1、测量误差的基本概念 测量不确定度 测量数据的表述方法及线性回归初步 测量数据处理 误差的分类,本章内容,测量的目的是为了获得被测量的真实值。但是，由于种种原因如测量方法、测量仪表、测量环境等的影响，任何被测量的真实值都无法得到。 本章所介绍的误差分析与数据处理就是希望通过正确认识误差的性质和来源，正确地处理测量数据，以得到最接近真值的结果。同时合理地制定测量方案，科学地组织试验，正确地选择测量方法和仪器，以便在条件允许的情况下得到最理想的测量结果。,2.1 测量误差的基本概念,真值，是指在一定的时间及空间(位置或状态)条件下，被测量所体现的真实数值。通常所说的真值可以分为“理论真值”、“约定真
2、值”和“相对真值”。,一 真值,理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。例如三角形的内角和恒为180一般情况下，理论真值是未知的。 约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。 相对真值也叫实际值，是指将测量仪表按精度不同分为若干等级，高等级的测量仪表的测量值即为相对真值。例如，标准压力表所指示的压力值相对于普通压力表的指示值而言，即可认为是被测压力的相对真值。通常，高一级测
3、量仪表的误差若为低一级测量仪表的1/3到1/10即可认为前者的示值是后者的相对真值。相对真值在误差测量中的应用最为广泛。,二测量误差及其表示方法,测量结果与被测量真值之差称为测量误差。在实际测试中真值无法确定，因此常用约定真值或相对真值代替真值来确定测量误差。测量误差可以用以下几种方法表示。,1绝对误差 绝对误差是指测量结果的测量值与被测量的真值之间的差值，即,2相对误差 相对误差定义为绝对误差与真值之比的百分数，即,相对误差,显然，第一种方法最好，第二种次之，第三种最差。,3引用误差,相对误差可以评价不同被测量的测量精度，却不能用来评价不同仪表的质量。因为同一仪表在整个测量范围内的相对误差不
4、是定值，由相对误差的定义可知，在绝对误差相同的情况下，随着被测量的减小，相对误差逐渐增大。为合理的评价仪表的测量质量，引入引用误差的概念。,引用误差定义为绝对误差与测量仪表的满量程的百分比，即,r-引用误差,在测量领域，检测仪器的精度等级是由引用误差大小划分的。通常用最大引用误差去掉正负号和百分号后的数字来表示精度等级，精度等级用符号G表示。为统一和方便使用，国家标准GB 77676电测量指示仪表通用技术条件规定，测量指示仪表的精度等级G分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七个等级，这也是工业检测仪器常用的精度等级。检测仪器的精度等级由生产厂商根据其最大引用误差的大小并
5、以“选大不选小”的原则就近套用上述精度等级得到。例如一个电压表，其满量程为100V，若其最大误差出现在50V处且为0.12V，则可以确定仪表等级为0.2级。,在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）,三测量误差的来源,1方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，没有正确的估计电压表的内阻对测量结果的影响而造成的误差。在选择测量方法时，应考虑现
6、有的测量设备及测量的精度要求，并根据被测量本身的特性来确定采用何种测量方法和选择哪些测量设备。正确的测量方法，可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。 2理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。,3测量装置误差 测量装置误差是指测量仪表本身以及仪表组成元件不完善所引入的误差。如仪表刻度不准确或非线性，测量仪表中所用的标准量具的误差，测量装置本身电气或机械性
7、能不完善，仪器、仪表的零位偏移等。为了减小测量装置误差应该不断地提高仪表及组成元件本身的质量。 4环境误差 环境误差是测量仪表的工作环境与要求条件不一致所造成的误差。如温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动等引起的误差。 5人身误差 人身误差是由于测量者本人不良习惯、操作不熟练或疏忽大意所引起的误差。如念错读数、读刻度示值时总是偏大或偏小等。 在测量工作中，对于误差的来源必须认真分析，采取相应措施，以减小误差对测量结果的影响。,2.2 误差的分类,为了便于误差的分析和处理，可以按误差的规律性将其分为三类，即系统误差，随机误差和粗大误差。,一. 系统误差,在相同的条件下，对同一物理量进
8、行多次测量，如果误差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统误差(system error)，简称系差。系统误差可分为定值系统误差(简称定值系差)和变值系统误差(简称变值系差)。数值和符号都保持不变的系统误差称为定值系差。数值和符号均按照一定规律性变化的系统误差称为变值系差。变值系差按其变化规律又可分为线性系统误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。,系统误差示意图,系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。系统误差是一种有规律的
9、误差，故可以通过理论分析采用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。,*,按误差出现的规律分，下列误差属于系统误差的有（ ） A)仪表本身材料，零件工艺上的缺陷； B)测量者不良读数习惯引起的误差； C)测试工作中使用仪表的方法不正确； D)电子线路中的噪声干扰； E)压力表的零点偏高；,答案：ABCF,其中D属于随机误差,二. 随机误差,当对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出现的大小和符号均以不可预知的方式变化，则该误差为随机误差(random error)。随机误差产生的原因比较复杂，虽然测量是在相同条件下进行的，但测量环境中温度、湿度、压力、振动、电场等总会发生微小变化，因此，随机误差是
10、大量对测量值影响微小且又互不相关的因素所引起的综合结果。,(1) 对称性：绝对值相等、符号相反的误差在多次重复测量中出现的可能性相等。 (2) 有界性：在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超出某一限度。 (3) 单峰性：绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差在多次重复测量中出现的机会多。 (4) 抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。,三. 粗大误差,明显超出规定条件下的预期值的误差称为粗大误差(abnormal error)。 粗大误差一般是由于操作人员粗心大意、操作不当或实验条件没有达到预定要求就进行实验等造成的。如读错、测错、记错数值、使用有缺陷的测量仪表等。含有粗大误
11、差的测量值称为坏值或异常值，所有的坏值在数据处理时应剔除掉。,四. 测量精度,测量精度是从另一角度评价测量误差大小的量，它与误差大小相对应，即误差大，精度低；误差小，精度高。测量精度可细分为准确度、精密度和精确度。,1准确度 表明测量结果偏离真值的程度，它反映系统误差的影响，系统误差小，则准确度高。 2精密度 表明测量结果的分散程度，它反映随机误差的影响，随机误差小，则精密度高。 3精确度 精确度反映测量中系统误差和随机误差综合影响的程度，简称精度。精度高，说明准确度与精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。,测量的准确度与精密度的区别，由图可知，若靶心为真实值，图中黑点为测量值，则图(a)
12、表示准确却不精密的测量，图(b)表示精密却不准确的测量，图（c)表示既准确又精密的测量。一切测量都应同时兼顾准确度和精密度，力求既准确又精密，才能成为精确的测量。一般来说，工程测量中，占主要地位的是系统误差，应力求准确度高，所以人们习惯上又把精度称为准确度。而在精密测量中由于已经采取一定的措施(如改进测量方法，改善测量条件)减小或消除了系统误差，因而随机误差是主要的。,2.3 测量数据处理,测量数据处理是对测量所获得的数据进行深入的分析，找出变量之间相互制约、相互联系的依存关系，有时还需要用数学解析的方法，推导出各变量之间的函数关系。只有经过科学的处理，才能去粗取精、去伪存真，从而获得反映被测
13、对象的物理状态和特性的有用信息，这就是测量数据处理的最终目的。,一. 测量数据的统计参数,测量数据总是存在误差的，而误差又包含着各种因素产生的分量，如系统误差、随机误差、粗大误差等。显然一次测量是无法判别误差的统计特性，只有通过足够多次的重复测量才能由测量数据的统计分析获得误差的统计特性。 而实际的测量是有限次的，因而测量数据只能用样本的统计量作为测量数据总体特征量的估计值。测量数据处理的任务就是求得测量数据的样本统计量，以得到一个既接近真值又可信的估计值以及它偏离真值程度的估计。 误差分析的理论大多基于测量数据的正态分布，而实际测量由于受各种因素的影响，使得测量数据的分布情况复杂。因此，测量
14、数据必须经过消除系统误差、正态性检验和剔除粗大误差后，才能作进一步处理，以得到可信的结果。,二 随机误差及其处理,随机误差与系统误差的来源和性质不同，所以处理的方法也不同。由于随机误差是由一系列随机因素引起的，因而随机变量可以用来表达随机误差的取值范围及概率。若有一非负函数，其对任意实数有分布函数,称,为,的概率分布密度函数,为误差在 之间的概率，在测量系统中，若系统误差已经减小到可以忽略的程度后才可对随机误差进行统计处理。,1. 随机误差的正态分布规律,随机误差的正态分布曲线,特征量,标准差,n为测量次数,P（）=68.3%； P（2）=95.4%； P（3）=99.7%,2. 真实值与算术
15、平均值,设对某一物理量进行直接多次测量，测量值分别为下x1,x2,xn,各次测量值的随机误差为。将随机误差相加,两边同除n得,用 代表测量列的算术平均值,根据随机误差的抵偿特征，即,于是,可见，当测量次数很多时，算术平均值趋于真实值，也就是说，算术平均值受随机误差影响比单次测量小。且测量次数越多，影响越小。因此可以用多次测量的算术平均值代替真实值，并称为最可信数值。 因此，减小随机误差的方法就是增加测量次数,3. 随机误差的估算,1) 标准差（多次测量）,它是一定测量条件下随机误差最常用的估计值。其物理意义为随机误差落在(，)区间的概率为68.3%。区间(，)称为置信区间，相应的概率称为置信概
16、率。显然，置信区间扩大，则置信概率提高。置信区间取(2，2) 、 (3，3)时，相应的置信概率 P(2)=95.4%,P(3)=99.7%.,定义3为极限误差，其概率含义是在1000次测量中只有3次测量的误差绝对值会超过3。由于在一般测量中次数很少超过几十次，因此，可以认为测量误差超3出范围的概率是很小的，故称为极限误差，一般可作为可疑值取舍的判定标准。,不同的概率密度曲线,值越小，曲线陡且峰值高，说明测量值的随机误差集中，小误差占优势，各测量值的分散性小，重复性好。,利用剩余误差替代随机误差，得到的结果就是单次测量的标准差，用 表示，它只是的一个估算值。,这一公式称为贝塞尔公式。 n较小时，
17、必须采用贝塞尔公式计算的值。(n1000),2) 单次测量值的标准差的估计,由于真值未知时，随机误差 不可求（不知道x0），可用各次测量值与算术平均值之差剩余误差,在测量中用算术平均值作为最可信赖值，它比单次测量得到的结果可靠性高。由于测量次数有限，因此 也不等于 。也就是说， 还是存在随机误差的，可以证明，算术平均值的标准差 是单次测量值的标准差 的 倍， 即,3) 算术平均值的标准差的估计,上式表明，在n较小时，增加测量次数n，可明显减小测量结果的标准差，提高测量的精密度。但随着n的增大，减小的程度越来越小；当n大到一定数值时 就几乎不变了。,4. 间接测量的标准差传递,设间接测量值与各独
18、立的直接测量值X1，X2，X3,Xn的函数关系为,上式不仅可以用来计算间接测量值y的标准差，而且还可以用来分析各直接测量值的误差对最后结果的误差的影响大小，从而为改进实验提出了方向。在设计一项实验时，误差传递公式能为合理地组织实验、选择测量仪器提供重要的依据。,一些常用函数标准差的传递公式见表p26,常用函数标准差的传递公式,例题：计算系统误差 已知一平衡电桥，求测量热电阻Rx的绝对误差和相对误差。 假设电源E和检流计D引起的误差忽略不计。Rx10欧姆，R2100欧姆，R3100欧姆，R41000欧姆，R20.1欧姆，R30.01欧姆，R41.0欧姆。,解：当电桥处于平衡时，有：,三系统误差的
19、发现,由于系统误差对测量精度的影响较大，必须消除系统误差的影响才能有效地提高测量精度，下面介绍几种发现系统误差的方法。,1. 定值系统误差的发现,1) 实验对比法 对于定值系统误差，通常采用实验对比法发现和确定。实验对比法又可分为标准器件法(简称标准件法)和标准仪器法(简称标准表法)两种。 标准器件法就是用测量仪表对高精度的标准器件(如标准砝码)进行多次重复测量。如果定值系差存在则测量值与标准器件的差值为固定值。该差值的相反数即可作为仪表的修正值。 标准仪器法是用精度等级高于被标定仪器(即需要检验是否具有系统误差的仪表)的标准仪器和被标定仪器同时测量被测量。将标准仪器的测量值作为相对真值。若两
20、测量仪表的测量值存在固定差值则可判断有定值系差，并将差值的相反数作为修正值。 当无法通过标准器件或标准仪器来发现并消除定值系差时，还可以通过多台同类或相近的仪器进行相互对比，观察测量结果的差异，以便提供一致性的参考数据。,2) 改变外界测量条件 有些检测系统，一旦测量环境或被测参数值发生变化，其系统误差往往也从一个固定值变化到另一个固定值。利用这一特性，可以有意识地改变测量条件，来发现和确定仪器在不同条件下的系统误差。例如，更换测量人员或改变测量方法等。分别测出两组或两组以上数据，然后比较其差异，便可判断是否含有定值系差，同时还可设法消除系统误差。注意，在改变测量条件进行测量时，应该判断在条件
21、改变后是否引入新的系统误差。 3) 理论计算及分析 因测量原理或检测方法等方面存在不足而引入的定值系差，可通过原理分析与理论计算来加以修正。对此需要有针对性地仔细研究和计算、评估实际值与理论值之间的差异，然后设法补偿和消除系统误差。,2. 变值系统误差的发现,1) 残差观察法 当系统误差与随机误差相比较大时，通过观察测量数据的各个剩余误差大小和符号的变化规律来判断有无变值系统误差。 若剩余误差数值有规律的递增或递减，且剩余误差序列减去其中值后的新数列在以中值为原点的数轴上呈正负对称分布，则说明测量存在累进性的线性系统误差。 如果发现剩余误差序列呈有规律交替重复变化，则说明测量存在周期性系统误差
22、。 当系统误差比随机误差小或相当时，则不能通过观察来发现系统误差，必须通过专门的判断准则才能较好地发现和确定。这些判断准则实质上是检验误差的分布是否偏离正态分布，常用的有马利科夫准则和阿贝-赫梅特准则等。,2) 马利科夫准则,马利科夫准则适用于判断、发现和确定线性系统误差。设对某一被测量进行次等精度测量，按测量先后顺序得到X1,X2Xi,Xn等数值。令这些数值的算术平均值为,相应的剩余误差为：,将前面一半以及后面一半数据的剩余误差分别求和，然后取其差值，有,若M近似为零，则说明上述测量列中不含线性系统误差；若M与Vi相当或更大，则说明测量列中存在线性系统误差。,3) 阿贝-赫梅特(Abbe-H
23、elmert)准则,阿贝-赫梅特准则用于发现周期性系统误差。此准则的实际操作方法也是将在等精度重复测量下得到的一组测量值 , 按顺序排列，并求出相应的剩余误差 。然后计算,4) 不同公式计算标准差比较法,对等精度的多次测量，用不同的方法计算标准差，通过比较以发现系统误差。 用贝塞尔公式,用别捷尔斯公式,对于两种不同公式计算得出的标准差 ， ，如果有,成立，则认为测量序列中有系统误差存在。,四. 减小系统误差的方法,分析和研究系统误差的最终目的是减小和消除系统误差。下面介绍一些常用的消除系统误差的方法。,1. 消除系统误差产生的根源 为减小系统误差的影响，应该从测试系统的设计时入手。选用合适的测
24、量方法以避免方法误差；选择最佳的测量仪表与合理的装配工艺，以减小工具误差；应选择合适的测量环境以减小环境误差。此外，还需定期的检查、维修和校正测量仪器以保证测量的精度。 2. 引入更正值法 该方法主要用于消除定值系统误差。在测量之前，通过对测量仪表进行校准，可以得到更正值，将更正值加入测量值中，即得到被测量的真值。 更正值一般用表示，它是与测量误差的绝对值相等而符号相反的值。更正值给出的方式不一定是具体的数值，也可以是一条曲线、公式或数表。在某些自动检测系统中，预先将更正值储存于计算机的内存中，这样可对测量结果中的系统误差自动进行修正。,3. 采用特殊测量方法消除系统误差,1) 直接比较法 直
25、接比较法即零位式测量法，用于消除定值系统误差。该方法的优点在于当指示器的灵敏度足够高时，测量的准确度取决于标准的已知量，而标准量具的误差是很小的。,2) 替代法 替代法主要用于消除定值系统误差，其操作方法为用可调的标准量具取代被测量 接入测量仪表，通过调节标准量具A的值使测量仪表的示值与被测量接入时相同，于是有 。,例如，测量某未知电阻Rx，要求误差小于0.1%。首先将它接入一个电桥中，该电桥的误差为1%。调整桥臂电阻 、 使电桥平衡；然后取下 ，换上标准电阻箱 (电阻箱为0.01级)。保持 、 不动，调节 的大小，使电桥再次平衡，此时被测电阻 。只要测量灵敏度足够，根据这种方法测量 的准确度
26、与标准电阻箱的准确度相当，而与检流计 和电阻 、 的恒值误差无关，因此可以满足测量要求。,替代法的特点是被测量与标准量具通过测量装置进行比较，测量装置的系统误差不带给测量结果，它只起辨别有无差异的作用，因此测量装置的灵敏度应该足够高，否则不能得到期望的结果。,这种方法是指当测量仪表内部存在固定方向的误差因素时，将测量中的某些条件(如被测物的位置或被测量的极性等)相互交换，使产生系差的原因对先后两次测量结果起反作用，将这两次测量结果加以适当的数学处理(通常取其算术平均值或几何平均值)，即可消除系统误差。 例如，以等臂天平测量质量时，由于天平左右两臂长的微小差别，会引起测量的定值系统误差。如果将被
27、称物与砝码在天平左右两盘上分别各称量一次，取两次测量平均值作为被称物的质量，这时测量结果中就不含有因天平不等臂引起的系统误差。,3) 交换法,这种方法是将被测量与已知的标准量进行比较，取其差值，然后用测量仪表测量这个差值。微差法只要求标准量与被测量相近，而用指示仪表测量其差值。这样，指示仪表的误差对测量的影响会大大减弱。,设被测量为 ，标准量为B(与 相近)，标准量与被测量的微差为 (由指示仪表示出)，则,相对误差,4) 微差法,由于 x 与B的微差b远小于B，所以,故,故,上式表示被测量x的相对误差由两部分组成：第一部分为标准量的相对误差，它一般是很小的；第二部分是指示仪表相对误差，由于 ，
28、所以指示仪表误差的影响被大大削弱。由此也可看出，微差法是以灵敏度来换取准确度。,5) 等时距对称观测法,等时距对称观测法用于消除线性系统误差。由于线性系统误差按照如图所示的斜线规律变化，其特点为对称于中点 的各系统误差的算术平均值彼此相等，即有,利用上述关系，将测量对称安排，取两次对称测量值的平均值作为测量结果即消除系统误差。由于多数变值系统误差在短时间内均可认为是按线性规律变化的，即使按复杂规律变化的误差，其一次近似亦为线性误差，因此，在许多精密测量场合，均可采用等时距对称观测法消除变值系差。,线性系统误差,例题：RN是一标准电阻，求未知电阻RX,由于电源E或者电压表电源电压随时间线性下降，
29、产生线性误差,半周期观测法用于消除周期性的系统误差。设周期性系统误差的变化规律为,式中 决定周期性误差的自变量； T周期性系统误差的变化周期。,在某一时刻，如 ，周期性误差为,经过半个周期后， ，周期性误差为,可知，如果在某处测得一个数据后，在与该点相隔半个周期处再测量一个数据，取两次测量的平均值作为测量结果，即可消除周期性系统误差。,6) 半周期观测法,五 粗大误差的判别和剔除方法,由于随机误差具有有界性，因此，测量结果明显不同于期望值的测量值含粗大误差(疏失误差)，应该予以剔除。判别粗大误差的准则很多，下面介绍两种。,1. 格罗布斯(Grubbs)准则(p31),当测量数据中，某数据 的剩
30、余误差满足,则该测量数据含有粗大误差，应予以剔除。,为格罗布斯准则鉴别值,为格罗布斯准则鉴别系数,P31,格罗布斯(Grubbs)准则鉴别值g(a,n)数值表,2）拉依达准则,在正态分布中，当误差的绝对值大于3 的概率为0.0027，为小概率事件。 故：,则判定存在粗大误差，应予以剔除。,判定测量数据是否存在粗大误差的步骤： 1、根据读数确定平均值，作为真值； 2、确定剩余误差或绝对误差 3、确定标准差 4、根据拉依达准则或格罗布斯(Grubbs)准则判定粗大误差 5、剔除粗大误差 6、重复以上，直到没有粗大误差。,*,例题：对某个物理量进行15次重复测量，数据如下：20.42 20.43 2
31、0.40 20.43 20.42 20.43 20.39 20.30 20.40 20.43 20.42 20.41 20.39 20.39 20.40 .判断测量数据是否含有粗大误差？,解(1)采用拉依达准则判定 剩余误差V和V2填于后表。,根据拉依达准则，可以发现，第8个数据的剩余误差0.104大于0.099，该组数据中含有粗大误差。,*,解(2)采用格罗布斯(Grubbs)准则判定,测量次数：n=15 假设显著性水平：a=0.01 查表：g(0.01,15)=2.70 根据格罗布斯(Grubbs)准则计算：,可以发现，第8个数据的剩余误差0.104大于0.0891，可见，第8个数据20.
32、30为可疑数据，其产生的误差为粗大误差。故剔除第8个数据20.30，重新判断。,对剩余的14个数据重新计算，通过拉依达准则和格罗布斯(Grubbs)准则判定，都没有粗大误差存在。,*,2.4 测量数据的表示方法及线性回归初步,测量数据表示方法： 1、图示 2、表格 3、公式,线性回归方法： 1、理论拟合（按照传感器特性曲线拟合） 2、端点拟合（两点确定一条直线） 3、平均值拟合（把数据分为两组，每组确定一个平均值，再用平均值确定一直线） 4、最小二乘法拟合（基于均方误差最小）,最小二乘法,判断一个线性回归方程是否恰当，可用相关系数r来判别：,r越接近1，说明实验数据点密集分布在拟合直线的近旁，
33、r越接近0，线性越差。一般r的绝对值大于0.9才有意义。,例题：matlab程序,%* % 线性拟合实验程序 %* %- % y=a+kx %- clc; close all; clear; %输入实验数据xi和yi xi=0,0,0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0,1.0, 1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,1.5,2.0,2.0,2.0,2.0,2.0,2.0,2.5,2.5,2.5; yi=0.0020,0.0030,0.0025,0.0035,0.0035,0.0040,0.2015 ,0.2020,0.2020
34、,0.2030,0.2020,0.2030,0.4005,0.4020,0.4010, 0.4020,0.4010,0.4020,0.6000,0.6010,0.6000,0.6015,0.6000,0.601 0,0.7995,0.8005,0.7995,0.8005,0.7995,0.8005,1.000,0.9995,0.9990;,n=length(xi); x1=0;x2=0;x3=0;x4=0; for i=1:nx1= x1+xi(1,i)*yi(1,i);x2=x2+xi(1,i);x3=x3+yi(1,i); x4=x4+xi(1,i)2;endk=(n*x1-x2*x3)/
35、(n*x4-x22)a=(x4*x3-x2*x1)/(n*x4-x22) plot(xi,yi,*r); xlabel(实验数据x);ylabel(实验数据y);title(一阶线性拟合实验程序y=kx+a) x0=min(xi)-1; xn=max(xi)+1; x=x0:0.1:xn y=a+k.*x;hold on;plot(x,y);hold off;,某作物研究所对某地区的土豆做了一定数量的实验，实验数据如下表所示，其中ha表示土地面积单位公顷，t表示农作物产量单位吨，kg表示施肥量单位公斤。因为有三个变量影响土豆产量，当一个营养素的施肥量变化时，将另外两个营养素的施肥量固定。当磷肥
36、和钾肥分别为196kg/ha和372kg/ha时，氮肥施肥量与土豆参量之间的关系见表1所示。,表1 土豆产量与施氮肥量的关系,当氮肥和钾肥分别为259kg/ha和372kg/ha，磷肥施肥量与土豆参量之间的关系见表2。 表2 土豆产量与施磷肥量的关系,*,当氮肥和磷肥分别为259kg/ha和196kg/ha，钾肥施肥量与土豆参量之间的关系见表3所示。 表3 土豆产量与施钾肥量的关系,用恰当的曲线拟合上述实验数据。,首先绘制实验数据的散点图，观察曲线趋势，寻找拟合曲线的样式。曲线拟合和直线拟合采用的方法都是最小二乘法，原理相同。根据上述方法可以计算系数。如果用指数曲线或者对数曲线，可以根据经验，
37、首先设定一个系数范围，然后在这个范围内按照一定步长，计算每一个均方误差，找到对应最小误差的系数即可,非线性拟合（最小二乘法）,利用matlab或C语言编写程序，拟合实验数据的曲线。,2.5 测量不确定度 1、定义 测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。实际上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值。虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种概率分布本身也具有
38、分散性。测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值。,*,测量结果的完整表述应该包含： 测量值 不确定度（通常是一个标准偏差或其给定的倍数或给定置信度区间的半宽度） 单位 置信度（置信区间的概率）,2、分类及评定方法（A类和B类,C类）,将不确定度分为“A”类与“B”类，仅为讨论方便，并不意味着两类评定之间存在本质上的区别，A类不确定度是由一组观测得到的频率分布导出的概率密度函数得出：B类不确定度则是基于对一个事件发生的信任程度。它们都基于概率分布，并都用方差或标准差表征。两类不确定度不存在那一类较为可靠的问题。一般来说，A类比B类较为客观，并具有统计学上的严格性
39、。,A类标准不确定度：由统计方法得到，需要多次（假设n次）测量。用A表示，即算术平均值的标准差。,B类标准不确定度：由非统计方法得到（测量一次或少次），即根据资料或假设的概率分布估计的标准差确定。 （1）历史测量数据 （2）相关技术资料或仪器指标 （3）厂商提供的数据 （4）某些资料给出的参考数据 若测量证书或说明书给出了独立变量的扩展不确定度U及其置信因子k，则B类标准不确定度为：,合成标准不确定度（C类）：间接测量时，测量结果由多个数据相关求取。按各分量的方差和协方差算得的不确定度称为合成标准不确定度，用C表示。,扩展不确定度 在合成标准不确定度C的基础上乘以置信因子k，一般取2-3（正态
40、分布）。,不确定度的评定流程测量过程概述 建立数学模型 确定输入量的测量值 计算标准不确定度 计算灵敏度系数（可用偏微分） 确定相关性 估计输出量 确定合成不确定度 选择k值（均匀分布，一般k=1.732；正态分布，一般取k=2-3） 测量不确定度的报告与表示,例题p41 为测定一标称值为10 的电阻消耗的功率，采用数字电流表直接测量流过电阻的电流。电流表各档精度为0.1，经法定计量机构鉴定合格。标称值为10的电阻经计量单位检定为10.0066 ，校准值的扩展不确定度为0.0032 ，置信因子为2。电流表测量8次，分别0.101,0.102,0.101,0.100,0.099,0.098,0.
41、103, 0.998A，给出功率测量结果和扩展不确定度的测量报告。,解（1）数学模型P=UI=I2R； （2）粗大误差检查处理（拉伊达或格罗布斯法则），都是正常数据。 （3）计算电流真值： P=I2R=（0.10025A）2*10.0066 =0.10056W （4）测量不确定度原因分析（两个参量：电流和电阻，合成标准不确定度C类）,P41-42：先判定是否有粗大误差，如果有，去除，再计算均值等参数,（5）电流和电阻标准不确定度 电流标准不确定度（I） 包含两个方面：电流测量的随机误差和电流表的精度决定的系统误差。 随机误差决定的标准不确定度：电流8个测量值，可采用A类标准不确定度,电流表精度
42、决定的标准不确定度（B类）： 精度0.1级，系统误差的波动区间为：,因此，系统误差会在真值0.10056A附近波动，波动范围+-0.00001056A。 而且，系统误差在这个范围均匀分布（随机误差才是正态分布），则置信因子一般取1.732。则电流表精度产生的标准不确定度B类为：,在电流测量产生的不确定度为：,电阻产生的不确定度 由于是法定计量单位给出的资料，由B类标准不确定度得到：,（6）合成标准不确定度 有功率公式：P=UI=I2R；,（7）扩展不确定度，取k=2（一般2-3）,即功率的误差以95.4%（k）的概率不超过0.00261W（可取3，则概率为99.7%）,本章掌握的重点： 1、误差的基本概念 2、发现误差的方法 3、减小或消除误差的措施 4、测量数据的处理 5、测量不确定度,
