巴拿赫空间理论.docx

1、巴拿赫空间理论（Banach space）是 192O 年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常 巴拿赫空间用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从外尔斯特拉斯K.(T.W.)以来人们久已十分关心闭区间ab 上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在 19 世纪末G. 阿斯科利就得到ab 上一族连续函数之列紧性的

2、判断准则后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。 巴拿赫空间1909 年里斯 F.(F.)给出 01 上连续线性泛函的表达式这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间那就是由所有在0 1 上 次可勒贝格求和的函数构成的 空间(1p )。在 19101917 年人们研究它的种种初等性质其上连续线性泛函的表示则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间并且引进全连 巴拿赫空间续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的生动的素材巴拿赫S.与维纳N.相互独立地在 1922 年提出当今所谓巴拿赫空间的概念并且在不到 10 年的时间内便发展成一部本身相

3、当完美而又有着多方面应用的理论。编辑本段 Banach 空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。 巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩-巴拿赫延拓定理，巴拿赫 -斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。编辑本段无穷空间巴拿赫空间是一种赋有长度的线性空间，大多数都是无穷空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。同时也是泛函分析研究的基本对象之一。 巴拿赫空间里斯。F 在 1909 年就给出了0，1

4、上连续线性泛函的表达式。所以，连续线性泛函的表示是巴拿赫空间的一种初等性质。编辑本段正文一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从 K.（T.W.）外尔斯特拉斯以来, 人们久已十分关心闭区间【,b】上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在 19 世纪末，G.阿斯科利就得到【，b 】上一族连续 巴拿赫空间函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909 年F.（F.）里斯给出 C【0,1 】上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在【0

5、,1】上 p 次可勒贝格求和的函数构成的 Lp 空间(10，n=1 ，2,构成 X 在 O 点的一个弱邻域基。 X*上使得一切,xX 都连续的最弱的拓扑称为 X*上的弱* 拓扑。全体 ,其中,0 ，n=1，2，构成 X *在 O 点的一个弱*邻域基。线性算子 设 T 是从实（或复）域编辑本段线性算子性空间 X 中线性流形 M 到 F 上的线性空间 Y 的映射，如果 则称 T 是线性算子,M 为 T的定义域,记作 D(T)。特别当 M=X 而 Y 为数域 F 时，T 便称为 X 上的线性泛函。 设 X、Y都是赋范线性空间,x0D(T)，若对 D(T)中任何收敛于 x0 的序列都有 Tx 巴拿赫空

6、间nTx0，则称 T 在 x0 处连续。设 D(T)=X, 则线性算子 T 在 X 上每点都连续必须且只须 T是有界的, 即。这时还称为 T 的范数，记作T 。 设 X 与 Y 都是数域 F 上的线性空间,A与 B 都是从 X 到 Y 的线性算子，对 A 与 B 可定义如下的运算:(A+B)x=Ax+Bx，(A)x=(Ax),当 xX,F 又定义(AB)x=A(Bx),xX，当 A 与 B 都是从 X 到 X 的线性算子时。若线性算子 T 是单射的,则将它的逆映射记作 T-1，而 Ix=x 则称为单位算子或恒等算子。 设 H 为度量空间， ，对 x0 E, 若有小球，则称 x0 在 E 的内部

7、。若点集 S 的闭包埅之内部是空的,则称S 在 H 中无处稠密。若度量空间 H 中的点集，而每个 Sn 皆在 H 中无处稠密，则称 E 为 H中第一纲的点集。H 中非第一纲的点集叫做第二纲的。显然全体有理数在实轴上便是第一纲的。可以这样想：第一纲的点集是比较稀疏的。 贝尔纲定理 完备的度量空间必定是第二纲的。这是区间套定理的发展和提高，在证明许多存在定理时是很有用处的。在勒贝格关于奇异积分与 O.特普利茨关于正则求和法以及哈恩关于插值理论等方面的研究之后，巴拿赫与 H.斯坦豪斯在 1927 年给出共鸣定理。 共鸣 巴拿赫空间定理 又称一致有界原理。设 X 是巴拿赫空间，Y 是线性赋范空间,是一

8、族从 X 到 Y 的有界线性算子。如果当 xX ，则。这是有着多方面应用的重要定理，是纲定理的直接推论。和纲推理密切相关，还有极著名的开映射定理。 开映射定理 设 X 与 Y 都是巴拿赫空间, 若 T 是从 X 到 Y 的有界线性算子，且 TX=Y,则 T 变 X 的开集为 Y 中的开集。这在有限维空间是平凡的，但在无限维空间却是极为深刻有力的工具。它有下列重要推论。 巴拿赫逆算子定理 设 X 与 Y 都是巴拿赫空间, 若 T 是从 X 到 Y 的有界线性算子,且 T 是一对一的,又 TX=Y，则 T-1连续。 开映射定理还有一个关于闭算子的重要推论。设 y=Tx 是线性的，若从 恒有x0D(

9、T)且,则称 T 为闭算子。闭算子在应用上是非常重要的概念。表面上，闭性与连续性很相似，其实差异不小，因为连续性是从较少的假设 xnx0 到更多的结论且。一般称XY 中之 G(T)=；x D(T)为 T 的图像。易见 T 是闭算子，则 G(T)按范数 =x+ y是闭的点集。 闭图像定理 设 X 与 Y 都是巴拿赫空间,若 T 是从 X到 Y 的线性算子，则 T 是有界的必须且只须 G(T)是闭的。 共轭算子 设 X 与 Y 都是巴拿赫空间。若线性算子 T 的定义域 D(T)在 X 中稠密，而 T 的值都在 Y 中，如果对有 x*X*使当xD(T)时，y*(Tx)=x*(x)则 x*由 y*惟一

10、确定，记作 Ty*=x*,一般称 T为 T 的共轭算子或对偶算子。特别当 T 是从 X 到 Y 的有界线性算子时,则 T 也是有界的，且T=T。显然，共轭算子是转置矩阵的推广，所以它自然地在研究方程 Tx=y 时起着重要的作用。 设 A 为巴拿赫空间 X 上的线性算子, 称 N(A)=x;Ax=0为 A 的零空间,R(A)=y;y=Ax,xD(A) 为A 的值域。从线性方程组的解, 已经看到 A 与 A之值域与零空间的密切关系，后来在弗雷德霍姆理论中又再次看到这点。 对点集，所谓 M 在 X*中的零化子即 而于点集，则 G 在X 中之零化子即 。设 A 为巴拿赫空间上有界线性算子，则 , ,

11、。若又设 X 自反，则 。 闭值域定理 设 X 与 Y 是巴拿赫空间,而 T 是从 X 到 Y 的闭线性算子，且，则下列命题等价：R(T)在 Y 中是闭的，R(T)在 X*中是闭的，。 参考书目 S.Banach,Thorie des Oprations Linaires, Monografje Mathematyczne, Warsaw, 1932. N.Dunford and J.T.Schwartz,Linear Operators, Part 1.General Theory,Interscience, New York, 1958. A.E.Taylor and D.C.Lay,In

12、troduction to functional Analysis, John Wiley 内 的 曲 线 或 曲 面 ， 以 及分 形 集 合 。 不 能 把 豪 斯 多 夫 测 度 与 豪 斯 多 夫 维 数 的 概 念 混 淆 。 可 以 证 明 ， 在 无 穷 维 空 间 不 存 在 勒 贝 格 测 度 的 类 似 物 。 编 辑 本 段历 史勒 贝 格 在 1901 年 描 述 勒 他 的 测 度 ， 随 后 在 第 二 年 他 描 述 了 勒 贝 格 积 分 。二 者 都 是 作 为 他 在 1902 年 的 博 士 论 文 的 一 部 分 发 表 的 。定 义 ： 设 f (x)

13、 是 E L q(mE 0， 必 然 存 在 E 的 分 划 D， 使 定 理 1S(D, f ) -s(D, f ) = imEi ， 这 里 S(D, f ) 及 s(D, f )分 别 是 f (x) 关 于 分 划 D 的 大 和 及 小 和 ， imEi 是 Ei 上 的 振 幅 。 它 与 黎 曼 积 分 的 主 要 区 别 在 于 前 者 是 对 函 数 的 函 数 值 区 域 进 行 划 分 ；后 者 是 对 函 数 定 义 域 进 行 划 分 。 对 此 Lebesgue 自 己 曾 经 作 过 一 个 比 喻 ,他 说 : 假 如 我 欠 人 家 一 笔 钱 ,现 在 要

14、还 ,此 时 按 钞 票 的 面 值 的 大 小 分 类 ,然 后 计算 每 一 类 的 面 额 总 值 ,再 相 加 ,这 就 是 Lebesgue 积 分 思 想 ； 如 不 按 面 额 大 小分 类 ,而 是 按 从 钱 袋 取 出 的 先 后 次 序 来 计 算 总 数 ,那 就 是 Riemann 积 分 思 想 。(参 见 :周 性 伟 ,实 变 函 数 教 学 的 点 滴 体 会 , 高 等 理 科 教 学 ,2000.1) 即 采 取 对 值 域 作 分 划 ,相 应 得 到 对 定 义 域 的 分 划 (每 一 块 不 一 定 是 区 间 ),使 得 在 每 一 块 上 的

15、振 幅 都 很 小 , 即 按 函 数 值 的 大 小 对 定 义 域 的 点 加 以 归 类 。编 辑 本 段积 分 介 绍积 分 是 “和 ”的 概 念 。 即 将 东 西 加 起 来 。 所 以 积 分 早 期 是 从 面 积 ， 路 程等 计 算 中 发 展 起 来 。 比 如 计 算 面 积 ， 将 X 轴 的 区 间 分 成 若 干 小 区 间 ， 将 小区 间 的 高 度 (Y 值 )乘 以 小 区 间 的 长 度 ， 然 后 加 起 来 。 用 极 限 法 就 可 以 求 得 精确 的 面 积 。 这 是 传 统 的 积 分 概 念 (黎 曼 积 分 )。 定 理 2勒 贝 格

16、 从 另 一 个 角 度 来 考 虑 积 分 概 念 ， 导 致 勒 贝 格 积 分 和 测 度 概 念 。 比 如 计算 面 积 ， 可 以 将 小 区 间 的 高 度 (Y 值 )乘 以 对 应 的 所 有 小 区 间 的 长 度 的 和 (测度 )， 然 后 加 起 来 。 又 比 如 现 有 硬 币 ： 25， 25， 10， 5， 10， 1， 5， 25。用 黎 曼 积 分 来 求 和 ： 25+25+10+5+10+1+5+25=106。 用 勒 贝 格 积 分 来 求 和 ：25*3+10*2+5*2+1=106。 结 果 是 一 样 。 但 对 于 一 些 “坏 ”函 数 ，

17、 结 果 是 不 一样 。 比 如 在 X 轴 0， 1闭 区 间 上 定 义 函 数 ： Y=1， 当 X 是 无 理 数 ； Y=0， 当 X 是 有 理 数 。 求 该 函 数 覆 盖 的 面 积 。 黎 曼 积 分 无 法 定 义 ， 因 为 任 意 小 的 区 间 都 包 含 无 理 数 和 有 理 数 。 用 勒 贝 格 积 分 来 求 和 : 1*1+0*0 = 1。 0， 1闭 区 间 的 长 度 (测 度 )是 1； 有 限 点 集 的 长 度 (测 度 )是 0； 无 限 可数 点 集 (如 ， 证 明 1有 理 数 )的 长 度 (测 度 )是 0。 而 0， 1闭 区

18、间 的 长 度 (测 度 ) = 有 理 数 集 的长 度 + 无 理 数 集 的 长 度 。 所 以 ， 0， 1闭 区 间 的 无 理 数 集 的 长 度 (测 度 ) 是 1。 这 就 解 释 了 上 述计 算 结 果 。 由 此 可 见 ， 勒 贝 格 积 分 比 黎 曼 积 分 广 义 。 很 多 数 学 概 念 和 思 想 就 是 从 貌 似 相 同 的 概 念 和 思 想 中 推 导 出 来 。 这 启 发我 们 在 做 研 究 时 应 从 不 同 角 度 来 考 虑 一 些 现 有 概 念 和 理 论 ， 有 时 可 能 导 致 新的 概 念 和 理 论 。 编 辑 本 段背

19、景 知 识黎 曼 积 分 的 重 要 推 广 ， 分 析 数 学 中 普 遍 使 用 的 重 要 工 具 。 19 世 纪 的 微 积 分 学 中 已 经 有 了 许 多 直 观 而 有 用 的 积 分 ， 例 如 黎 曼 积 分（ 简 称 R 积 分 ） 、 黎 曼 -斯 蒂 尔 杰 斯 积 分 (简 称 R-S 积 分 )等 。 只 要 相 应 的 函数 性 质 良 好 ,用 这 些 积 分 来 计 算 曲 边 形 面 积 、 物 体 证 明 2重 心 、 物 理 学 上 的 功 、 能 等 ， 是 很 方 便 的 。 然 而 ， 随 着 认 识 的 深 入 ， 人 们 愈来 愈 经 常

20、地 需 要 处 理 复 杂 的 函 数 ， 例 如 ， 由 一 列 性 质 良 好 的 函 数 组 成 级 数 所定 义 出 来 的 函 数 ， 两 个 变 元 的 函 数 对 一 个 变 元 积 分 后 所 得 到 的 一 元 函 数 等 。在 讨 论 它 们 的 可 积 性 、 连 续 性 、 可 微 性 时 ， 经 常 遇 到 积 分 与 极 限 能 否 交 换顺 序 的 问 题 。 通 常 只 有 在 很 强 的 假 设 下 才 能 对 这 问 题 作 出 肯 定 的 回 答 。 因此 ， 在 理 论 和 应 用 上 都 迫 切 要 求 建 立 一 种 新 的 积 分 ,它 既 能 保

21、 持 R 积 分 的 几何 直 观 和 计 算 上 的 有 效 ， 又 能 在 积 分 与 极 限 交 换 顺 序 的 条 件 上 有 较 大 的 改 善 。1902 年 法 国 数 学 家 H.L.勒 贝 格 出 色 地 完 成 了 这 一 工 作 ， 建 立 了 以 后 人 们 称之 为 勒 贝 格 积 分 的 理 论 ， 接 着 又 综 合 R-S 积 分 思 想 产 生 了 勒 贝 格 -斯 蒂 尔 杰斯 积 分 （ 简 称 l S 积 分 ） 。 20 世 纪 初 又 发 展 成 建 立 在 一 般 集 合 上 的 测 度 和积 分 的 理 论 ， 简 称 测 度 论 。 编 辑 本

22、 段勒 贝 格（ 1875 1941） Lebesgue， Henri Lon 法 国 数 学 家 。 1875 年 6 月 28 日 生 于 博 韦 ， 1941 年 7 月 26 日 卒 于 巴 黎 。1894 1897 年 在 巴 黎 高 等 师 范 学 校 学 习 。 1902 年 在 巴 黎 大 学 获 得 博 士 学 位 ，从 1902 年 起 先 后 在 雷 恩 大 学 、 普 瓦 蒂 埃 大 学 、 巴 黎 大 学 文 理 学 院 任 教 。1922 年 任 法 兰 西 学 院 教 授 ， 同 年 被 选 为 巴 黎 科 学 院 院 士 。 勒 贝 格 的 主 要 贡 献 是

23、测 度 和 积 分 理 论 。 他 采 用 无 穷 个 区 间 来 覆 盖点 集 ， 使 许 多 特 殊 的 点 集 的 测 度 有 了 定 义 。 在 定 义 积 分 时 他 也 采 取 划 分 值 域而 不 是 划 分 定 义 域 的 办 法 ,使 积 分 归 结 为 测 度 ,从 而 使 黎 曼 积 分 的 局 限 性得 到 突 破 ， 进 一 步 发 展 了 积 分 理 论 。 他 的 理 论 为 20 世 纪 的 许 多 数 学 分 支 如泛 函 分 析 、 概 率 论 、 抽 象 积 分 论 、 抽 象 调 和 分 析 等 奠 定 了 基 础 。 利 用 勒 贝格 积 分 理 论

24、,他 对 三 角 级 数 论 也 作 出 基 本 的 改 进 。 另 外 ,他 在 维 数 论 方 面 也有 贡 献 。 晚 年 他 对 初 等 几 何 学 及 数 学 史 进 行 了 研 究 。 他 的 论 文 收 集 在 勒贝 格 全 集第六章 度量空间和线性赋范空间第 1 次课教学内容(或课题)： 6.1 度量空间的进一步例子目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.教学过程：一 复习第二章度量空间的概念设 是个集合，若对于 ，都有唯一确定的实数 与之对应，Xyx,Xyxd,且满足 ， =0 ; + 对01yxd,

25、d02yxd,z都成立， 则称( ， )为度量空间或距离空间， 中的元素称为zyx,点，条件 称为三点不等式.02欧氏空间 对 中任意两点 和 ，规定nRnnxx,21nyy,21距离为 = .yxd,211iiiy空间 表闭区间 上实值(或复值)连续函数的全体.对baC,ba,ba,中任意两点 ，定义 = .yxyxdtytm空间 记 = .设 ， ，定2l2l12kxx1kx1ky2l义 = .yxd,21iiiy二 度量空间的进一步例子例 1 设 是任意非空集合，对于 ，令yx,=yxd,当， 当，0;1容易验证 ， =0 ; + 对01,yx02yxd,z,yd,都成立. 称( ， )

26、为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的zyx,d集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例 2 序列空间 S令 表示实数列(或复数列)的全体，对 ， ，令 1kx1ky= . 显然右边的级数总是收敛的. 易知 ，且yxd,12kkyx xd,0=0 . 即 满足条件 .,d,01对 ，先证 + .Cba, bab实因令 ( )，则因为 ，所以函数 ttf1t02)1(ttf0在 上单调递增. 又因为 ，所以有ttf1, ba= + + .baba11再令 ， ， ，则 . 由上述已1kzkzxkykyxba证的不等式，得+ .kyxkzx1ky1由此推得 + 对 都成立. 故 按 成一02

27、d,z,d,SSyxd,度量空间.例 3 有界函数空间 AB设 是一个给定的集合，令 表示 上有界实值(或复值)函数的全体. AA，定义 = .显然 ，且 =0yx,yxd,tytsupyxd,0yxd,成立 ，即 满足条件 .又 ，有 tt,01Att+ +zxytzxAtsyAts所以 + . 即 满足条件 . 特tAtsuptupttupyxd,02别当 时， = .ba,Bba,例 4 可测函数空间 XM设 为 上实值(或复值)的 Lebesgue 可测函数的全体， 为 Lebesgue 测X m度，若 ，对任意两个可测函数 及 ，由于 ，mtfg11tgft故不等式左边为 上可积函数

28、. 令 = .gfd,Xdmtgyft1若把 中两个几乎处处相等的函数视为 中同一个元素，则 0MXMgfd,且 =0 ，即 满足条件 . 其次(参考例 2)gfd,ffd,01= = +f,Xmtgyft1Xdmghf Xdhf1= + ，对 都成立. 即 满足条Xdghhf,d,gf,Mgf,件 . 故 按上述距离 成为度量空间.02Mf,作业 205. 2. 4.P作业提示 2. 与例 2 处理方法类似.4.利用 当 时的递增性.x10第 2 次课教学内容(或课题)： 6.2(1) 度量空间中的极限目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列

29、等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义.教学过程：设 为度量空间， 是距离，定义dX,d=,0xB0,xdX为 的以 为半径的开球，亦称为 的 邻域.0x0例 1 设 是离散的度量空间， 是距离，则dX,=,0xB1,;0当当X仿2.2-2.3，设 是度量空间 中的一个子集， 是 中一点若存Ed0xX在 的某一邻域 ，s.t. ，则称 为 的内点. 若 是 的0x0xU0xE00CE内点，则称 为 的外点. 若 内既有 的点又有非 的点，则称 为0Ex的边界点. 若 内都含有无穷多个属于 的点，则称 为 的聚点. E0x 0x的全体聚点所成集合称为 的导集，记为 . 称为 的闭包，记为 .

30、EE E若 的每一点都是 的内点，则称 为开集. 若 ，则称 为闭集.例 2 在欧氏空间 中，记 为全体有理数点的集合， 为全体无理数点的集合.则1RAB集合 及 均无内点，均无外点; 既是 又是 的界点，既是 又是ABx1RAA的聚点; 既是 又是 的导集，既是 又是 的闭包; 、 既非开集又B非闭集. 若如同例 1，将集合 离散化，则 都是 的内点， 都是1 yB的内点，因此 、 在离散空间中均为开集; 、 均无界点; 之外点集合为 ， 之外点集合为 ; 、 均无聚点，因此 ，A， ， ，故 、 均为闭集.BA设 是 中点列，若 ，s.t.1nxdX, Xx( )0,limn 则称 是收敛

31、点列， 是点列 的极限.1nxx1n收敛点列的极限是唯一的. 实因若设 既牧敛于 又收敛 ，则因为nxxy，而有 =0. 所以 = .0,0nnxydxydd,x附注 ( )式换个表达方式： = . 即当点列极限存在xdn,limxnli时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有距离 是 和 的连续函数.yxd,证明 + + -0,xd0,yd,yxd,0,+ ; 0,xy,+ + -dx,0y,0,0,yx,+ . 所以| - | +0,xydxd例 3( 205.1) 设 为一度量空间，令PX,= ， = . 问 ,0xB0,x,0xS0,xX= ?0S答 在 空间中，必有 = . 在离

32、散度量空间 中，当nR,0xB,0 dX,时， = ， = ，此时 . 毕.1,0xB0SXx,0S设 是度量空间 中的点集，定义.Md,=Myxyx,sup,为点集 的直径. 若 = ，则称 为 中的有界集(等, MdX,价于固定 ， ， ， 为某正数，则为有界集). 0xBxd0中的收敛点列 是有界集. 实因，设dX,1n nxlim，则数列 收敛于 0,故 ，s.t. 有 . 所0x0,xn00,d以 ，有 +m,md,x.xd002M中的闭集可以用点列极限来定义： 为闭集 中任何收敛X, M点列的极限都在 中，即若 ， ， ，则 .Mnx,21xnM具体空间中点列收敛的具体意义：1.

33、欧氏空间 = ， ，为 中的nRmmnx,21 ,21nR点列， = ， =xnx,21 d. 对每个 221 nmmm x xm，有 .niiix2. 设 ， ，则 =baC,1nbaC,xba,xdn,在 一致收敛于 .0xtnbta1n t3. 序列空间 设 = ， ，及 =Smx ,2mn,21x分别是 中的点列及点，则 ,21n10,kkmkxd依坐标收敛于 . 实因，若对每个 有 ，mmxx则因 收敛，所以 ，s.t. . 因为对每个 ，12k 21mk 1,2k存在 ，s.t.当 时 . 令 ，当NkNnn121,axmNN时，成立 . 所以当 时，成立n12mkknk12mkn

34、= + + = .所以xdn,1mkknkmkkn12xn反之，若 ，即 = .又xnxdn,12kknk0n因为 ，有 ，所以当 时，kknk12n,0 所以 ， ，s.t. 当 时，成立 knk10NNn. 所以 . 所以 ，有 .knk1knkknk4. 可测函数空间 设 ， ，则因XM1nfXMf= ，有 . 实因，若 ，fdn,Xndmtftf1fnfnfn则 ，有 . (不妨设 )，000Xm2取 ，则 . 今对这样取定的 及 ，因 ，2X21Xfn故 ，s.t. 当 时，成立 . 所以 =NNnfmn2fdn,+ +fXnn dtft1fXnn dtft1fXmn1+ = . 所

35、以 . 所以 .2m,0fn反之，若 ，即 . 对 ，由于fnfdn, 0. 所以fXn1 fXnn dmtft1fn,，即 .0limfnn 以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中.作业 205. 5.P作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间 ”，并利用 S= .tftfrrnbta1mxtftfnaxrrbttm1第 3 次课教学内容(或课题)： 6.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.教学过程：Th 设 是度量空间 的一

36、个子集，则集合 BX是个开集，且 .yxdXxO, BO证明 设 ，则 ，s.t. . 所以0O00,yxd0x,0yU. ，其中 - ，则 ( - )+,xU0, d= . 所以 . 所以 是 之内点. 所以 是0,yxd,0,0yUO0xO开集.又证 以 中每一点为心作半径 的邻域，所有这些邻域的并集就是集合B.O每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故 为开集.至于 是很显然的. 证毕.附注 当 时，得到是 之闭包未必是 . 例如 = . =0BBn11RO= ，但 .1,nkUk1,12,k0205.6. 设 ，证明度量空间 中的集PBba, Cba,为 中的闭集，而集0,tftf

37、时当 C为开集 为闭集.0A时当 B证明 设 且在 中 .则1ntf0,tftf时当 baC,tftfn当 时，对 ，有 =0. 令 ，得 时， . 所以Btnt0. 所以 是闭集.f0,tft时当 ,fBtf时当“ ” 设 为闭集， ，则 (当 ). 因 在tAat0Bttf0连续，所以 (当 ). 取 ：0 - ，Btf0Btmaxf0taBtmx则对 ，有 . 所以tf,Ubat,xtff+ . 所以当 + +( - )=0ttff0Btm0Btat0所以 . 所以 为开集.,fA“ ” 设 为开集. 设 ， 且 . 取点 ：A1ntB0tnBtf= ，则 ，令 得， .因为AatfBt

38、f时 ，当 faatf00，故只有 . 不妨设 = ( =- 时同法可证之). 因为 为00t0tf A开集，所以 ，s.t. = . ,fUAtfB时 ，当，因为 ，所以点 +：00ttd， 0,fU. 因为 = ，所以对上述 且 ，存在 ，s.t.AntflimNt， 所以 - . 所以 + = .0tfN0tfNtftf0fa但由方框，应有 ，与 + = 相互矛盾. 这就证明了Nxfa0a. 故 为闭集. 证毕.BDef 1 设 是度量空间， 和 是 的两个子集，令 表示 的闭包，XMXM若 ，则称集 在集 中稠密，当 = 时，称 为 的一个稠密子集. NMNX若 有一个可列的稠密子集，

39、则称 是可分空间.例 1 维欧氏空间 是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是nnR的可列稠密子集.R设 是闭区间 全体有理数集合， 是 全体无理数集合. 在 中，ba, ba, 1R因为 ， ，所以 在 中稠， 在 中稠. 因为 ，MNNMNba,M，所以 和 都在 中稠密. 若 = 视为 的子空间，则ba, ,X,1是可分空间.X例 2 离散距离空间 可分 是可列集.X实因在 中没有稠密的真子集(因 中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以 中唯一的稠密子集只有 本身，因此 可分的充要条件为 是可列集.例 3 令 表示有界实(或复)数列全体. 对 中 ，l l,21x= ，定

40、义 = .y,21yxd,kksup显然 0 且 =0 =0 对 ，都有yxkk k=0 对 ，都有 .kyx其次设 = . 因为 ，都有 +z,21lkkk+ . 所以 + .kksupkskksupsupkks即 + . 所以 按 成为度量空间.yxd,z,yd,lyxd,往证 是不可分空间.l令 表示 中坐标 取值为 0 或 1 的点 的全体，则 与二Mk,21xM进位小数一一对应，所以 有连续统的基数，对 中任意的两个不同点 ，Myx,有 =1. 若 可分，则 中存在可列稠密子集，设为 . 对 中每一yxd,ll 1kz点 ，作球 ，则 是一族的两两不相交的球，总数有不可31,Bx31

41、,列个. 但由于 在 中稠密，所以每个 中至少含有 中的一点，1kzl 31,xB1kz这与 是可列集矛盾. 证毕.1k作业： 205. 3.7.8.9.P作业解答： 3. 令 = ,则 是开集且nOnyxdBXx1, nOn. 因为 ，所以 = . 因 是闭集，所以 = ，即 =Bnnlim1 nlimB1n.7. 取 ：0 . 作开集 = 和 =FEd,3OaxdE,G，则 ， . 又 ， ， ，bydF,OGabFO，有 + + . 所以 - -Ga,x,y,bd,yx,x,- - = 0. 所以 . 所以 与y,EF31EF31必不相交.又证不相交 若 ，则存在 和 ，cOG,aU,b

42、， ,s.t. . 于是 0 +aEbF,a,bFEdba,cd,+ . 矛盾. 所以 = .bcd,32FEd, OG8. ，令 = 则集合 = 含有不xa,tfxxbat,01Mbaxtf,可数个元素 ， ， 、 且 时， =1. tfxMBtfxtfyyyxfd,若 可分，则 中存在可列的稠密子集，记为 . 对 中每一点baB,ba, tfn，作球 ，则 是一族两两不相交的球，总tfx31,tfxMtftfxx31,数有不可列个. 但由于 在 中稠密，所以每个 中至少含有tfnbaB, 31,tfBx中的点，这与 是可列集矛盾. 故 不可分.tfntfn ba,9. 因为 可分，所以存在

43、稠密子集 = . 对于每个 .存X21xOx在 . 因为 在 中稠密，所以可在 中取出 中一点 . 取rxU,OB4,rUBk有理数 ： ，所以 ，且所有 至多24rxrk,x,OrxUk,可列个，包含它的开集 至多可选出可列个. 证毕.第 4 次课教学内容(或课题)： 6.3 连续映照目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.教学过程：Def 1 设 = ， = 是两个度量空间， 是 到 中的映照：Xd,Y, TXY= = . ，若 0， 0，s.t. 且Xd,TY,0xXx，都有 ，则称 在 连续：0xTx用邻域来

44、描述 在 连续：对 的每一个 -邻域 ，必存在 的某个0x0N0x-邻域 ，s.t. ( 表 在 作用之下的像集).0N0TN0T也可以用极限来定义映照的连续性，基于Th 1 设 是度量空间 到度量空间 中的映照：dX,dY,， 则 在 连续 当 时，必有 .dX,TY,0xnx0nTx0证明 “ ” 设 在 连续，则 0， 0，s.t. 且TX，都有 . 因为 ，所以 ，s.t.当0,x0,xdnxNn时，有 . 所以 . 所以 .N0,n 0,nTx0“ ” 反证法. 若 在 不连续，则 0，s.t. Tx0， ，虽然 ，但是 . 特别取 = ，则x00,d,xdn1有 ，s.t.当 时，有 . 即 时，有 . n0,n10,xnn0Tx不 0与假设矛盾.证毕.若映照 在 的每一点都连续，则称 是 上的连续映照. 称集合TXTX( )为集合 在映照 下的原像.简记为 .Mx,Y M1用开集刻划连续映照，就是Th 2 度量空间 到 中的映照 是 上的连续映照 任意开集， 是 中的开集.YT1证明 “ ” 设 是连续映照， 是 中开集. 若 = ，则TMYT1是 中开集.