1、应力分析 10 第 2 章 应力分析 本章用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态，介绍应力的概念及其性质，包 括斜截面的应力、坐标变换公式、主应力状态、应力张量不变量及其在塑性力学中的应用， 八面体上的应力及其应力张量分解为球形应力张量和偏斜应力张量，最后导出应力应满足 的平衡微分方程。本章不涉及材料的力学性质，所得结论对各种连续介质均普遍适用。 2.1 基本概念 固体力学研究的对象是在外力作用下处于平衡状态时任意形状的变形固体。作用外力 是指其它物体对该物体的作用力。在固体力学中通常假定外力（荷载）是已知的。 外力的不同作用方式，一般可分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是指分布 在
2、物体整个体积内的外力。例如，物体所受的重力、惯性力以及在磁场中所受的磁力等。 物体内各点所受的体力一般是不相同的。为表明物体内任一点M 所受体力的大小和方向， 可取一包含M 点的微分体，它的体积为 V （图 2-1a） V 设上的体力为 F ，则体力的 平均集度为 V F / 。令 V 无限缩小而趋于M 点时，则 V F / 将趋于一定的极限F ， 即 F V F V 0 lim ( a) 极限矢量F 就是M 点所受体力的集度。F 的方向与 F 的极限方向相同。F 在坐标 轴 z y x 、 、 上的投影分别为 z y x f f f 、 、 , ，称为M 点的体力分量。规定沿坐标轴正方向的
3、分量为正，沿坐标轴负方向的分量为负。体力的因次是力长度 -3 。 z y x o (a) M F F V x f z f y f z y x o (b) z p x p y p A P P M 图 2-1 应力分析 1 1 面力是指分布在物体表面上的外力。例如，液体压力、风力和接触力等，都是面力， 物体表面上各点所受面力一般也是不相同的，为表明物体表面任意一点M 所受面力的大小 和方向，在M 点的邻域内取一包含M 点的微分面积为 A ，如图 2-1b 所示。设 A 的面力 为 P ， 则面力的平均集度为它的面积为 A P / ， 令 A 无限缩小而趋于M 点， 则 V P / 将趋于一定的极限
4、P ，即 P A P A 0 lim ( b) 极限矢量P 就是M 点所受面力的集度。P 的方向与 P 的极限方向相同。P 在坐标轴 z y x 、 、 上的投影分别为 z y x p p p 、 、 , , ， 称为 M 点的面力分量。规定沿坐标轴正方向的分量 为正，反之为负，面力的因次是力长度 -2 在外力作用下， 物体内部或部分之间将产生 “附加内力”简称为内力。确定内力的方法是截 面法。 设一任意形状的物体， 受外力作用时而处于 平衡，如图 2-2 所示，确定任意截面 m m 上 某一点M 处的内力，可用假想的一个平面沿 m m 面将物体截开，分成 A，B 两部分。这两 部分在 m m
5、 面上将有内力相互作用。移去 B 部分，则B 部分对 A 部分的作用以内力表示。围 绕M 点取一微分面积A，作用于A 上的内力 为Q，则内力的平均集度为Q/A。令A 无限缩小而趋于M 点，则在内力连续分布的 条件下Q/A 将趋于一定的极取 p ，即： p A Q lim (c) 极限矢量 p 就是 m m 截面上M 点的总应力。 p 的方向与Q的极限方向一致。 为应用方便，通常把总应力 p 分解为沿其所在截面的法线方向和切线方向的两个分量， 总应力沿截面法线方向的应力分量称为正应力，以符号 表示。总应力沿截面切线方向的 应力分量称为切应力，以符号表示，显然 2 2 2 p （2-1） 应力的因
6、次是力长度 -22.2 一点的应力状态 一般来说，物体内同一截面上不同点的应力是不同的，过同一点不同方向截面上应力 Q m A m B M p A y z x o n P 1 P 2 P 图 2-2 应力分析 12 的总体称为该点应力状态，研究一点的应力状态，就是确定过该点不同方向截面上应力的 大小和方向，建立它们之间的关系，这对于解决物体在弹性或塑性阶段的强度问题，尤其 是建立复杂应力状态下的强度理论，是很重要的。 为研究外力作用下物体内任意点 ) , , ( z y x M 的应力状态，可围绕M 点用平行坐标面的 三对平行面切出一微分六面体，简称单元体或微分体（图 2-3） 。当单元体各边
7、长 dz dy dx 、 、 无限缩小时，单元体即趋于M 点。因此，这个单元体各个截面上的应力状况， 就可表示M 点的应力状态。 假定单元体各截面上的应力是均匀分布的，这些应力便可用作用在各截面中心点的一 个应力矢量表示。这个应力矢量又可分解为一个正应力和两个切应力，它们分别与三个坐 标轴平行，如图 2-4 所示。显而易见，微分体的六个面上共有九个应力分量，即： z , , , , , , , , zy zx yz y yx xz xy x正应力 加上一个坐标角码，表明这个正应力的作用面和作用方向。例如： x 是作用 在垂直于x轴的面上，沿着x轴方向的作用正应力，切应力加上两个坐标角码，第一角
8、码 表明作用面垂直于该坐标轴，第二个角码表明应力作用方向沿着该坐标轴。例如， xy 是作 用在垂直于x轴的面上，沿着y 轴方向作用的切应力。 为了使物体同一截面（假设剖开后任意一部分上的截面）上的每个应力分量具有相同 符号，对于各应力分量的符号采用下述规定。 如果单元体截面的外法线方向沿着坐标轴正方向，则此截面成为正面。反之，截面的 外法线方向沿着坐标轴负方向，则称为负面。规定正面上的应力分量以沿坐标轴正方向者 为正，沿坐标负方向者为负；负面上的应力分量以沿坐标轴负方向者为正，沿坐标轴正方 M dx dy dz 图 2-3 x y z o 图 2-4 o y x z x xy xz y yz
9、yx z zy zx z zy zx y yz yx x xy xz 应力分析 13 向者为负。按此规定，正应力符号与材料力学中使用的拉应力为正、压应力为负规定是一 致的。切应力的符号与材料力学规定不完全一致，图 2-4 所有应力分量均按正的画出。 由此可见，在物体任意M 点处的应力分量共有九个，其中有三个正应力分量，六个切 应力分量，这九个应力分量，当坐标变换时服从一定坐标变换式作相应变化，因此，由这 九个应力分量所组成的量称为二阶应力张量，各应力分量是应力张量的元素。应力张量通 常用记号 ij 表示，则有： z zy yz y xz xy zx yx x ij式中 z y x j i ,
10、, , ，当 j i , 任取 z y x , , 时，就可以得到相应的分量。 实际上,M 点处的六个切应力分量之间有一定的互等关系，例如，将单元体上的作用 力分别对与 z y x , , 轴平行的棱边取矩，由 0 X M 得， dy dxdz dz dxdy yz zy 于是得出： yz zy ( 2- 2a ) 同理由 , 0 y M 得： zx xz ( 2- 2b) 0 z M : 得： yx xy （2-2c） 式（2-2）就是切应力互等定理。该定理表明，作用在相互垂直的两截面上的切应力大小相 等。于是M 点处的九个应力分量中只有六个应力分量是独立的即 , , , z y x , ,
11、 , zx yz xy 。 由这六个应力分量可完全确定该点的应力状态。 应用切应力互等定理，应力张量 ij 又可表示为： z yz y xz xy yz xz xy x ij（2-3） 可见应力张量是一个对称的二阶张量。 已知一点的六个应力分量，可以确定该点任意斜截面上的应力。为此，围绕M 点用平 行坐标平面的三对平行面截取一微分单元体，再过此单元作一个与M 点相距为无穷小的任 意斜截面ABC 。 截面ABC 和过M 点的单元体平面形成一个微分四面体MABC， 如图 2-5 所示。显然，截面ABC 上的应力可以认为是过M 点任意斜截面上的应力。 应力分析 14 设截面ABC 的外法线N 与各坐
12、标轴正 向的夹角分别为 ) , ( x N ， ) , ( y N ， ) , ( z N ，则 其方向余弦分别为： n z N m y N l x N ) , cos( ) , cos( ) , cos(如果三角形ABC 的面积为dA，那么根 据平面图形面积投影定理，可得三角形 MBC ，MCA，MAB的面积为ldA，mdA， ndA。 四面体MABC是微分体。因此，可以认 为该微分体各截面上的应力是均匀分布的， 令 截面ABC 上的总应力为 N p ，它沿坐标轴方 向的三个分量分别为 z y x p p p , , 。研究微分四面体的平衡，由 0 x F 得： 0 ndA mdA ldA
13、dA p zx yx x x 两边除以dA移项后，并注意应用切应力互等定理，得(2-4)式的第一式， 同理， 根据平衡条件 0 y F 和 0 z F 可导出另外两个相类似的平衡方程， 于是， 斜截面ABC 的应力分量 z y x p p p , , 为， n m l p n m l p n m l p z zy zx z yz y yx y xz xy x x （2-4） 或缩写成矩阵形式 N N T N p （2-5a） 其中， T 为应力矩阵的转置矩阵。且 T ， T N n m l ) , , ( 称为斜截面的方向 余弦列阵。 或按下标记法与求和约定写为 ) , , , ( z y x
14、 j i n p j ij i （2-5b） 式中 i ：自由指标，同一项只出现一次 ，同一方程中，各项的自由指标应相同。 j ：哑 指标，表示求和，同一项重复出现，又称为爱因斯坦求和约定。一方面通过哑指标对求和 图 2-5 x o y z A B C M xy xz N x p y p z p z y zx zy yz yx x N p 应力分析 15 起缩写的作用，另一方面通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。 令斜截面ABC 的正应力为 N ，切应力为 N ，则 将 N p 的各分量 z y x p p p , , 向N 方向 投影即得 N T T N N T N z y x N
15、 p p n p m p l （2-6a） 将上式展开，并应用切应力互等定理可得 zx yz xy z y x N nl mn lm n m l 2 2 2 2 2 2 （2-6b） 由图 2-5 可见 2 2 2 2 2 2 N N z y x n p p p p 因此，斜截面上的切应力由下式确定。 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 ) ( N z y x N n N p p p p （2-7） 由此可见，已知物体内任意一点M 处的六个应力分量 x yz xy z , , , , , z y x ，则应 用式（2-6）和（2-7）可求得该点任意斜截面上的正应力和切应力。也就是说，已知一
16、点处 的六个应力分量，则该点的应力状态就完全确定了。 如果，斜截面ABC 是物体的边界面， z y x p p p , , 表示边界上的面力分量。由式（2-4） 可以得到应力的边界值与面力分量间的关系表达式，即物体的应力边界条件： z z zy zx y yz y yx x xz xy x p n m l p n m l p n m l （2-8a） 或 : 上） 在 S n p j ij i ( （2-8b） 以上公式在推导过程中没有涉及物体材料的物理性质，因此上述各式，不仅适用于弹 性力学，也适用于塑性力学等。 2.3 应力分量的坐标变换式 物体内任意一点的应力状态，可用该点的三个正交的直
17、角坐标面上的六个应力分量表 示，当坐标系绕着该点（坐标原点）转动而变换为另一新坐标系时，由于点的位置未变， 所以该点应力状态不会发生变化。但是，在新坐标中表示该点应力状态的六个应力分量将 发生改变。 应力分析 16 设物体内任意一点M 在坐标系oxyz中的 应力分量为 x yz xy z , , , , , z y x 。M 点与 坐标原点o重合， 令坐标系绕原点o转动而得新 坐标系 z y x o ，如 图 2-6 所示，试求在新坐标系 中的六个应力分量 x z z y y x z y x , , , , , 。 设新坐标系 z y x 、 、 对旧坐标的 z y x 、 、 轴的方向余弦分
18、别为， ; , , ; , , 2 2 2 1 1 1 n m l n m l ； 3 3 3 , , n m l 。用矩阵表示为 T T T n m l n m l n m l 3 2 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 （2-9） 显然新坐标系的各坐标平面可分别看作是旧坐标的斜截面。例如， z M y 平面是外法 线为x 轴的斜截面。 根据(2-4)式可得该截面上的总应力 x p 沿新坐标方向的三个应力分量为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n m l Z n m l Y n m l X z yz xz x yz y xy x xz xy x x （2-10a） 或写成， 1 x
19、p ( 2- 10 b) 将 x x x Z Y X 、 、 分别投影于 z y x , , 方向，可得沿新坐标系的正应力 x ，切应力 y x 和 z x 。即 x T x x x z x x T x x x y x x T x x x x p n Z m Y l X p n Z m Y l X p n Z m Y l X 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 2- 10 c) 图 2-6 y x z M x y z x y x z x o 应力分析 17 将式（2-10 b）代入式 (2-10c), 即有： 1 3 1 2 1 1 T z x T y x T x（2-11）
20、同理，可求得在以y 和z 轴为外法线方向的斜截面上的正应力和切应力分别为 2 3 2 1 2 2 T z y T x y T y（2-12） 和 3 2 3 1 3 3 T y z T x z T z( 2- 1 3) 因此，在新坐标系 z y x o 中，表示 M 点的应力状态的应力张量表示为 T z z y z x z y y y x z x y x x ij ( 2 - 14a) 或采用张量的坐标变换定义式 kl jl ik ij l l ( 2- 1 4b) 当坐标变换按照(2-14b)式变换时，(2-14b)式称为张量的解析定义式。式中 j i , 为自由 指标，变化表示在新坐标系下
21、的各应力分量， l k, 为哑指标， jk ik l l , 为新老坐标轴之间的 方向余弦， j i, 代表新坐标轴的轴号， l k, 代表旧坐标轴的轴号。因此，已知一点处的应力 分量,由式(2-11)、(2-12)、(2-13)或(2-14)式可以求得在新坐标系下的应力分量。当新旧坐标 系下的应力分量 ij ij 和 满足(2-14b)式时， ij 称为二阶应力张量。这种坐标变换关系可 以推广到更高阶的张量，即 pqrs ms kr jq ip ijkl l l l l （2-15） 为n阶张量的定义式。且张量的阶数就是自由指标的个数。 应力分析 18 2.4 主应力 应力状态的不变量 已知
22、物体内一点的六个应力分量，则可利用(2-6)和(2-7)式求得过该点任意斜截面上的 正应力和切应力。由材料力学知：过一点必存在这样相互垂直的截面，即截面上只有沿着 截面外法线方向的正应力，而切应力为零。因此，定义过一点切应力为零的平面称为主平 面，主平面上的正应力称为主应力，主平面的外法线方向称为主方向。为了建立复杂应力 状态下的强度条件，必须研究物体内任意点的主应力和主方向。 设物体内任意点M 的应力分量为 zx yz xy z y x , , , , , 。在该点附近截取 一平面ABC ，其外法线为N ，方向余弦分 别为 n m l , , 。令该截面上的切应力为零，则 此面上的总应力 p
23、 即为正应力 N ，也称为 M 点的主应力。截面ABC 就是过M 点的 一个主平面，该面的外法线方向就是一个主 方向。 斜截面ABC 和过M 点且平行于坐标 面的三个微分面形成一个四面体MABC , 如图 2-7 所示，如果主应力 N 在 z y x , , 轴方向的应力分量分别为, n p m p l p N z N y N x , , (a) 将(a)式代入式（2-4）,移项整理后得： 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( n m l n m l n m l N Z zy zx yz N y yx xz xy N x (2-15） 式(2-15)是求主平面的方向余弦 n m l , , 的线
24、性方程组。而 1 2 2 2 n m l (2-16) 它们不能同时为零。由齐次方程组(2-15)可见，如果要使 n m l , , 有非零解，则系数行列式 的系数必须等于零。令： 0 N z zy zx yz N y yx xz xy N x (2-17) x o z y M A B C N x p y p z p 主平面 p N 图. 2-7 z xz zy x xy y yz zx yx 应力分析 19 展开行列式，并注意切应力互等定理，得 0 3 2 2 1 3 I I I N N N （2-18） 式中： xy zx yz xy z zx y yz x z y x ij k j i
25、jki xy zx yz y x x z z y ij ij jj ii z y x ii e I I I 2 det 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 2 1 (2-19) 注意：符号 ijk e 的定义： 1 ijk e ：对于 3 , 2 , 1 k j i 或经偶次交换后的排列。如： 1 , 1 312 123 e e 。 1 ijk e ：对于 3 , 2 , 1 k j i 或经奇数次交换后的排列。如： 1 132 e 。 0 ijk e ：对于两个或两个以上重复的角标。如： 0 113 e 。 方程 （2-18） 为M 点应力状态的特征方程， 解方程可得三个
26、实根， 即主应力， 3 2 1 , , , 且 2 2 1 同时，也存在三个互相正交的主平面。 为了求主方向，可将主应力值分别代入式(2-15)中的任意两个方程，并和(2-16)联立 求解，可得三个主方向。例如：求 1 的的方向，将主应力 1 的值代入式(2-15)前两个方程 得： 0 ) ( 1 1 1 1 n m l zx yx x (b) 0 ) ( 1 1 1 1 n m l zy y xy (c) 且从式(2-16)有： 1 2 1 2 1 2 1 n m l (d) 联解这三个方程可得与主应力 1 相应的方向余弦 1 1 1 , , n m l 。同理，也可求得 2 2 2 , ,
27、 n m l 和 3 3 3 , , n m l 。 另一方面，因主应力 3 2 1 , , 均为特征方程(2-18)的根，故又可将此方程表示为 0 ) )( )( ( 3 2 1 N N N(e) 应力分析 20 展开后有 0 ) ( ) ( 3 2 1 1 3 3 2 2 1 2 3 2 1 3 N N N(f) 与式（2-18） 、 （2-19）对照得： 3 2 1 2 2 2 3 1 3 3 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 xy zx yz xy z zx y yz x z y x xy zx yz y x x z z y z y x I I I（2-20） 由于主应力
28、是表征应力状态的一种物理量，它们与所采用的坐标系无关，故当坐标变 换时， 3 2 1 , , I I I 是不变量，分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。它们不因为坐 标变换而改变。 1 I 是过一点任意三个相互垂直截面上的正应力之和，它是一个常数且等于平均应力的 三倍。应力状态的第二和第三不变量在塑性理论中有很重要的应用。同时，若给定了 3 2 1 , , I I I ,也就等于给定了主应力 3 2 1 , , 。 例 2.1 已知一点的应力状态为 5 1 3 1 6 2 3 2 4 ij 应力的单位为MPa。确定主应力的大小和最大主应力相对于原坐标轴的方向余弦。 解：从方程（2-20）
29、 ，有 54 2 5 3 6 1 4 3 1 2 2 5 6 4 2 60 3 1 2 4 5 5 6 6 4 15 5 6 4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 xy zx yz xy z zx y yz x z y x xy zx yz y x x z z y z y x I I I 因此，方程（2-18）成为 0 54 60 15 2 3 N N N 以上三次方程既可以通过数值方法求解，也有许多手算的方法求解上述问题。方程的 三个根为 应力分析 21, 73 . 4 , 9 2 1 和 27 . 1 3 为了获得最大主应力对应的方向余弦，在此应用方程(2-15)
30、，将相关的应力值代入， 我们有 0 4 3 , 0 3 2 , 0 3 2 5 n m l n m l n m l 使用上面任意两个方程和 1 2 2 2 n m l ， n m l , , 的值就可以确定。这样 3 2 1 , , 对应的方向余弦就很容易确定。 特别地， n m l ，例如： 9 1 MPa ，与原坐标系 i x 成等倾角，于是有 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 n m l n m l 于是 3 1 n m l 即， 0 74 . 54 , cos l 例 2.2 证明应力张量的第二不变量 2 I ，当坐标变换式为一不变量。(方向余弦之间的正 交关系为： ij kj
31、ki l l 或 ij jk ik ) 证明：由二阶张量的定义式并结合如上正交关系： 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 I l l l l I pq pq kk pp kl pq ql pk kl kl pq pq kl jl ik pq jq ip kl jl jk pq iq ip ij ij jj ii 于是得证。 应力分析 22 2.5 应力状态的图解法 当已知三个主应力 3 2 1 时，可以用几何的 方法来表示方向余弦为 n m l , , 的任意斜微面N 上的 N 和 N 。 将直角坐标系的三个坐标轴放在主方向上，如图 2-8 所示，于是有 0
32、 , , , 3 2 1 zx yz xy z y x N 为任意斜截面的外法线，其方向余弦分别为 n m l , , 。则由式（2-6）可得该截面上的正应力 N 为 3 2 2 2 1 2 n m l N (2-21) 斜截面上总应力 N p 沿着坐标轴方向的三个分量 z y x p p p 、 、 由（2-4）式得： 3 2 1 , , n p m p l p z y x ( a) 该截面上总应力 N p 应为 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 n m l p p p P z y x N ( b) 斜截面上的切应力由(2-7)式可得 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2
33、 2 2 2 2 2 N N z y x N n m l p p p ( 2- 22) 而且 1 2 2 2 n m l ( c) 联解(2-21)、(2-22)和(c)可解出 M y z x o N图2-8 1 3 2 N N N S 应力分析 23 ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 3 1 3 2 1 2 2 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 2 1 3 2 2 2 N N N N N N N N N n m l( d) 式(d)略做变化，可改写成如下形式 ) )( ( ) 2 ( ) 2 ( ) )( ( ) 2 ( ) 2 (
34、 ) )( ( ) 2 ( ) 2 ( 2 3 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 3 2 2 2 1 3 2 2 1 3 3 1 2 1 2 2 3 2 2 2 3 2 l l l N N N N N N( e) 考虑到 3 2 1 ，则由式(e)可得 2 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 2 1 3 2 3 2 2 2 3 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( N N N N N N(f) 式(f)表明， 在以正应力为横坐 标，切应力为纵坐标的坐标系 中，表示斜截面上应力 ) , ( N N D 点，且位于图 2-9 中的阴影之内。
35、图 2-9 是三向应力状态时 的应力圆，由图可见阴影部分 内所有点的横坐标都小于B 点，并大于A点的横坐标值。 且所有点的纵坐标都小于G 点的纵坐标值。于是正应力和 切应力的极值分别为 o O 1 O 2 O 3 G ) , ( N N D 2 3 1 13 max 1 3 2 2 3 1 图 2-9 应力园 A B 应力分析 24 2 , 3 1 13 max 3 min 1 max ( 2- 23 ) 式(2-23)表明： 过物体内一点任意斜截面上的正应力 N 介于 1 和 3 之间，也就是说，最大主应力 1 和最小主应力 3 是该斜截面上正应力的最大值和最小值。 最大主切应力等于 1 和
36、 3 之差的一半，由图 2-9 可见，在主切应力 13 所在截面上的正 应力为 2 3 1 N( g) 将式(g)代入式(d),并应用式(2-23)可求得主切应力所在截面的方向余弦为： 2 2 , 0 , 2 2 n m l ( 2 - 24) 另外，将主切应力 23 和 12 所在截面的正应力 2 ) ( 3 2 N 和 2 ) ( 2 1 N 分别代入(d)式，可求得相应主切应力 23 和 12 所在截面的方向余弦为 0 , 2 2 , 2 2 2 2 , 2 2 , 0 n m l n m l（2-25） 因此，主切应力的作用面必通过与此切应力无关的主轴 向，并且与其它两个主轴成 4 /
37、 的夹角，如图 2-10 所示， 13 通过 2 轴并与 3 1 、 分别成 45 0 成夹角。 因为 3 2 1 ，所以最大切应力为 2 3 1 13 max （2-26） 1 2 3 13 13 图 2-10 主切应力作用方位. 应力分析 25 而且， 0 23 13 12 ，因此，三个主切应力只有两个是独立的，其中两个较大的主切 应力决定着塑性材料的屈服与破坏，即余茂宏的双剪应力强度准则。或称为十二面体剪应 力强度准则。 2.6 八面体和八面体应力 设任意点M 的三个主应力分别为 3 2 1 , , 。过M 点选取一直角坐标系oxyz并使 坐标轴 z y x , , 分别与三个主 轴向平
38、行，即 z y x , , 方向分 别用 3 , 2 , 1 表示，如图 2-11 所示。在坐标系的八个象限 中，分别选取三个方向余弦 平方值相等的等倾面，这八 个平面形成一个正八面体， 简称八面体，各面上的应力 称为八面体应力。 根据八面体各面法线的 三个方向余弦平方值相等。 2 2 2 n m l 且 1 2 2 2 n m l 所以 3 1 n m l ( a) 令八面体的正应力为 8 ，切应力 8 。将式(a)代入式（2-21）得 1 3 2 1 3 2 2 2 1 2 8 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 I n m l z y x (2-27) 上式表明：八面体的正应力 8 等于三个主应力或正应力的平均值，故称为平均应力。 将式(a)代入式(2-22)，可得八面体上的切应力为 ) ( 6 ) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( ) ( ) ( 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3 2 2 2 1 8 xz yz xy x z z y y x （2-28） 图 2-11 八面体的应力 M x y z 1 2 3 3 1 1 2 2 3
