约束反力。 约束反力：约束总是通过一些外界物体(如轻杆、滑槽、软绳等) 作用在所研究的系统中的质点上。在运动过程中，系统中 的质点对这些外界物体有作用力，同时受到这些物体的反 作用力，称为约束反力。,由于约束反力的
2、作用，使质点的坐标满足约束方 程；约束反力随时间变化，不能预先知道，只能通过 解运动方程求得。 约束方程：约束条件的数学表达式。可用等式或不等式表示。 约束的例子： (1) 阿特伍得机 力学系统：物块1 + 物块2 约束：光滑槽、轻绳、圆盘 系统自由度：1,m1的坐标： ；m2的坐标： 共6个直角坐标 约束方程： (显示屏所在平面) 5个方程。(自由度=6-5 =1)(2) 单摆 描述m的坐标： (不独立) 约束方程： (一个独立) 系统自由度： 1,自由度数目少于坐标的数目 N个质点的3N个笛卡尔坐标： 若这些坐标满足3N-S个等式 (约束方程)：x：全部的 独立方程的个数：3N-(3N-S
3、)=S 力学体系只有S个独立坐标，即系统有S个自由度。,约束的分类：1. 约束方程 中不含时间t 稳定约束2. 约束方程 中含时间t 不稳定约束约束另外的分类1：可解约束与不可解约束 1. 由不等式表示的约束可解约束2. 由等式表示的约束不可解约束 约束另外的分类2：几何约束与运动约束,1. 对力学系统内各质点的位置加以限制的约束几何约束 一般表示： 例子：刚体内任意两质点间的距离保持不变，即2. 对力学系统内各质点的位置及速度加以限制的约束运动约束 一般表示：,例子：半径为R的圆柱在粗糙面上沿着直线做无滑动的滚动。 数学表示： (对着地点) 将上式积分得到：几何约束这样，可积分的运动约束与几
4、何约束实质上没有 区别，它们可以合称为完整约束。有些运动约束是不能积分的，这样的约束称之为 非完整约束。,例如，具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上无滚动地滚 动，则圆盘的着地点的速度为零。薄圆盘的盘面是可 以转动的，但当盘面始终保持竖直时，着地点的速度 为零可表示为,将上式在x轴和y轴上投影，得以上两个微分关系是不能积分的(即由它们无法得到形如 的方程 )，因而这样的约束为非完整约束。由于约束的存在，使得力学系统的坐标不再独立寻求独立坐标,对于一个有S个自由度的力学系统，找到S个适合的 变量，使3N个笛卡尔坐标是这S个变量的函数：例子：单摆中小球的直角坐标和摆角之间的关系。,以上函数关系满足约束方
5、程，则这样的S个变量 是 决定系统中所有质点位置的独立变量，称为系统的广义坐标。广义坐标的引入解决了笛卡尔坐标因约束方程相关联而不再全部独立的困难；任意一组 S 个可以完全刻画系统位置的变量 均可作为广义坐标；而 称为广义速度。,约束的存在，导致约束反力的存在，而约束反力不能 预先知道，且很多时候并不关心约束反力“消去”约束 反力，只留下S个独立坐标所满足的方程。 设：作用在第a个质点上的力为 ， 写为：主动力； ：约束反力。 目标：“消去”约束反力。 注： 作用于第a个质点上的全部非约束性外力。,方法：引入虚位移、虚功。单摆的运动：质点只能在以悬点 (固定) O为球心，以摆长 L为半径的球面
6、上运动。虚位移的定义：在任一时刻，约束所允许的位移称为虚位移，用 表示。 对单摆：虚位移在半径为L的球面的切面上 (当虚位移很小时)，约束反力 沿球面的半径方向。,显然 ，所以定义虚功：实位移与虚位移的区别 实位移：同时满足运动规律和约束条件，在时间间隔dt内所发生的位移为实位移，它是唯一确定的。 虚位移：设想在某一给定的时刻，在约束允许的条件下系统所发生的位移。虚位移并非发生在时间的,流动过程中，它属于人为引入的位移，目的是为了处理 未知的约束反力。虚位移不是运动学和动力学问题，而 是一个几何问题。举例：(1)不稳定约束情况下，dr和 的区别。,不稳定约束：悬点作简谐振动的单摆虚位移在以t时
7、刻悬点所在位置O(t)为心的球面上，实位移的起始点和终点分别在以O(t)和O(t+dt)为球心的两个球面上。显然： 垂直 ，但 不垂直 。,(2) 阿特伍得机的虚位移： 滑槽对 的约束反力： (垂直滑槽表面) 显然： 软绳对 的约束反力： 显然： 则： 而 所以,结论：在理想的无耗散情况下，约束反力所做的虚功为零；各个质点所受到的约束反力所做的虚功之和为零。即定义：满足上式条件的约束称为理想约束。由 得,虚功原理 (达朗贝尔原理) 文字表述：在理想约束情况下，作用在各个质点上的主动力和惯性力所做的虚功之和为零。,对于平衡系统：则若系统为刚体，当平衡时，其所受重力虚功的处理,(虚功原理的特例),
8、对于保守系统，势能U为作用在第a个质点上的主动力由虚功原理得到,比较前面单个无约束质点的相应公式：结论：无约束时，实位移；有约束时，虚位移。,现在由推导有约束情况下N个质点组成的系统的拉格朗日方程。 对 求微分，得到,实位移,对 求等时变分，得到而虚位移是固定在某一时刻t不变时，约束所允许的位移， 故 ，因此,系统的动能为,令 L=T-U ，则拉格朗日方程,1.1.3 最小作用量原理 推导拉格朗日方程的方法之二：从最小作用量原理出发 建立运动方程的目的：求解系统的真实状态。 力学系统：N个质点，系统运动状态的描述若有约束，系统的自由度降为S，系统状态的描述：q:广义坐标,若 已知，又 则 已知
9、，即 已知。任意的一组S个函数系统的一个任意的运动状况 初始条件确定后，只有一组S个函数真实的运动 目的：从所有的函数组中选出描述运动状态的一组。,类似问题：光的传播问题A B的任意一条路径：(s:几何路程)A、B固定(固定边界)：光的实际传播路径 一个函数,任务：确定这一函数。 办法：定义光程 其中： (x,y,z)点处的折射率 显然：不同的 不同的ll的值决定于 的函数形式，称l为的泛函“函数的函数”。,记为： 由于：不同的 不同的l值 所以：在l值中有一个值是极值(极大值、极小值或常 数)，和这个l值对应的函数 描述光的 实际传播路径费马原理。 极值条件的数学表示：l：泛函l的变分，它是
10、由于 的函数形式的微小改变 所引起的l值的变化。,比较：普通函数的极值条件为 泛函 的极值条件为 费马原理 找到代表实际运动状态的函数对于力学问题，可采用相同的取泛函极值的方法。 固定时刻 的广义坐标值：,的一个泛函 Sq(t) 作用量 代表实际运动状态的 是使作用量 S有极值的那一组。此即最小作用量原理。泛函Sq(t)的积分形式 力学系统的状态：只决定于坐标和速度，即( L：表征了力学系统的状态) 注：L中没有更高阶导数的原因在于，只要给定初始时刻的位置和速度就决定了系统的运动。,作用量S：S的极值条件：拉格朗日方程的推导作用量S的变化 是由函数形式的变化 引 起的(在每一固定时刻等时变分)
11、。,又,而端点固定，所以,若 代表真实的运动，则它应使S取极值，即对 于任意的 ，有 ，于是 拉格朗日方程说明：1. 在此，拉格朗日方程是由最小作用量原理推导出来的；方程为S个二阶微分方程，方程组的通解包含2S个常数(由初始条件确定)；,2. 最小作用量原理是现代物理学原理的普遍形式：除经典力学系统外，相对论力学系统和场论系统的基本原理也可以表述为最小作用量原理的形式；最小作用量原理在由经典物理到量子物理的概念的飞跃上起过相当重要的作用(见理论物理基础教程P415-418)； 3. 最小作用量原理所用的数学工具是变分； 4. 若力学系统的拉格朗日函数确定，则该系统的力学性质就被完全确定。但是，
12、反过来，对于给定的一个力学系统，却不能完全决定其对应的拉格朗日函数。即,和 描述同一个 力学系统。因为：L 和L得到的作用量S和S 的变分和 相等 (证明见教材p19)，因而由最小作用 量原理得到的真实运动相同，也就是说，L 和 L 描 述同一个力学系统 拉格朗日函数的非唯一性。,1.1.4 伽利略相对性原理 一、惯性参考系 运动学(运动的描述)：运动与静止 参考系的确定 (此时参考系可任意选择) 动力学(运动的原因)：力学规律 (此时参考系不能任意选择) 两种表述：牛顿运动定律 + 拉格朗日方程惯性系： 力学规律成立的参考系非惯性系：力学规律不能成立的参考系,但是，惯性系不止一个 问题：力学
13、规律在不同惯性系是否有不同的形式？二、伽利略相对性原理惯性系的等价性一切惯性系在力学上是等价 的(即在不同的惯性系中，力学规律有相同的形式)。 相对性原理 选取不同的惯性系去考察某一力学现象，且在不同惯性系中，力学规律的表达形式不变。,问题：惯性系改变后，要建立新的坐标系，不同的坐标系通过坐标变换联系起来，坐标变换能否保证力学规律有相同的形式？ 伽利略变换对此作了保证! 三、伽利略变换 设：惯性系K (坐标系oxyz)、K (坐标系o x y z )，其中K 相对K以速度V运动，且 t=0 时，两个坐标系的原点重合。,做的事：在K、K中考察P点的运动。某一时刻，P的 位矢： (K系)、 (K
14、系)显然： 伽利略坐标变换由上式得：即 伽利略速度变换 v：绝对速度，v ：相对速度， V：牵连速度,且得即加速度是伽利略变换下的不变量 又：质量m是与运动无关的标量不变量(经典力学)；力F与参考系的选择无关，也与坐标系的选择无关。 则：F、m、a 都是不变量 牛顿运动定律的形式也就不会改变，即力学规律具有相同的形式。K 系： F=ma K 系：,说明： 1.伽利略变换中包含了绝对时空观； 2.狭义相对论：爱因斯坦相对性原理取代伽利略相对性原理；狭义相对论时空观取代绝对时空观；洛仑兹变换取代伽利略变换。,四、自由质点的拉格朗日函数力学系统的拉格朗日函数决定此系统的力学性质。 问题：如何确定力学
15、系统的拉格朗日函数？单个自由质点：广义坐标r，拉格朗日函数 L在时间平移、空间平移和空间转动下具有不变性 (时 间均匀、空间均匀和空间各向同性)，即对称性。,时间平移变换： 在此条件下要求L不变，则 L 不能显含时间t，即空间平移变换： 在此条件下要求 L 不变，则 L 不能显含坐标 r，即空间转动改变矢量的方向，但空间各向同性，则 L 不 能依赖于速度 的方向，而只能依赖于它的大小，即,惯性系：K、K ，K 相对于K 以无穷小速度 运动。 由伽利略相对性原理：力学规律在K和 K中形式不变在这两个参考系中的拉格朗日函数最多只能相差一个坐标的任意函数的时间全导数(见p23习题10) 即上式为K和
16、K 系中，拉格朗日函数满足的的普遍关系。 由伽利略变换，有 。 将 对小量 展开，得,保留到 一阶小量，有(2)式必须服从(1)式。比较(1)、(2)两式，得由于 为任意矢量，上式左右两边 的同次项的系数应相等，于是,上式左边不含 r，右边不含 v ，因此 是一个 不依赖于速度 v 的常数，记这一常数为 ，因而积分得若惯性系K相对于惯性系 K 系以有限速度V运动， 同样有力学规律在K和 K 中形式不变，见习题11。,补充1：拉格朗日方程的另一种形式 出发点：上式中左边的第一项为,左边第二项经计算后得到因此由于 的独立性，有基本形式的拉格朗日方程,若主动力为保守力，则引入势能函数U，且有 于是广
17、义力 写为又 ， 则可得到保守系统的拉氏方程,若主动力为保守力，则引入势能函数U，且有 于是广义力 写为又 ， 则可得到保守系统的拉氏方程,定义耗散函数：瑞利耗散函数 由此得到而这样，广义力可以写为,对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统， 广义力为,由基本形式的拉格朗日方程,得到耗散系统的拉氏方程上式中的L包含了系统的总动能及保守力的势能。 例子：对于一维阻尼振子系统，所受主动力有弹簧的弹 力（保守力）和阻力（非保守力）。若阻力为 时，瑞利耗散函数为 。而系 统的拉格朗日函数 ，则由耗散系统的拉 氏方程，得到一维阻尼振子系统的运动方程,补充3：泛函与变分问题 1. 泛函 例子：一质点沿竖
18、直平面中的 光滑轨道y=y(x)从点A自由下滑 到点B，计算所需时间。 解：建立如图所示坐标系。设 ds为质点在轨道上某点C(坐标 为x、y) 附近下落的一段弧长， v 为该点的速度，则质点通过弧长 所需的时间为 。,又因为质点在下滑过程中机械能守恒，若取点A所在处为重力零势能点，于是有得到这样质点从点A下滑到点B所需时间为,显然，J 的值决定于函数y(x)。若起点、终点不变，但选取另一轨道，则J 将不同，即J取决于整个轨道的形状。要注意的是，这里J 的值不是取决于y的值，而是取决于函数关系y=y(x)。于是引入泛函概念： 定义：一个变数J，其值取决于函数关系y=y(x)，称J为函数y(x)的
19、泛函，记作J = y(x)。或者一般地说，泛函是从 曲线空间到实数集的任意一个映射。注： 泛函与函数是两个不同的概念。泛函表示的是因变量J与一个或几个函数的对应关系，而函数表示的是因变量与自变量的数值对应关系。,2.泛函的变分 变分有两类： 第一类为 变分(等自变量变分， 即 x = 0)，此类变分仅是函数 的形式在变；第二类为 变分 (全变分)，此类变分的自变量 和函数形式均在变。在这里主要 讨论 变分。 变分的定义：设原函数为y=y(x)， 变更后的函数为 ，且有,其中 为无穷小量，是与自变量 x 无关的参数， 是满足边界条件 的任意的二阶可微函数，这意味着 y(x) 和 有相同的端点。
20、函数的一阶变分定义为且有 说明：函数的变分 与函数的微分 dy 的区别 表示在自变量不变的情况下( )，函数的变分，而 dy 表示自变量变化后 dx ，因变量 y 的增量。,泛函的一阶 变分定义为 变分的运算法则,3.变分问题 泛函的极值问题叫做变分问题：对于泛函=J y(x)，其极值条件为泛函 J 的变分为0，即 。,补充4：带电粒子在电磁场中运动的拉格朗日函数 若广义力 可以表示为如下形式其中U为与速度相关的广义势。 由基本形式的拉格朗日方程得到,即例子：带电粒子(质量m、电荷q)在电场E和磁场B中运动。 引入矢势 A和标势 来描述电磁场，且有 带电粒子在电磁场中运动时受到的洛伦兹力为,当用矢势A和标势 来描述电磁场时，洛伦兹力可写为在直角坐标系下，上式的分量形式为当广义坐标选为直角坐标时 (带电粒子不受约束)，广义力 为,由此可得到带电粒子的广义势显然带电粒子的广义势与速度相关。带电粒子的拉格朗日函数,
