1、第三讲 圆锥曲线性质的探讨,时静 2008年8月,（一）平行投影,复习与引入,1、点在直线上的正射影,M,N,A,A,2、直线在直线上的正射影,N,M,A,B,A,B,思考：点、直线在平面上的正射影是什么呢？,给定一个平面 ，从一点A作平面 的垂线，垂足为点A称为点A在平面 上的正射影,那么，一条直线在平面上的正射影是什么样的图形呢？,A,A,一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影,A,A,B,B,思考：一个圆所在的平面与平面 平行时，该圆在平面 上的正射影是什么图形？,当平面 与平面 不平行时，圆在平面 上的正射影是什么图形？,如果平面 与平面 垂直时，圆在
2、平面 上的正射影又是什么图形？,如果取消“垂直”的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。,设直线l与平面 相交，称直线l的方向为投影方向。过A点作平行于l的直线（称为投影线）必交与一点A称点为A沿l的方向在平面 上的平行射影。,A,A,一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。,显然，正射影是平行射影的特例。,思考：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？,将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，观察水平面所成的图形,定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。,如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面又是一个什
3、么样的图形？,我们分析一下图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子（圆柱）的母线为投影方向，杯口（圆）在水平面所在平面上的射影。,其中，点A的投影为点E,点D的投影为F，显然EFAD。与杯口（圆）的直径AD垂直的直径在水平面上的射影的长度保持不变，因此，于是杯口（圆）的射影不是一个圆，而是椭圆,A,E,P,H,Q,F,G,C,结论：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆；当平面志圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆。,（二）平面与圆柱面的截线,问题：,（1）G2F1+G2F2与AD什么关系？ （2）AD的长与G1G2什么关系？ （3）G2F1与G2E有什么关系？
4、,PF1+PF2=PK1+PK2=AD （AD为定值）,定理1 ： 圆柱形物体的斜截口是椭圆,准线,离心率,（三）平面与圆锥面的截线,问题：当 与 满足什么关系时,（1） 与AB（或AB的延长线），AC都相交,（2） 与AB不相交,（3） 与BA的延长线，AC都相交,(1) , 与AB(或AB的延长线)、AC都相交。,(2) , 与AB不相交。,(3) , 与BA的延长线、AC都相交。,定理2 在空间中，取直线 为轴，直线与 相交于O点，夹角为 ， 围绕 旋转得到以O为顶点， 为母线的圆锥面，任 取平面 ，若它与轴 的交角为 （当 与 平行时，记 ），则,(1) ,平面 与圆锥的交线为椭圆；,(2) ,平面 与圆锥的交线为抛物线；,(3) ,平面 与圆锥的交线为双曲线；,1 交线为椭圆时的证明,PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2 （Q1Q2为定值）,2 椭圆的性质,常考知识点 高考:无 模拟考: (1)平行投影的性质 (2)球的切线与切面 (3)圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线 (4)圆锥面及其内切球,
