1、模态叠加,第7章,第7章 模态叠加,A. 定义模态叠加 B. 学习如何使用模态叠加的方法 C. 模态叠加实例,TOC-2,模态叠加 A. 定义和目的,模态叠加是用于瞬态分析和谐响应分析的一种求解技术，它是将从模态分析获得的各个振形分别乘以响应系数后叠加起来计算动力学总响应 是一个用来求解线性动力学问题的快速、有效的方法 另一种可选用的方法是直接积分方法，这种方法需要较多的时间。下面来比较这两种方法,TOC-3,模态叠加 定义和目的,总体运动方程：,TOC-4,模态叠加是假设U(t)能用结构模态形状的线性叠加来表示。,这里F 是模态形状f1, f2, f3,. fm,矩阵,模态叠加 定义和目的,
2、TOC-5,总体运动方程两边乘以FT，如下式：,自然模态的正交性如下所示：,如果有比例阻尼，如下：,模态叠加 定义和目的,定义m为模态数，这样就简化成求解m的单自由度非耦合方程的问题该方程可以用非阻尼求解器（如：波前求解器）求解 如果规定了非比例阻尼，那么m个单自由度方程系统就和阻尼矩阵发生耦合。该方程系统一定要用QR阻尼求解器求解 最后的解（不考虑阻尼）是：,TOC-6,模态叠加 定义和目的,模态叠加法无论运动方程是非耦合的（仅比例阻尼）或耦合的（非比例阻尼），求解速度很快 仅当需要少量模态来描述响应时才有效 需要使用模态解中的特征向量 只用于线性分析，不能有非线性选项 决定要需要使用多少阶
3、模态是比较困难的，很少几个模态就可能得到良好的位移结果，但只能得到很差的应力结果,直接积分法完全耦合的运动方程，求解很费时间 对大多数问题都有效 不需要特征向量然而大多数动力分析是从模态求解开始的 在瞬态分析中允许有非线性性质 决定积分时间步长 Dt比决定要叠加的模态个数更为容易,TOC-7,模态叠加 B. 步骤,五个主要步骤： 建模 获得模态解 转换成谐响应分析和瞬态分析 加载并求解 查看结果,TOC-8,模态叠加 建模,模型 与模态分析所考虑的问题相同 只能用线性单元和材料，忽略各种非线性性质 注意密度! 此外,若有与材料相关的阻尼,必须在这一步中定义 参见第一章中建模要考虑的问题,TOC
4、-9,模态叠加 获得模态解,建模获得模态解 与模态分析步骤相同 有少量差别,将在后面讨论,TOC-10,模态叠加 获得模态解,模态提取： 只有分块Lanczos法、子空间法、缩减法、powerdynamics或QR阻尼法有效 提取对动力学响应有影响的所有模态 在查看模态振形时模态扩展是必要的,但在进行模态叠加求解时并不需要 如果要使用QR阻尼模态提取法，一定要在前处理或在模态分析中定义阻尼。在模态叠加、瞬态或谐响应分析中定义的阻尼将被忽略。,TOC-11,模态叠加 获得模态解,载荷和约束条件： 该步中必须施加所有的位移约束,位移约束值只能为零,非零值是不允许的 如果谐响应分析和瞬态分析中要施加
5、单元载荷（如压力温度和加速度等）时,它们必须在这一步中定义。,TOC-12,求解器忽略模态求解中的载荷,但是将载荷向量写入 .mode文件,模态叠加 切换到谐响应分析或瞬态分析,建模 获得模态解切换到谐响应分析或瞬态分析 退出并重新进入求解器 新分析：谐响应分析或瞬态分析 分析选项： 下面讨论 阻尼：下面讨论,TOC-13,模态叠加 切换到谐响应分析或瞬态分析,分析选项 除以下几点外均与完全谐响应分析或瞬态分析相似： 求解方法： 模态叠加法 最大模态号： 用于求解的最大模态号,缺省值为扩展的最高模态序号 最小模态号： 最低模态号,缺省值为1 对于谐响应分析还有下列选项： 求解的频率分布选项用以
6、形成平滑的响应曲线 用于打印每个频率的模态参与系数选项,TOC-14,模态叠加 切换到谐响应分析或瞬态分析,阻尼 规定不要使用QR阻尼模态提取法 大多数情况下应该规定某种形式的阻尼 对模态叠加可有四种形式： Alpha （质量） 阻尼 Beta （刚度） 阻尼 均依赖整体和材料 恒定阻尼比 依赖于频率的阻尼比 （模态阻尼）,TOC-15,模态叠加 施加载荷与求解,建模 获得模态解 转换成谐响应分析和瞬态分析施加载荷并求解 只能施加力和加速度载荷，不能施加位移载荷 来自模态分析的载荷矢量 （后面讨论） 在瞬态分析中用于初始静态求解的条件 （后面讨论） 在整个瞬态分析中的积分时间步长是恒定的 开始
7、求解计算 （SOLVE）,TOC-16,模态叠加 施加载荷与求解,载荷矢量 在模态叠加分析中，载荷矢量是施加单元载荷（压力、加速度和温度）的一种方法 它是根据模态分析所规定的载荷由模态求解计算出来的 施加载荷矢量时可以带有比例因子 （缺省值为 1.0）,TOC-17,模态叠加 施加载荷与求解,瞬态分析中的初始静态解 在模态叠加法瞬态分析中的初始静态解（时间=0）通常是一个静态解（使用波前求解器） 对大模型需花很长的时间和磁盘空间 为了避免发生这种情况（并且得到 Ut=0 = 0）, 在时间步 = 0时不要施加任何载荷,TOC-18,模态叠加 施加载荷与求解,求解 与全瞬态分析和谐响应分析步骤相
8、同 在求解过程中仅计算出位移结果（没有应力和反作用力），位移结果被写入： jobnamerdsp 瞬态分析 jobnamerfrq 谐响应分析 下一步是察看结果,TOC-19,模态叠加 察看结果,建模 获得模态 转换成谐响应分析或瞬态分析 施加载荷并求解察看结果，有如下三步： 察看位移解 扩展位移解 察看扩展后的解,TOC-20,模态叠加 察看结果,察看位移结果 进入POST26, 时间历程后处理器 首先确定结果文件 - jobnamerdsp 或jobnamerfrq TimeHist Postpro Settings File 或文件命令 对模型上的特殊点定义位移变量，然后得出位移对时间（
9、或频率）曲线图,TOC-21,使用图和表来确定各临界时间点（或频率和相角）,模态叠加 察看结果,扩展解 在这个过程中，衍生数据（应力、反作用力等等）可根据基本数据（位移解）计算而得 有如下三步： 1 进入求解器，并激活扩展项 Solution Expansion Pass 或 EXPASS , ON,TOC-22,模态叠加 察看结果,2. 规定被扩展的解或解的范围。对于谐响应分析，记住：要规定相角或者要求扩展实部和虚部两部分（这些结果然后可以采用 HRCPLX 命令在POST1中进行组合） Solution Expansion Pass 3. 开始扩展位移解 Solution -Solve-C
10、urrent LS 或 SOLVE 结果写入 . rst文件中 （jobnamerst）， 并且能够用通用后处理器 POST1来查看,TOC-23,模态叠加 察看结果,察看扩展解 使用通用后处理器POST1 步骤与完全瞬态和谐响应分析相同 从结果文件中读入所需要的结果，然后画出变形的形状以及应力等值图等 对谐响应分析如果选择扩展实部和虚部，使用HRCPLX命令在特定的相角下对两者进行组合（如果选择在特定的相角下扩展位移解，就不需要这样做）,TOC-24,模态叠加 察看结果,建模 获得模态解 转换成谐响应分析或瞬态分析 施加载荷并求解 察看结果,TOC-25,C. 实例 模态叠加,在这个实里例中
11、，将再次运行“格蒂抖振”例子，但这次运行过程中要理解逐步进行的每一步 详情请参看动力学实例分析（格蒂抖振，W-3.).,TOC-26,模态分析的高级主题,第8章,第八节 模态分析-高级主题,A. 有预应力的模态分析 B. 循环对称的模态分析 C. 具有大位移变形结构的模态分析,TOC-28,A. 有预应力的模态分析,什么是有预应力的模态分析？ 为什么要做有预应力的模态分析? 具有预应力结构的模态分析 同样的结构在不同的应力状态下表现出不同的动力特性 例如，一根琴弦随着拉力的增加，它的振动频率也随之增大 涡轮叶片旋转时，由于离心力引起的预应力的作用，它的自然频率逐渐具有增大的趋势 为了恰当地设计
12、这些结构，必须要做具有预应力和无预应力的模型的模态分析,TOC-29,有预应力的模态分析 步骤,三个主要步骤： 建模 通过静态分析获得模型的预应力 做具有预应力的模态分析建模： 与普通模态分析要考虑的问题一样 必须定义密度,TOC-30,有预应力的模态分析 步骤,建模在静态分析中给模型施加预应力 选择分析类型和选项： 必须激活预应力选项载荷： 施加引起预应力的载荷，并观察确认已经施加了合适的载荷,TOC-31,Solution Unabridged Menu Analysis Options ,有预应力的模态分析 步骤,TOC-32,单元图-有预应力模态的静态分析,应力图-有预应力模态的静态分
13、析,有预应力的模态分析 步骤,建模 在静态分析中给模型施加预应力做具有预应力的模态分析： 除了在分析选项中必须激活预应力效果选项外，其它步骤与普通模态分析的步骤一样,TOC-33,有预应力的模态分析 步骤,比较:,TOC-34,具有预应力的平板,无预应力的平板,有预应力的模态分析 步骤,建模 在静态分析中给模型施加预应力 做具有预应力的模态分析,TOC-35,B.实例,在以下的实例中，学员给如图所示的盘片施加预应力，然后计算它的自然频率。如果时间允许，计算没有预应力的盘片的自然频率和振型并且比较它们的结果 详细情况参考动力学分析实例（预应力圆盘，w-46),TOC-36,C.循环对称结构的模态
14、分析,什么是循环对称结构的模态分析? 利用循环对称的模态分析 可以只模拟结构的一个扇形区，然后观察整个结构的振型! 节省了建模时间 - 不需要模拟整个结构 节省了计算时间和硬盘空间 - 只需要较少的单元和自由度 应用： 可用于任何具有循环对称的结构：如涡轮、叶轮、转子、风扇等,TOC-37,循环对称结构的模态分析步骤,七个主要步骤： 基本扇区的建模 确定循环对称平面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件 指定分析类型和选项 用CYCSOL命令求解 将求解结果扩展到3600，对结果进行评价,TOC-38,循环对称结构的模态分析 基本扇区的建模,基本扇区： 必须在全局柱坐标系中：X为径向，
15、Y 沿着 向， Z 为轴向 循环对称面 （或边）： 必须要有相匹配的节点分布，可以通过规定线的分布来保证这一点 可以是弯曲的 只要360/是整数，扇区角 可以是任何值,TOC-39,循环对称结构的模态分析 指定循环对称面,基本扇区的建模指定循环对称面： 沿着最小的 角选择节点 创建节点组: Utility Menu Select Comp/Assembly Create Component 尽管不需要建立对应边上的节点组，但这样做可能有用 确认在确定循环对称面时选择了所有有关项,TOC-40,组元 ND0 和 ND36,循环对称结构的模态分析 复制一个基本扇区,基本扇区的建模 指定循环对称面复
16、制一个基本扇区： 循环对称结构的模态分析需要两个相同的基本扇区 确认选择了基本扇区中的全部节点和单元 运行宏 CYCGEN Preprocessor Cyclic Sector 仅仅复制有限元元素实体，并不复制实体模型,TOC-41,循环对称结构的模态分析 在两个扇区上施加边界条件,基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件： 主要是位移约束 仅在各节点上施加约束 （因为第二个扇区只包括节点和单元） 根据位置选择节点，而不是根据编号 不需要施加对称边界条件 （除非是进行静态分析以施加预应力,TOC-42,循环对称结构的模态分析 选择分析类型和选项,基本扇区的建模
17、 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件指定分析类型 分析类型- 模态,TOC-43,Main Menu Solution New Analysis .,循环对称结构的模态分析 指定分析类型和选项,选项： 建议使用Block Lanczos 法 提取的节点数目 （NMODE） 是节径数 （以后解释） 约束方程处理 - 以后讨论 扩展的模态数目应和提取的模态数目一样多,TOC-44,循环对称结构的模态分析 指定分析类型和选项,处理约束方程方法: 在循环对称面上自动产生大约有几百个甚至几千个约束方程 约束方程缺省处理方法是直接消去法，但这种方法的效果可能并不理想 建议使用拉格朗
18、日乘子法（缺省选项），有两个选项： 快速求解法是快速的，但对于高阶频率可能给不出精确的特征值 精确求解法是精确的（缺省选项），但是要慢一些,TOC-45,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件 指定分析类型和选项用CYCSOL命令求解 CYCSOL 是一个生成所需的约束方程并获得模态解的宏 菜单路径是： Solution Modal Cyclic Sym,TOC-46,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,节径 振动中沿周向的位移为零的径向线（如余弦波） 提供由基本扇区结果计算整个模型振型的关系 一条
19、节径通常在周向引起一个振动波，两条节径引起的两个振动波，如此类推 每条节径有许多振型,TOC-47,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,一条节径 注意，下面的位移UZ等值线图中有一条零位移的径向线，右图表示的是振型的侧视图,TOC-48,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,两条节径,TOC-49,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,三条节径,TOC-50,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,四条节径,TOC-51,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,零节径 （轴对称模型）,TOC-52,循环对称结构的模态分析 用CYCSOL命令求解,
20、为什么节径范围很重要? 对于每个节径，ANSYS将提取一个指定的模态 用户可以控制提取模态的节径的范围 最小的节径号为0（“瞬间模态”） 对于偶数扇区最大的节径值为NSECTOR/2，奇数扇区最大的节径值为( NSECTOR-1)/2 通常，只需提取整个节径范围中的少数几条节径的模态来覆盖所有低阶频率模态,TOC-53,循环对称结构的模态分析 查看整个模型的结果,基本扇区的建模 指定循环对称面 复制一个基本扇区 在两个扇区上施加边界条件 指定分析类型和选项 用CYCSOL命令求解查看整个模型的结果 进入后处理器 （POST1） 四个主要步骤： 列出自然频率 说明扩展到 360所需的扇区数量 读
21、入所需振型的结果 对此振型做动画,TOC-54,循环对称结构的模态分析 观察结果,列出频率： General Postproc Results Summary 每一条节径都作为一个单独的载荷步进行保存,TOC-55,节径 0， 模态 1-5,节径1， 模态1-5,节径2， 模态1-5,节径3， 模态1-5,节径4， 模态1-5,拖动滚动条可以查看更多结果,循环对称结构的模态分析 观察结果,说明为了扩展至 360所需的扇区数量： 输入命令 EXPAND，n ，其中n是扇区数量 在读入结果时，实际扩展即已完成使用SET命令或菜单中的 “By Load Step”，可以读入所需振型,TOC-56,节
22、径。 LSTEP=1 意味着零节径,振型数目,循环对称结构的模态分析 观察结果,制作振型动画： PlotCtrls Animate Mode Shape.,TOC-57,循环对称结构的模态分析 观察结果,TOC-58,循环对称结构的模态分析 观察结果,TOC-59,循环对称结构的模态分析 观察结果,TOC-60,循环对称结构的模态分析 观察结果,TOC-61,循环对称结构的模态分析 观察结果,比较循环对称解和完整模型解: 两种求解法频率吻合得很好 注意，频率较低的振型是每条节径的前几阶振型 左表采用36对称循环的模型，具有560个单元，1960个自由度。右表对应完整模型，具有2800个单元，1
23、8560个自由度 对称模型求解所需要的计算时间不到完整模型的一半 结果文件大小分别为1.3Mb和4.2Mb,TOC-62,36 对称模型,完整模型,循环对称结构模态分析 D.实例,TOC-63,在这个实例中，只需模拟螺旋锥形齿轮的一个齿，用来确定其自然频率 详细情况请参考动力学分析实例(圆锥斜角齿轮,W-51. ).,E. 具有大变形的模态分析,什么是具有大变形的模态分析? 在载荷的作用下，对于具有大变形的结构进行模态分析 主要应用于： 在相对细薄的汽轮机刀片上作用压力或旋转载荷时，此载荷易于使影响自然频率的螺旋桨松开 海平面下安装的管道由于接触海底导致频率的改变 压力载荷下的膜分析,TOC-
24、64,具有大变形的模态分析,具有大变形的模态分析与有预应力的模态分析有什么不同？ 有预应力的模态分析中，应力会影响其自然频率但变形较小；也就是说几何形状不改变 大变形的模态分析中，由于大变形而导致结构的几何形状改变很大，校正后的几何形状（除了应力）又会影响其自然频率和振型,TOC-65,接触和大变形,具有大变形的模态分析 步骤,五个主要步骤: 建模 考虑大变形的静态分析 校正几何形状为变形后的几何形状 使用分步求解过程进行模态分析 查看结果 建模: 与普通模态分析要考虑的问题一样 注意输入密度,TOC-66,具有大变形的模态分析 静态分析,建模静态分析 选择分析类型和选项：一定要激活预应力和大
25、变形的影响 载荷：施加静态载荷。参看第八节，结构的分析指南。 求解,TOC-67,Solution Unabridged Menu Analysis Options ,具有大变形的模态分析 校正几何形状到变形后的形状,建模 考虑大变形的静态分析校正几何形状 在初始的几何结构中添加来自静态分析后的位移Add 利用新创建的几何结构进行模态分析,TOC-68,具有大变形的模态分析 进行模态分析,建模 考虑大变形的模态分析 校正几何形状到变形后的几何形状利用分步求解过程进行模态分析步骤1、选择分析类型和选项 步骤2、矩阵对角化( PSOLVE,TRIANG) 步骤3、计算特征值( PSOLVE,EIG
26、LANB) 步骤4、扩展振型( PSOLVE,EIGEXP),TOC-69,具有大变形的模态分析 进行模态分析,步骤1、选择分析类型和选项 设置分析类型为模态 选择模态提取的方法（建议使用Block Lanczos） 选择模态提取的数量,TOC-70,具有大变形的模态分析 进行模态分析,步骤2、矩阵对角化 (PSOLVE,TRIANG)Solution -Solve- Partial Solu ,TOC-71,具有大变形的模态分析 进行模态分析,步骤3、计算特征值 (PSOLVE,EIGLANB),TOC-72,具有大变形的模态分析 进行模态分析,步骤4、扩展振型 扩展模态作为单独的部分来执行
27、（以前各步完成后回到求解状态） 打开模态扩展开关,TOC-73,具有大变形的模态分析 进行模态分析,步骤4、扩展模态（接上页） 选择扩展模态的数量,TOC-74,具有大变形的模态分析 进行模态分析,步骤4、扩展振型（接上页） 执行分步求解来扩展模态,TOC-75,此时，用户可以得到模态分析的标准的结果文件,具有大变形的模态分析 查看结果,TOC-76,模态4、频率=585.631Hz,模态2、频率=154.584Hz,模态6、频率=881.08Hz,具有大变形的模态分析 查看结果,具有大变形的模态分析 振型基于变形后的几何形状 模态分析的初始时刻，非线性无效而且接触单元保持其初始的状态 例如，
28、本节的实例仅提取了相互接触梁的模态 摩擦系数的大小决定了接触单元是否可以滑动 使用“粗糙接触”（ keyopt(12)=1)来防止滑动,TOC-77,几何不稳定性,第九章,几何不稳定性 本章综述,本章阐述几何不稳定性问题, 即关于屈曲的问题，将介绍以下技术: 特征值屈曲 载荷控制 位移控制 弧长法,TOC-79,几何不稳定性 . 本章综述,本章包括以下主题: A. 结构稳定性背景 B. 线性(特征值)屈曲过程 C. 非线性屈曲技术背景 D. 非线性前屈曲过程 E. 非线性后屈曲过程,TOC-80,几何不稳定性 A. 结构稳定性背景,很多结构需要评价它们的结构稳定性，细柱体、压杆和真空罐都是稳定
29、性非常重要的结构的例子。 在不稳定性(屈曲)的开始, 在载荷没有实质性变化的情况下(除了一个小的载荷扰动), 结构的位移将有一个非常大的变化u。,TOC-81,几何不稳定性 . 结构稳定性背景,当增加轴向载荷(F)时, 一个理想化的端部固定的柱体将呈现下述行为。,TOC-82,几何不稳定性 . 结构稳定性背景,分叉点 分叉点 是载荷历程中的一点, 该点可能存在两个分支解。 在理想化的端部固定柱体的情况下, 在临界载荷(Fcr)下, 柱体可向左或向右屈曲，因此可能存在两个载荷路径。 在实际结构中, 几何缺陷的存在或力的扰动(P 0) 将决定载荷路径的方向。,TOC-83,几何不稳定性 . 结构稳
30、定性背景,稳定、不稳定及中性平衡 考虑下图所示球的平衡，若表面向上凹, 平衡是稳定的, 扰动时, 球返回初始位置。若表面向下凹, 平衡是不稳定的, 扰动时, 球将滚开。若表面是平的, 球处于中性平衡, 扰动时, 钢球将保持在新的位置。,TOC-84,几何不稳定性 . 结构稳定性背景,临界载荷 当 F Fcr 时, 柱体处于不稳定平衡状态, 任何扰动力将引起坍塌。 当 F = Fcr 时, 柱体处于中性平衡状态，把这个力定义为临界载荷。,TOC-85,几何不稳定性 . 结构稳定性背景,极限载荷 在实际结构中, 很难达到临界载荷，因为扰动和非线性行为, 低于临界载荷时结构通常变得不稳定。,TOC-
31、86,几何不稳定性 B. 线性特征值屈曲,前屈曲和坍塌载荷分析的分析技术包括: 线性特征值屈曲 非线性屈曲分析 本节主要讨论第一种方法-线性特征值屈曲。,TOC-87,几何不稳定性 . 线性特征值屈曲,特征值屈曲分析 预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度(分叉点)特征值公式决定结构的分叉点，该方法与线弹性屈曲分析的教科书所述方法一致。Euler 柱体的特征值屈曲解与经典Euler 解吻合。,TOC-88,几何不稳定性 . 线性特征值屈曲,然而, 缺陷和非线性行为阻止大多数实际结构达到理想的弹性屈曲强度，特征值屈曲一般产生非保守 解, 使用时应谨慎。,TOC-89,几何不稳定性 . 线性特征值
32、屈曲,尽管特征值屈曲一般产生非保守的结果, 线性屈曲分析仍有两个优点:相对不费时(快捷)的分析。 为了提供更真实的结果, 屈曲模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷。,TOC-90,几何不稳定性 . 线性特征值屈曲,线性屈曲分析基于经典的特征值问题。为推导特征值问题, 首先求解线弹性前屈曲载荷状态 P0 的载荷-位移关系，即给定 P0 求解 P0 = Keu0得到 u0 = 施加载荷 P0 的位移结果 s = 与u0对应的应力,TOC-91,几何不稳定性 . 线性特征值屈曲,假设前屈曲位移很小, 在任意 状态下(P, u, s) 增量平衡方程由下式给出 DP = Ke + Ks(s)Du式
33、中 Ke = 弹性刚度矩阵 Ks(s) = 某应力状态 s 下计算的初始应力矩阵,TOC-92,几何不稳定性 . 线性特征值屈曲,假设前屈曲行为是一个外加载荷 P0 的线性函数, P = lP0 u = lu0 s = ls0则可得 Ks(s) = lKs(s0)因此, 整个前屈曲范围 内的增量平衡方程变为 DP = Ke + lKs(s0)Du,TOC-93,几何不稳定性 . 线性特征值屈曲,在不稳定性开始 (屈曲载荷Pcr) 时, 在 DP 0 的情况下, 结构会出现一个变形 Du。把上述表达式 (DP 0) 代入前面的前屈曲范围内 的增量平衡方程, 则有 Ke + lKs(s0)Du =
34、 0上述关系代表经典的特征值问题。,TOC-94,几何不稳定性 . 线性特征值屈曲,为了满足前面的关系, 必须有: detKe + lKs(s0) = 0在 n 个自由度的有限元模型中, 上述方程产生 l (特征值) 的 n阶多项式，这种情况下特征向量 Dun 表示屈曲时叠加到系统上的变形，由计算出的 l 最小值给定弹性临界载荷Pcr。,TOC-95,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,特征值屈曲分析包括以下四个主要步骤:1. 建模 2. 获得带有预应力的静力解 3. 获得特征值屈曲解 4. 查看结果,TOC-96,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,建模 该任务与大多数其它分析类似, 除了下面两
35、点: 只有线性行为有效，非线性单元处理为线性，它们的刚度基于初始状态, 且不能改变。必须定义杨氏模量，材料特性可能是线性、各向同性或各向异性, 忽略非线性特性。,TOC-97,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,获得带有预应力的静力解 当获得静力解时, 必须 设置预应力标识, 以进行后面的特征值屈曲分析。 Main Menu Preprocessor Loads Analysis Options 或键入命令: PSTRES,ON,TOC-98,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,获得带有预应力的静力解 通常单位载荷就足够了，计算出的特征值代表施加载荷上的屈曲载荷因子。 注意特征值代表所有载荷的比例
36、因子，若某载荷是常数，而其它载荷是变量, 则需确保常载荷的应力刚度矩阵没有被乘以因子(后面讨论) 求解模型 Main Menu Solution -Solve- Current LS 或键入命令: SOLVE,TOC-99,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,获得特征值屈曲解 完成静态求解后, 退出并重新进入求解器, 并指定分析类型为特征值屈曲: Main Menu Finish Main Menu Solution -Analysis Type- New Analysis 或键入命令: FINISH /SOLU ANTYPE,BUCKLE,TOC-100,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,获得
37、特征值屈曲解 指定特征值提取方法和要提取的屈曲模态数目: Main Menu Solution Analysis Options 或键入命令: BUCOPT,LANB,3,0,TOC-101,Block Lanczos 是推荐的特征值提取方法。本例中, 要求 3 个模态。,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,获得特征值屈曲解 指定要写入结果文件模态数。 Main Menu Solution -Load Step Opts - Expansion Pass Expand Modes . 或键入命令: BUCOPT,LANB,3,0,TOC-102,也可计算出相应的应力分布。,几何不稳定性 . 特征
38、值屈曲过程,常量和变量载荷的注释 可以对特征值进行迭代, 调整变量载荷直到特征值变为1.0 或接近于 1.0。考虑一个自重为 WO 和外加载荷 A 的杆的例子，可以迭代，调整 A 的值直到 l = 1.0。,TOC-103,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,查看结果 可以在通用后处理器中查看特征值屈曲分析的结果，结果包括载荷因子、屈曲模态和相对应力分布。 Main Menu General Postproc Results Summary . 或键入命令: SET,LIST,TOC-104,“Set” 列表明屈曲模态数, “Time” 值表示相应的载荷因子。,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,
39、查看结果 屈曲模态的最大位移归一化为1.0，因此, 位移不能代表真实的变形，且应力是相对于屈曲模态。 通常查看最初少数的屈曲模态是有益的，在随后的非线性屈曲分析中, 结构的高阶屈曲模态可能是重要的。 若存在密排的特征值, 这表明该结构对缺陷敏感，应执行具有适当的缺陷或扰动的非线性屈曲分析。,TOC-105,几何不稳定性 . 特征值屈曲过程,其它考虑事项: 有些情况下, 在特征值屈曲分析中计算出负的特征值，在特征值提取过程中遇到数值困难时会发生这种情况。 在这种情况下，可指定特征值提取的偏移点 (BUCOPT)， 在偏移点附近提取特征值最精确，这需要对临界载荷值有一定的了解。,TOC-106,几
40、何不稳定性 . 特征值屈曲过程,其它考虑事项: 在屈曲分析中, 压力-载荷刚度矩阵对精确地计算载荷因子通常是重要的。缺省时, 对特征值屈曲分析 ANSYS自动 包括压力-载荷刚度矩阵。尽管不是推荐的, 用户仍可手动激活或停用压力-载荷刚度的使用, 通过: Main Menu Solution Unabridged Menu Main Menu Solution -Load Step Opts- Solution Ctrl 或键入命令: SOLCONTROL,INCP,TOC-107,几何不稳定性 C. 非线性屈曲背景,下图为一般的非线性载荷变形曲线，该图说明理想载荷路径、有缺陷结构的载荷路径和
41、该结构的实际动态响应。,TOC-108,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,前面 B 节中讨论了线性 特征值屈曲过程(前面幻灯片中的理想载荷路径)。 有几种分析技术用于计算结构的非线性 静力变形响应，这些技术包括:载荷控制 位移控制 弧长法,TOC-109,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,载荷控制: 如下图所示, 考虑浅拱的快速通过分析，当以增量载荷 (F) 求解该问题时, 求解采用载荷控制来完成。,TOC-110,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,载荷控制: 使用 Newton-Raphson 载荷控制的困难是求解不能通过不稳定点。在不稳定点 (Fcr), 切线刚度矩阵 KT 是奇异的，使用
42、载荷控制, Newton-Raphson 法不收敛。然而, 该类型的分析对描述结构的前屈曲 行为是有用的。,TOC-111,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,位移控制: 当拱由增量位移加载时, 与力相反, 采用位移控制 进行求解。位移控制的优点是, 除 Fcr外, 它产生一个稳定的解。(强加的位移在不稳定点提供一个附加约束。),TOC-112,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,位移控制: 位移控制的缺点是只有在知道施加什么位移时才适用! 如果拱上施加压力载荷, 而不是集中力, 位移控制不可能使用。,TOC-113,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,弧长法: 弧长法 是一种求解方法, 用于获得不
43、稳定性问题 (KT 0) 或负的切线刚度 (KT 0) 的数值稳定解。 弧长法可用于比例载荷 的静态 问题。 尽管弧长法能求解复杂的力-变形响应问题, 但它最适合求解没有突然分叉点的平滑响应问题。,TOC-114,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,弧长法: 弧长法同时求解载荷和位移, 与 Newton-Raphson 法相似，然而,引入了一个附加的未知项-载荷因子l (-1 l 1)。力平衡方程可重写为,KTu = l Fa - Fnr为了容纳附加的未知项, 必须引入一个约束方程-弧长 ，弧长把载荷因子 l 和 弧长迭代中的位移增量 u 相联系。 注意若去除约束 , 则弧长法简化为全 Newt
44、on-Raphson 法。,TOC-115,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,弧长法: 观察弧长法和 (完全) Newton-Raphson 法的区别的另一种方法是, Newton-Raphson 法在每一子步使用一个固定的 外加载荷矢量Fa，而弧长法在每一子步使用一个可变的 载荷矢量 lFa。,TOC-116,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,弧长法:,TOC-117,通过圆弧, 弧长法把增量载荷因子 Dl与增量位移 Du 相联系，图示为全 Newton-Raphson弧长法的增量载荷因子 Dl 和增量位移Du。,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,弧长法: 通过强加弧长迭代以得到沿与平衡路径
45、相交的圆弧收敛, 能够获得经历零或负的刚度行为的结构的解。,TOC-118,几何不稳定性 . 非线性屈曲背景,三个非线性屈曲技术的总结: 载荷控制、位移控制和弧长法总结如下，这是用于求解非线性静态屈曲问题的三个技术。 另一种方法是，可以通过动力学来求解屈曲问题, 后面将讨论。,TOC-119,几何不稳定性 D.非线性屈曲,非线性屈曲 分析采用逐渐增加载荷的非线性静态分析, 以搜索在哪个载荷水平下结构开始变得不稳定。 使用非线性屈曲分析, 可以包括初始缺陷、塑性行为、接触、大变形响应及其它非线性行为。,TOC-120,几何不稳定性 .非线性屈曲,非线性屈曲分析的目的是得到第一个极限点(解开始变得
46、不稳定前载荷的最大值)。弧长法能够用于下面的后屈曲行为。 非线性屈曲比特征值屈曲更精确, 因此推荐用于设计或结构的评价。,TOC-121,几何不稳定性 . 非线性前屈曲过程,非线性屈曲分析包括以下三个主要步骤:1. 建模(包括一个初始缺陷或扰动) 2. 求解 3. 查看结果,TOC-122,几何不稳定性 . 非线性前屈曲过程,建模 该任务与大多数其它分析类似, 除下述补充点外: 为启动屈曲需要一个小的扰动(如小的力)或几何缺陷。 特征值屈曲分析的屈曲模态可用于产生初始缺陷。 外加载荷值的设定应稍大于 (10 to 20%) 特征值屈曲分析预测的临界载荷。,TOC-123,几何不稳定性 . 非线
47、性前屈曲过程,建模 - 初始缺陷 由屈曲模态生成初始缺陷。 Main Menu Preprocessor -Modeling- Update Geom 或键入命令: UPGEOM,TOC-124,施加到原始几何形状上的位移的乘子模态数特征值屈曲分析的结果文件。,几何不稳定性 . 非线性前屈曲过程,建模 - 初始缺陷 初始缺陷的量级将影响非线性屈曲分析的结果，初始缺陷将去除载荷- 变形响应中的明显不连续性。缺陷的值相对于结构的总体尺寸是小的，该值应该与实际结构中的缺陷(真实的或假设的)的尺寸匹配，制造公差可用于估计不完整性的量级。,TOC-125,几何不稳定性 . 非线性前屈曲过程,求解 非线性
48、屈曲分析是具有几何非线性效应的静态分析, 分析延伸至结构的极限载荷点，确保激活几何非线性(NLGEOM,ON)。推荐使用求解控制(缺省)。使用全 Newton-Raphson 选项, 不打开自适应下降(求解控制的缺省项)。,TOC-126,几何不稳定性 . 非线性前屈曲过程,求解 激活自动时间步长(求解控制的缺省项)，打开自动时间步长时, 程序自动 搜索屈曲载荷，若在给定载荷下求解不收敛, 则程序二分并在一个更小的载荷下尝试新的求解，同样地, 最小时间步长 将影响结果的精度。,TOC-127,u,Fapp,“Time”,1,3,5,2,4,子步数,Flimit,Fapp,6,7,几何不稳定性 . 非线性前屈曲过程,求解 若时间步较大, 则可能（虽然未必）“跳过”不稳定点获得一个“快速通过”的求解，务必在时间历程后处理器中画出载荷位移曲线。,TOC-128,几何不稳定性 . 非线性前屈曲过程,求解 务必设置小的最小时间步长 以允许二分。对于外加载荷值, 采用比特征值屈曲载荷高 1020% 的值通常是好的选择。前已述及, 为便于后处理, 可设定“时间”等于外加载荷值。务必写出足够的子步数的结果(OUTRES), 以便于在通用后处理器中能查看载荷位移曲线。,
