1、空间数据误差处理,Surveying Adjustment,第二章 误差分布与精度指标,第二章 误差分布于精度指标,2-1 随机变量的数字特征2-2 正态分布2-3 偶然误差的规律性2-4 衡量精度的指标2-5 精度、准确度与精确度2-6 测量不确定度小 结,2-1 随机变量的数字特征,一、数学期望E(X)表示变量集中位置性质E (C ) = C （ C 为常数）E (CX ) = CE (X ) 设X ，Y 是两个随机变量： E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ),2-1 随机变量的数字特征,二、方差D(X
2、) 表示随机变量偏离集中位置的离散程度性质D (C ) = 0 (C 为常数)D (CX ) = C2D (X ) D (X + C ) = D (X )设X ，Y 是两个相互独立的随机变量 D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ),计算方差的公式：DX=E (X2) - E(X) 2,定义式：DX=E X-E(X) 2 ,2-1 随机变量的数字特征,三、协方差表示两两随机变量X,Y相关程度性质cov (X , Y ) =E(XY)- E(X) E(Y)cov (X , Y ) = cov (Y , X ) cov (aX ,bY ) =ab cov (X , Y ) cov(
3、X1+X2 ,Y)= cov (X1 , Y )+ cov (X2 , Y ),2-1 随机变量的数字特征,四、相关系数性质：|XY| 1,01 正相关=0 不相关-10 负相关,2-2 正态分布,一、一维正态分布1.定义：若连续型随机变量x的概率密度函数为 其中参数是数学期望，是标准差，则称x服从正态分布，记作,2-2 正态分布,2.数字特征 E(X)= D(X)=2,2-2 正态分布,3.性质曲线在x轴上方,与x轴不相交.曲线关于直线x=对称在x=时位于最高点,2-2 正态分布,当一定时， 曲线的形状由确定。越大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越
4、集中拐点横坐标： x = E(x) = ,2-2 正态分布,4.3原则P(- X +) 68.3%P(-2 X +2) 95.5%P(-3 X 限)=0小误差占优性： P(|小|)P(|大|)对称性抵偿性：E()=0 或,2-3 偶然误差的规律性,3.的密度函数 P() = f()d,误差出现在某一区间内的概率,面 积,的概率密度公式：,N ( 0, 2 ),2-4 衡量精度的指标,0.665,0.492,表1的误差更接近零的附近，这一组误差分布的较为密集，或者它的离散度小。,表 1,表 2,一、精度,2-4 衡量精度的指标,表 1,表 2,2-4 衡量精度的指标,1.定义精度指误差分布的密集
5、或离散的程度，也就是指离散度的大小。2.要点：(1)精度是用来描述偶然误差的，主要是指观测结果与数学期望的接近程度。可以从曲线的陡峭程度看出精度的高度。,2-4 衡量精度的指标,(2)一组观测值对应一种分布，所以这组观测值精度相同；不同观测值，分布不同，精度也就不同。,表 1,表 2,2-4 衡量精度的指标,3.衡量精度的方法（1）直观法：分布表、直方图、误差分布曲线图（2）精度指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对误差,2-4 衡量精度的指标,二、方差和中误差1.定义 （1）方差：设在相同的观测条件下得到一组独立的观测误差i，则其方差的定义为,？,（2）中误差：方差的算数平方
6、根定义为中误差，即：（3）如何衡量精度,2-4 衡量精度的指标,拐 = ,越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。,2-4 衡量精度的指标,2.理论值（定义值） 方差： 中误差：,2-4 衡量精度的指标,3.估值方差：中误差：,2-4 衡量精度的指标,三、平均误差1.定义：设在相同的观测条件下得到一组独立的观测误差i，则其平均误差的定义为,平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。,2-4 衡量精度的指标,2.平均误差与中误差的关系,2-4 衡量精度的指标,3.平均误差的估值,2-4 衡量精度的指标,四、或然误差1.定义：当观测误差出现在(-，+)之间的概
7、率等于1/2 时，即 ， 则称为或然误差。,2-4 衡量精度的指标,2.或然误差与中误差的关系3.或然误差的估值计算将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为或然误差。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。,2-4 衡量精度的指标,中误差、平均误差、或然误差当n不大时，中误差比平均误差更能灵敏的反映大误差的影响中误差有明确的几何意义平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系,世界上各国采用中误差作为衡量精度的指标，我国也采用中误差作为衡量精度的指标。,分布曲线的拐点坐标,2-4 衡
8、量精度的指标,例1.为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角= 450000，作12次观测，结果为： 450006 445955 445958 450004 450003 450004 450000 445958 445959 445959 450006 450003 设没有误差，试求观测值的中误差、平均误差和或然误差。,2-4 衡量精度的指标,2-4 衡量精度的指标,例2：为了比较两架经纬仪的观测精度，分别对同一角度进行了30次观测，观测结果见课本表2-3，。改角已预先用精密经纬仪测定，其值为764218.0。设将此值作为改角的真值。试计算这两架经纬仪的中误差、平均误差和或然误差。,2-
9、4 衡量精度的指标,解：根据表2-3数据得： 12，12，12 第二台经纬仪的精度高,2-4 衡量精度的指标,四、极限误差误差落在(-，+)，(-2，+2)，(-3，+3)的概率分别为 一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值限，并称为极限误差。,限 = 3,2-4 衡量精度的指标,中误差的统计意义误差分布的离散度大小对真误差做出区间估计,2-4 衡量精度的指标,五、相对误差相对中误差，它是中误差与观测值之比 。在测量中一般将分子化为1，用 表示。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等称为绝对误差。,2-4 衡量精度的指标,例3：有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m15mm。估计
10、这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出它的相对中误差。 |3 |45mm，即-45mm45mm,2-4 衡量精度的指标,例4：观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？ 真误差不一定相等 中误差相等 相对精度不等,2-5 精度、准确度和精确度,一、精度（precious）1.协方差（1）XY =YX （2）当Y=X时， XY = 2X（3）独立性 XY = 0 时，X与Y不相关，也就是说X与Y相互独立。,2-5 精度、准确度和精确度,取值理论值：估值：,2-5 精度、准确度和精确度,2.观测向量的精度
11、指标协方差阵,特点 对称矩阵 正定矩阵 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元素相等时，为等精度观测,为数量矩阵。,2-5 精度、准确度和精确度,例：观测向量 的协方差阵 试写出观测值L1,L2 和L3 的中误差以及协方差,2-5 精度、准确度和精确度,3.互协方差阵,两组观测值间精度指标,2-5 精度、准确度和精确度,（1）定义式（2）（3）n = r = 1时，互协方差阵就是X关于Y 的协方差阵（4）DXY = 0 时，X与Y是相互独立的观测向量,2-5 精度、准确度和精确度,二、准确度1.描述系统误差和粗差2.定义：观测值的真值与其数学期望之差3.系统误差不存在： = 0,2-5 精度
12、、准确度和精确度,三、精确度1.描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，是一个全面衡量观测质量的指标。2.衡量指标：均方误差3.公式,2-5 精度、准确度和精确度,4.当 时 观测值中只存在偶然误差，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。,2-6 测量不确定度,一、测量数据的不确定性广义的误差，包括偶然误差、系统误差和粗差。范围：数据误差的随机性 数据概念上的不完整性及模糊性,2-6 测量不确定度,二、测量不确定度衡量不确定性的指标（是标准不确定度）1.定义： 真误差x绝对值的上界 U = SUP |x|2.当x主要是系统误差影响时，定义为x的上下界： U1 x U2,2-6 测量不确定度,三、评定不确定度1.已知x概率密度，利用估计： P( |x| U ) = p P( U1x U2 ) = p2.概率密度未知： 合理估计,小 结,1.名词,协方差阵,互协方差阵,小 结,2.偶然误差的规律性（1）假设：观测误差为偶然误差（2）四条统计规律3.衡量精度的指标表达各个指标的理论值和估值公式4.理解精度、准确度、精确度的概念,小 结,5.公式汇编真误差：方差理论值：估值：中误差理论值：估值：,小 结,平均误差理论值：估值：与中误差关系：或然误差与中误差关系：,小 结,极限误差： 限 = 3相对误差：,补 充,随机矩阵 的数学期望（均值）定义为,
